Funkční limit

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. srpna 2022; kontroly vyžadují 8 úprav .

Limita funkce ( limitní hodnota funkce ) v bodě, který je limitující pro definiční obor funkce, je taková hodnota, ke které hodnota uvažované funkce inklinuje, když její argument směřuje k danému bodu. Jeden ze základních pojmů matematické analýzy .

Limita funkce je zobecněním konceptu limity posloupnosti . Zpočátku byla limita funkce v bodě chápána jako limita posloupnosti funkčních hodnot: , odpovídající posloupnosti prvků definičního oboru funkce , konvergující k bodu . Pokud taková limita existuje, pak se říká, že funkce konverguje k zadané hodnotě, jinak se říká, že funkce diverguje. $f(x)$ $X$ $f(x_{1}),f(x_{2}),f(x_{3}),\tečky$ $x_{1},x_{2},x_{3}\dots$ $X$

Nejčastěji je definice limity funkce formulována v jazyce sousedství . Skutečnost, že limita funkce je uvažována pouze v bodech, které jsou pro definiční obor funkce omezující, znamená, že v libovolném okolí daného bodu jsou body definičního oboru. To nám umožňuje mluvit o tendenci argumentu funkce k danému bodu. V tomto případě limitní bod definičního oboru nemusí patřit do samotného definičního oboru: lze například uvažovat limitu funkce na koncích otevřeného intervalu , na kterém je funkce definována (např. konce intervalu samotné nejsou zahrnuty do domény definice).

V obecném případě je třeba konkrétně uvést metodu konvergence funkce, pro kterou se zavádí tzv. báze podmnožin definičního oboru funkce a následně se formuluje definice limity funkce podle k (dané) základně. V tomto smyslu je systém proražených sousedství daného bodu konkrétním případem takové báze množin.

Také díky zohlednění prodloužené reálné čáry (na níž lze postavit základnu okolí i pro bod v nekonečnu), je možné definovat takové pojmy, jako je limita funkce, protože argument má tendenci k nekonečnu, stejně jako tendence samotné funkce k nekonečnu. Limita posloupnosti (jako limita funkce přirozeného argumentu) je jen příkladem konvergence v bázi "tendencí argumentu k nekonečnu".

Absence limity funkce v bodě znamená, že pro libovolnou danou hodnotu rozsahu hodnot lze zvolit takové okolí této hodnoty, že v libovolném libovolně malém okolí bodu, kde funkce nabývá dané hodnoty, existuje body, kde hodnota funkce bude mimo zadané okolí.

Pokud v některém bodě definičního oboru funkce existuje limita a tato limita je rovna hodnotě funkce v daném bodě, pak se funkce v daném bodě nazývá spojitá .

Definice

Uvažujme funkci a aspirační bod , který je limitním bodem pro definiční obor, ale nemusí do něj patřit. Existuje několik ekvivalentních definic limity funkce – mezi nimi jsou ty, které formulovali Heine a Cauchy . $f(x)$ $x_0,$ $F,$

Heineova limita funkce

Hodnota se nazývá limit ( limitní hodnota ) funkce v bodě , pokud pro jakoukoli sekvenci bodů konvergujících, ale neobsahujících jako jeden z jejích prvků (tj. v proraženém sousedství ), posloupnost hodnot funkce konverguje k [1] . $A$ $f(x)$ $x_0,$ $\left\{ x_n \right\}_{n=1}^{\infty}$ $x_{0}$ $x_{0}$ $x_{0}$ ${\displaystyle \{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty ))$ $A$

Cauchyho limita funkce

Hodnota se nazývá limita ( limitní hodnota ) funkce v bodě , pokud pro libovolné kladné číslo je možné vybrat kladné číslo, které jí odpovídá tak , že pro všechny argumenty splňující podmínku je splněna nerovnost: tj. [1 ] . $A$ $f(x)$ $x_0,$ $\varepsilon$ $\delta =\delta (\varepsilon )$ $X$ $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta ,$ $0\leqslant |f(x)-A|<\varepsilon ,$ $|f(x)-A|<\varepsilon$

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=A\Šipka doleva doprava {\Velká [}\forall \varepsilon >0~\existuje \delta =\delta {\big (}\varepsilon ) >0~\forall x~(0<|x-x_{0}|<\delta {\big )}\Šipka doprava {\big (}|f(x)-A|<\varepsilon {\big )}{ \Velký]},

kde:

$\pro všechny$ je univerzální kvantifikátor ;
$\existuje$ je existenciální kvantifikátor ;
$\Šipka doprava$ - implikace .

Definice sousedství Cauchyho limity

Hodnota se nazývá limita ( mezní hodnota ) funkce v bodě , pokud pro jakékoli okolí bodu existuje proražené okolí bodu tak, že obraz tohoto okolí leží v . Základní zdůvodnění této definice limity lze nalézt v článku " Limit podél filtru ". $A$ $f(x)$ $x_0,$ $O(A)$ $A$ ${\tečka {O}}(x_{0})$ $x_{0}$ ${\displaystyle f{\big (}{\dot {O}}(x_{0}){\big )))$ $O(A)$

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=A\Šipka doleva doprava {\big [}\forall O(A)~\existuje {\tečka {O}}(x_{0}) ~f{\big (}{\tečka {O}}(x_{0}){\big )}\subseteq O(A){\big ]}.

Nastavit základní limit

Nejobecnější definicí je definice limity funkce vzhledem k bázi (bází filtru, filtrem).

Nechť je nějaký základ podmnožin definičního oboru. Pak ${\mathcal {B}}$

číslo se nazývá limita funkce vzhledem k (at) základu , jestliže pro libovolný existuje takový prvek základu, který je pro libovolný splněn . $A$ ${\mathcal {B}}$ $\varepsilon >0$ $B$ $x\v B$ $|f(x)-A|<\varepsilon$

Jestliže je limitní bod množiny , pak to znamená, že každé proražené okolí bodu v množině není prázdné, a proto je v bodě základna proražených sousedství . Tato základna má speciální označení " " a zní "při sklonu k přes sadu ". Pokud se definiční obor funkce shoduje s , pak je ikona set vynechána, pak se základ označí zcela jednoduše „ “ a zní „s tendenci k “. $A$ $E$ $E$ $A$ $x\do a, x\v E$ $X$ $A$ $E$ $F$ $\mathbb {R}$ $x\do a$ $X$ $A$

Při uvažování pouze numerických funkcí reálné proměnné jsou uvažovány i báze jednostranných okolí. K tomu jsou uvažovány dvě sady:

$E_{a}^{-}=E\cap\mathbb{R}_{a}^{-}$ , kde ; ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}^{-}=\{x\in \mathbb {R} \colon x<a\))$
$E_{a}^{+}=E\cap\mathbb{R}_{a}^{+}$ , kde . ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}^{+}=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\))$

V souladu s tím se zavádějí dvě základny:

" ", který je stručně označen jako " " nebo ještě jednodušeji " "; $x\to a, x\in E_{a}^{-}$ $x\do a-, x\v E$ $x\do a-$
" ", který je stručně označen jako " " nebo ještě jednodušeji " ". $x\to a, x\in E_{a}^{+}$ $x\do a+, x\v E$ $x\do a+$

Ekvivalence definic

Všechny výše uvedené definice limity funkce v bodě jsou ekvivalentní [1] . Abychom to dokázali, je nutné a postačující přijmout spočetný axiom výběru . Nicméně, v jiných formálních systémech, takový jak v konstruktivní matematice , ekvivalence je vyvrácena příklady.

Variace a zobecnění

Jednostranný limit

Jednostranná limita numerické funkce v bodě je specifická limita, která implikuje, že se argument funkce přibližuje k určenému bodu z určité strany (zleva nebo zprava). Numerická funkce reálné proměnné má limitu v bodě právě tehdy, když má v tomto bodě stejnou levou a pravou limitu.

Limit podél filtru

Limita funkce podél filtru je zobecněním konceptu limity na případ libovolného oboru funkce. Zadáním konkrétních případů definiční domény a základu filtru na ní lze získat mnoho definic limitů uvedených v tomto článku.

Limity v nekonečnu

Limita funkce v nekonečnu popisuje chování hodnot funkce, když se absolutní hodnota jejího argumentu stane nekonečně velkou. Existují různé definice takových limitů, ale jsou si navzájem ekvivalentní.

Limita v nekonečnu podle Heineho

Nechť je dána numerická funkce na množině , která může obsahovat libovolně velký prvek, to znamená, že pro každý kladný prvek množiny leží mimo hranice segmentu . V tomto případě se číslo nazývá limita funkce v nekonečnu , pokud pro jakoukoli posloupnost bodů , která počínaje určitým číslem n bude neomezeně růst v absolutní hodnotě, je odpovídající posloupnost soukromých hodnot funkce v tyto body konvergují k číslu $f(x)$ $X$ $\delta$ $X,$ $\left[ -\delta, +\delta \right]$ $A$ $f(x)$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty },$ ${\displaystyle \{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty ))$ $A.$ $\lim _{x\to \infty }f(x)=A\Šipka doleva\forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }{\Big (}{\lim _{n\to \infty }}x_{n}=\infty \Šipka doprava \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )}.$
Nechť je dána numerická funkce na množině, ve které pro libovolné číslo existuje prvek ležící napravo od ní. V tomto případě se číslo nazývá limita funkce v plus nekonečnu , pokud pro jakoukoli posloupnost bodů , která počínaje určitým číslem n , poroste donekonečna v kladném směru, odpovídající posloupnost soukromých hodnot funkce v těchto bodech konverguje k číslu . $f(x)$ $X$ $\delta$ $A$ $f(x)$ $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty },$ ${\displaystyle \{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty ))$ $A$ $\lim _{x\to +\infty }f(x)=A\Šipka doleva\forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }(\existuje k\in \ mathbb {N} ~\forall l\in \mathbb {N} ~l>k\Šipka doprava x_{l}>0)\land {\Big (}{\lim _{n\to \infty ))x_{n }=\infty \Šipka doprava \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )},$ kde je konjunkce . $\přistát$
Nechť je dána číselná funkce na množině, ve které pro libovolné číslo leží prvek nalevo od ní. V tomto případě se číslo nazývá limita funkce v mínus nekonečnu pouze za podmínky, že pro jakoukoli nekonečně velkou sekvenci záporných bodů odpovídající sekvence dílčích hodnot funkce v těchto bodech konverguje k číslu . $f \left( x \right)$ $X$ $\delta$ $A$ $f \left( x \right)$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $A$ $\lim _{x\to -\infty }f(x)=A\Šipka doleva\forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }(\existuje k\in \ mathbb {N} ~\forall l\in \mathbb {N} ~l>k\Šipka doprava x_{l}<0)\land {\Big (}{\lim _{n\to \infty ))x_{n }=\infty \Šipka doprava \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )}.$

Limita v nekonečnu podle Cauchyho

Nechť je dána numerická funkce na množině, ve které je libovolně velký prvek, to znamená, že pro jakýkoli kladný prvek v ní existuje prvek ležící mimo hranice segmentu . V tomto případě se toto číslo nazývá limita funkce v nekonečnu , jestliže pro libovolné kladné číslo je nalezeno kladné číslo , které mu odpovídá takové, že pro všechny body přesahující v absolutní hodnotě platí nerovnost . $f(x)$ $X$ $\delta$ $[-\delta ,+\delta ]$ $A$ $f(x)$ $\varepsilon$ $\delta$ $\delta$ $|f(x)-A|<\varepsilon$ $\lim _{x\to \infty }f(x)=A\Šipka doleva\forall \varepsilon >0~\existuje \delta =\delta (\varepsilon )>0~\forall x\in X~| x|>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon .$
Nechť je dána numerická funkce na množině, ve které pro libovolné číslo existuje prvek ležící napravo od ní. V tomto případě se toto číslo nazývá limita funkce v plus nekonečnu , pokud pro libovolné kladné číslo existuje kladné číslo, které mu odpovídá takové, že pro všechny body napravo platí nerovnost . $f(x)$ $X$ $\delta$ $A$ $f(x)$ $\varepsilon$ $\delta$ $\delta$ $|f(x)-A|<\varepsilon$ $\lim _{x\to +\infty }f(x)=A\Šipka doleva \forall \varepsilon >0~\existuje \delta =\delta (\varepsilon )>0~\forall x\in X~ x>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon .$
Nechť je dána číselná funkce na množině, ve které pro libovolné číslo leží prvek nalevo od ní. V tomto případě se toto číslo nazývá limita funkce v mínus nekonečnu , pokud pro libovolné kladné číslo existuje kladné číslo, které mu odpovídá takové, že pro všechny body nalevo platí nerovnost . $f \left( x \right)$ $X$ $\delta$ $A$ $f \left( x \right)$ $\varepsilon$ $\delta$ $\left(-\delta\right)$ $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$ $\lim _{x\to -\infty }f(x)=A\šipka doleva \forall \varepsilon >0~\existuje \delta =\delta (\varepsilon )>0~\forall x\in X~ x<-\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon .$

Definice sousedství podle Cauchyho

Nechť je funkce definována na množině , která má prvky mimo jakékoli okolí nuly. V tomto případě se bod nazývá limita funkce v nekonečnu , pokud pro kterékoli z jeho malých okolí existuje dostatečně velké okolí nuly, že všechny hodnoty funkce v bodech ležících mimo toto okolí nuly spadají do toto okolí bodu . $f(x)$ $X$ $A$ $f(x)$ $A$

\lim _{x\to \infty }f(x)=A\Šipka doleva \forall O(A)~\existuje O(0)~f{\big (}X\setminus O(0){\ velký )}\subseteq O(A)

Částečný limit

Pro funkci, stejně jako pro posloupnost , lze zavést pojem částečné limity. Číslo se nazývá částečná limita funkce v bodě , jestliže „ prochází “ taková nekonečná podposloupnost posloupnosti , po které při neomezeném nárůstu čísla funkce směřuje k existenci limity funkce v bodě. je nezbytný a dostačující pro [2] . $l$ $f(x)$ $x_0,$ $x_{n}\to x_{0},x_{n}\neq x_{0},$ $f(x)$ $l.$ $f(x)$ $x_{0}$ $\varlimsup _{x_{n}\to x_{0}}f(x),$ $f(x)$ $x_{0}$ $\varliminf _{x_{n}\to x_{0}}f(x).$ $x_{0}$ $\varliminf _{x_{n}\to x_{0}}f(x)=\varlimsup _{x_{n}\to x_{0}}f(x)$

Notace

Pokud má funkce v určitém bodě limit rovný , pak říkají, že funkce inklinuje k , když inklinuje k , a zapisují jedním z následujících způsobů: $x_{0}$ $f(x)$ $A$ $f(x)$ $A$ $X$ $x_{0}$

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=A;$
nebo $f(x)~{\xarrowarrow[{x\to x_{0}}]{}}A.$

Pokud má funkce limitu v nekonečnu rovnou , pak se říká, že funkce má tendenci k blížícímu se nekonečnu a je zapsána jedním z následujících způsobů: $f(x)$ $A$ $f(x)$ $A$ $X$

$\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)=A;$
nebo $f(x)~{\xarrowarrow[{x\to \infty }]{}}A.$

Pokud má funkce limitu v plus nekonečnu rovnou , pak se říká, že funkce má tendenci k plus nekonečnu, a je zapsána jedním z následujících způsobů: $f(x)$ $A$ $f(x)$ $A$ $X$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=A;$
nebo $f(x)~{\xarrowarrow[{x\to +\infty }]{}}A.$

Pokud má funkce limitu v mínus nekonečnu rovnou , pak se říká, že funkce má tendenci k mínus nekonečnu a je zapsána jedním z následujících způsobů: $f(x)$ $A$ $f(x)$ $A$ $X$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=A;$
nebo $f(x)~{\xarrowarrow[{x\to -\infty }]{}}A.$

Vlastnosti limit numerických funkcí

Nechť jsou uvedeny číselné funkce a aspirační bod $f,g\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $a \in M'.$ [ vyčistit ]

Stejná funkce ve stejném bodě může mít pouze jednu limitu. $\left(\lim _{x\to a}f(x)=A_{1}\right)\land \left(\lim _{x\to a}f(x)=A_{2} \right)\Rightarrow (A_{1}=A_{2})$

Důkaz

$\černý trojúhelník vlevo$ Důkaz kontradikcí. Nechat existovat a . $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1$ $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2$ $A_1\není= A_2$

Předpokládejme . Vezměme a zapišme si definice: $A_1<A_2$ $\varepsilon = \frac{A_2-A_1}{2} >0$

$\lim \limits _{x\to a}f(x)=A_{1}\Rightarrow \exists \delta _{1}=\delta _{1}(\varepsilon )>0\;\forall x\in {\dot {U}}_{\delta _{1}}(a)\cap M\Rightarrow |f(x)-A_{1}|<\varepsilon$ .

$\lim \limits _{x\to a}f(x)=A_{2}\Rightarrow \exists \delta _{2}=\delta _{2}(\varepsilon )>0\;\forall x\in {\dot {U}}_{\delta _{2}}(a)\cap M\Rightarrow |f(x)-A_{2}|<\varepsilon$ .

Nechte , pak : a $\delta=\min(\delta_1,\delta_2) >0$ $\forall x \in \dot{U}_{\delta}(a) \cap M$ $|f(x) - A_1| < \varepsilon$ $|f(x) - A_2| < \varepsilon$

ale pak $|A_2 - A_1| = |(A_2 - f(x)) + (f(x) - A_1)| \le |A_2 - f(x)| + |f(x) - A_1|< 2\varepsilon = A_2 - A_1$

tedy protimluv. Limit je tedy pouze jeden. $|A_2 - A_1| < A_2 - A_1 \Šipka doprava$ $\černý trojúhelníkvpravo$

Konvergentní funkce zachovává znaménko pouze lokálně a nic jiného. Obecněji: $\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\vpravo)\klín (A>B)\Rightarrow \left(\exists \epsilon >0~\forall x\in {\tečka {U}}_{\epsilon }(a)\cap M~f(x)>B\right),$

kde je proražené okolí bodu poloměru

\dot{U}_{\epsilon}(a)

A

\epsilon .

Zejména funkce konvergující ke kladné (záporné) limitě zůstává kladná (záporná) v určitém sousedství limitního bodu: $\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A>0\right)\Rightarrow \left(\exists \varepsilon >0~\forall x\in {\tečka {U }}_{\epsilon }(a)\cap M~f(x)>0\right).$

Konvergentní funkce je lokálně omezená v okolí limitního bodu: $\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\Rightarrow \left(\exists \varepsilon >0~\exists K>0~\forall x\in { \dot {U}}_{\epsilon }(a)\cap M~|f(x)|\leqslant K\right).$

Oddělitelnost od nuly funkcí, které mají nenulový limit. $\exists \lim \limits _{x\to a}f(x)=A\neq 0\Rightarrow \exists \delta >0~\forall x\in {\tečka {U}}_{\delta }(a)~|f(x)|\geqslant {\frac {A}{2)).$

Operace odebírání limitu zachovává nepřísné nerovnosti. $\left(\exists \varepsilon >0~\forall x\in {\tečka {U}}_{\varepsilon }(a)~f(x)\leqslant g(x)\right)\wedge \ vlevo(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\vpravo)\klín \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\vpravo)\Šipka vpravo ( A\leqslant B).$
- Při přejezdu na limit nemusí být zachovány přísné nerovnosti. Příklad: V těsné blízkosti nuly , ale jejich meze v nule se shodují. $f(x)=x^{2};\ g(x)=|x|.$ $f(x)<g(x),$

Věta o dvou policistech.

L'Hospitalovo pravidlo : if jsou funkce s reálnou hodnotou , které jsou diferencovatelné v proraženém okolí bodu , kde je reálné číslo nebo jeden z prvků , a $f(x),\,g(x)$ $U$ $A$ $A$ $+\infty ,-\infty ,\infty$
1. $\lim _{{x\to a}}{f(x)}=\lim _{{x\to a}}{g(x)}=0$ nebo ; $\infty$
2. $g'(x)\neq 0$ v ; $U$
3. existuje ; $\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac {f'(x)}{g'(x)))}$

pak existuje .

\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac {f(x)}{g(x)}}}=\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac { f'(x)}{g'(x)}}}

Limit součtu se rovná součtu limitů: $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left ( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = A+B \right);$

Limit rozdílu se rovná rozdílu limitů: $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left ( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = AB \right);$

Limit produktu se rovná součinu limitů: $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left ( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = A\cdot B \right);$

Podílová limita se rovná podílu limit: $\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\vpravo)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\neq 0\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}\left[{\frac {f(x)}{g(x)))\right]={\frac {A}{ Jasný);$

Limit složení: $\lim _{x\to a}f(x)=A,\;\lim _{y\to A}g(y)=B\;\Šipka doprava \;\lim _{x\to a }g\left(f(x)\right)=B.$

Příklady

Konstantní funkce má limitu v libovolném bodě, kde je definována. Rovná se konstantě samotné. $\forall x_{0}\in \mathbb {R} \lim _{x\to x_{0}}c=c.$
Identická funkce v libovolném bodě, ve kterém je definována, má limitu rovnou tomuto bodu. $\forall x_{0}\in \mathbb {R} \lim _{x\to x_{0}}{\text{id }}x=\lim _{x\to x_{0}}x =x_{0}.$
Dirichletova funkce nemá žádné omezení v žádném bodě reálné čáry . $\forall x_{0}\in \mathbb {R} ~\není \existuje \lim _{x\to x_{0}}D\left(x\right).$
Riemannova funkce nemá limitu pouze v racionálních bodech. $x_{0}\in \mathbb {Q} \Šipka doleva\není \existuje \lim _{x\to x_{0}}R\doleva(x\doprava)=0.$
Funkce má limitu v nekonečnu rovnou nule . $1/x$ $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=\lim _ {x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0.$
Funkce arkustangens má limity v plus a mínus nekonečno plus a mínus pí v polovině, a proto nemá limitu v nekonečnu. $\lim _{x\to +\infty }\operatorname {arctg} ~x=+{\frac {\pi }{2)),$ $\lim _{x\to -\infty }\operatorname {arctg} ~x=-{\frac {\pi }{2)),$ $\not \exists \lim _{x\to \infty }\operatorname {arctg} ~x.$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Kapitola 3. Teorie limit // Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 105 - 121. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Demidovich B.P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. - 7. vyd. — M .: Nauka , 1969. — S. 47.

Literatura

Matematický encyklopedický slovník / Ed. Yu. V. Prochorova. - M .: Sovětská encyklopedie, 1988. - S. 482 -483. — 847 s.
Zorich V. A. Matematická analýza. - Moskva: Nakladatelství MTsNMO , 2012. - T. Ve dvou svazcích.

Odkazy

Limit of Function Archivováno 23. března 2020 na Wayback Machine . Gabovič. I. Kvant. 1980 č. 10
Limita funkce v bodě. Teoretický odkaz Archivováno 7. května 2009 na Wayback Machine