Mezera (matematika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. prosince 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Interval [1] , nebo přesněji interval číselné osy , je množina reálných čísel - taková, že pokud do této množiny patří nějaká dvě čísla, pak do této množiny patří i jakékoli číslo ležící mezi nimi [2] . Pomocí logických symbolů lze tuto definici zapsat takto:

množina je interval pouze tehdy, když

X\subseteq \mathbb {R}

\forall x\forall y\forall z{\big (}(x\in X)\wedge (z\in X)\wedge (x<y<z)\Rightarrow y\in X{\big ) },

kde je univerzální kvantifikátor . Následující sady jsou příklady mezer: $\pro všechny$

{\begin{aligned}X_{1}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x\leqslant 1\},&X_{2}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x<1\},&X_{3}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x\leqslant 1\},\\X_{4}&=\ {x\in \mathbb {R} \colon 0<x<1\},&X_{5}&=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\},&X_{6}&=\ {x\in \mathbb {R} \colon x<1\},\\X_{7}&=\mathbb {R} ,&X_{8}&=\varnothing .\end{aligned}}

Typy mezer

Koncové rozpětí

Konečný interval se skládá z množiny čísel uzavřených mezi dvěma čísly a - konce intervalu , které samy o sobě mohou být zahrnuty do jeho složení, nebo ne [1] . Jestliže a ≤ b , pak délka takového intervalu se nazývá číslo . $A$ $b$ $|ab|=|ba|=ba$

Uzavřený (Uzavřený) konečný interval

Jestliže , pak se interval nazývá segment [3] nebo číselný segment a značí se : $a \leqslant b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\))$ $[a,b]$

[a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}.

V případě, že segment degeneruje do množiny jednoho bodu (do singletonu ). $a=b$

Open End Gap

Jestliže , pak se interval nazývá interval a značí se : $a < b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ $\{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}$ $(a,b)$

(a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}.

K označení otevřené mezery často používají místo toho označení na návrh N. Bourbakiho . $(a,b)$ $]a,b[$

Polouzavřené (polootevřené) konečné rozpětí

mezery

[a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\},\quad (a, b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}

se nazývají poloviční segmenty (nevyplněné do segmentu) nebo poloviční intervaly .

Nekonečná mezera

Nekonečné mezery

\{x\in \mathbb {R} \colon x\geqslant a\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},\quad \{x\in \ mathbb {R} \colon x\leqslant b\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x<b\}\quad

\quad \mathbb {R}

na kladné nebo záporné straně nejsou omezeny na žádné reálné číslo. V tomto případě je vhodné předpokládat, že tyto intervaly mají nesprávná čísla a jako jeden z konců nebo oba konce , za předpokladu, že vztah platí pro jakékoli reálné číslo . Označení a názvy nekonečných intervalů jsou podobné jménům, která mají pro konečné intervaly. Například, výše uvedené sady mohou být přepsány odpovídajícím způsobem jako $-\infty$ $+\infty$ $x \in \mathbb{R}$ $-\infty <x<+\infty$

[a,+\infty ),\quad (a,+\infty ),\quad (-\infty ,b],\quad (-\infty ,b),\quad (-\infty ,+\ infty ),

Navíc, vzhledem k tomu, že a , podle definice nejsou v těchto souborech zahrnuty, nejsou v těchto souborech zahrnuty. $-\infty$ $+\infty$ $\mathbb {R} ,$

Prázdné místo

Prázdná množina je také interval, triviálně spadající pod její definici: $\varno nic$

[b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing ,

kde a < b .

Intervaly afinně rozšířené číselné osy

Množina reálných čísel doplněná o prvky a , se nazývá prodloužená (přesněji afinně rozšířená , pro odlišení od projektivně prodloužené přímky ) reálná čára a označuje se , tzn. $\mathbb {R}$ $+\infty$ $-\infty$ $\overline{\mathbb{R}}$

{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}=[-\infty ,+\infty ].

Navíc, pro jakékoli reálné číslo , podle definice, nerovnosti $x \in \mathbb{R}$

-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty

Pro rozšířenou číselnou řadu se zavádějí i pojmy intervaly - segmenty, intervaly, polointervaly [1] . Na rozdíl od odpovídajících intervalů číselné řady mohou obsahovat prvky . Například . $\pm \infty$ $(a, +\infty] = (a, +\infty) \hrnek {\{+\infty\))$

Terminologie

V ruštině slova interval a interval odpovídají jednomu anglickému slovu interval . V anglické literatuře [4] a v překladech zahraničních knih, stejně jako v některých dalších knihách v ruštině, se používá následující terminologie :

{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\))

- uzavřený interval ( anglicky closed interval ),

{\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\))

- otevřený interval ( anglicky open interval ),

[a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\}

- polootevřený (nebo polouzavřený) interval ( anglicky half-open interval / half-closed interval ),

{\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\))

- polootevřený (nebo polouzavřený) interval ( anglicky half-open interval / half-closed interval ).

To znamená, že v takové terminologii se všechny nazývají intervaly , ale pouze jiného typu.

Ve starší ruskojazyčné literatuře [5] se místo "interval" používá slovo interval : uzavřený interval , otevřený interval , polootevřený (nebo polouzavřený ) interval .

Zejména v naučné literatuře, kde je největší počet vět pro funkce na kompaktních množinách, je však vhodnější používat samostatný název pro uzavřený interval v jednom slově – segment [3] (pojem „segment“ má spíše geometrický tvar konotace, jako "interval číselné osy"). V tomto případě je termín "interval" přiřazen pouze otevřené mezeře.

Viz také otevřené a uzavřené sady.

Fakta

Věta o střední hodnotě

Známá Bolzanova-Cauchyho věta o středních hodnotách spojité funkce říká: obraz jakéhokoli intervalu pod spojitým zobrazením je také interval. Tato věta má zobecnění pro případ libovolných topologických prostorů : obraz spojené množiny pod spojitým zobrazením je propojen. Číselné intervaly, a navíc jen ony jsou jen spojené podmnožiny . $\mathbb {R}$

Intervalové operace

V praxi interval často charakterizuje rozsah možných hodnot ( přibližně ) měřené hodnoty. Na množině takových intervalů lze definovat aritmetické operace. Poté lze výsledek výpočtů nad veličinami spojit s odpovídajícími výpočty nad jejich intervaly, které nakonec určují interval možných hodnot pro výsledek.

Změřte

Intervaly číselné osy, stejně jako obdélníky v rovině, pravoúhlé rovnoběžnostěny v prostoru atd., jsou jedním z hlavních objektů, na kterých je založena teorie míry , protože jde o nejjednodušší množiny, jejichž míra ( délka , plocha , objem , atd.) ) je snadné určit.

Zobecnění

Připojené sady

Zobecněním rozsahu reálné čáry je pojem spojeného topologického prostoru . Na reálné lince je každá připojená množina mezerou a naopak každá mezera je spojenou množinou.

Také rozpětí číselné osy je základem dalšího, zvláštnějšího, pojmu lineárního spojení . V množině reálných čísel , stejně jako v euklidovském prostoru libovolné dimenze , se pojmy spojení a lineární spojení shodují. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

Konvexní množiny

Dalším zobecněním pojmu interval číselné osy je pojem konvexní množiny .

Mezery v částečně uspořádaných sadách

V nejobecnějším případě může být pojem interval zaveden na libovolné množině, na které je zaveden relace pořadí . $<$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 Kudryavtsev, L. D. Kurz matematické analýzy. - 5. vyd. - M. : "Business Drop", 2003. - T. 1. - S. 64-65. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
↑ V řadě zdrojů je popisován jako interval ; například viz Interval // Kazachstán. Národní encyklopedie . - Almaty: Kazašské encyklopedie , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Ruština) (CC BY SA 3.0)
↑ 1 2 V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Kapitola 2. Reálná čísla // Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M. : Prospekt, 2006. - T. I. - S. 53. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 . Archivováno 23. června 2015 na Wayback Machine
↑ Gelbaum, B., Olmsted, J. Counterexamples in Analysis = Counterexamples in Analysis. - M. : LKI, 2007. - S. 17-18. — 258 s. — ISBN 978-5-382-00046-6 .
↑ Fikhtengolts, G. M. Základy matematické analýzy. - 7. vyd. - M. : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - S. 35. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Velký Rus