Věta o střední hodnotě

Věta o střední hodnotě (nebo Bolzano-Cauchyova věta ) říká, že pokud spojitá funkce definovaná na reálném intervalu nabývá dvou hodnot, pak nabývá jakékoliv hodnoty mezi nimi.

Formulace

Nechť je na segmentu dána spojitá funkce Předpokládejme také bez ztráty obecnosti, že Pak pro libovolné existuje takové, že . $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )}.$ $f(a)\neq f(b),$ $f(a)=A<B=f(b).$ $C\in [A,B]$ $c\in[a,b]$ $f(c)=C$

Důkaz

Uvažujme funkci Je spojitá na úsečce a na konci menší než nula , .)vpravonežvětší $g(x)=f(x)-C.$ $[a,b]$ $g(a)<0$ $g(b)>0.$ $c\in[a,b]$ $g(c)=0.$ $[a,b]$ $x_{0}$ $g(x_{0})=0$ ${\displaystyle c=x_{0))$ $g(x_{0})\neq 0$ $g(x)$

Označením výsledného segmentu jej opět rozdělíme na dva segmenty stejné délky atd. Potom buď po konečném počtu kroků dojdeme k požadovanému bodu , nebo získáme sekvenci vnořených segmentů majících sklon k nule a takové, že $[a_{1},b_{1}]$ $C$ $[a_{n},b_{n}]$

$g(a_{n})<0<g(b_{n}).$

Nechť - společný bod všech segmentů (podle Cantorova principu existuje a je jedinečný) , Potom a díky spojitosti funkce $C$ $[a_{n},b_{n}]$ $n=1,2,...$ $c=\lim a_{n}=\lim b_{n},$ $g(x):$

$g(c)=\lim g(a_{n})=\lim g(b_{n}).$

Protože

$\lim g(a_{n})\leq 0\leq \lim g(b_{n}),$

dostaneme to $g(c)=0.$

Důsledky

(Věta o nule spojité funkce.) Je-li funkce spojitá na určitém segmentu a nabývá na koncích tohoto segmentu opačná znaménka, pak existuje bod, ve kterém je rovna nule . Formálně: nechat a Pak takový, že $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )},$ $\operatorname {sgn} (f(a))\neq \operatorname {sgn} (f(b)).$ $\exists c\in [a,b]$ $f(c)=0.$
Konkrétně každý polynom lichého stupně má alespoň jednu nulu.

Poznámka

Někdy (ve výcvikových kurzech) se výrok pro nulu nazývá první Bolzanova - Cauchyho věta a obecný výrok se nazývá druhá věta [1] . Ve skutečnosti jsou rovnocenné. [2]

Generalizace

Bolzanova-Cauchyho věta může být zobecněna na obecnější topologické prostory . Jakákoli spojitá funkce definovaná na spojeném topologickém prostoru, která nabývá dvou libovolných hodnot, má také libovolnou hodnotu mezi nimi. Formální zápis: nechť je dán spojený topologický prostor a funkce Nechť a pak $f\dvojtečka X\to \mathbb{R}$ $(X, {\mathcal {T}}),$ $f\in C(X).$ $x_{1},x_{2}\v X,\;f(x_{1})=y_{1},\;f(x_{2})=y_{2},$ $y_{1}<y_{2}.$

\forall y\in [y_{1},y_{2}]\;\existuje x\v X\;f(x)=y.

V této formulaci je věta speciálním případem věty, že obraz souvislé množiny pod spojitým zobrazením je spojen.

Historie

Větu formuloval nezávisle Bolzano v roce 1817 a Cauchy v roce 1821.

Viz také

Poznámky

↑ Matematická analýza: Spojité funkce . Datum přístupu: 24. ledna 2010. Archivováno z originálu 24. listopadu 2010. (neurčitý)
↑ Shilov, 1969 , str. 163.

Literatura

Shilov G.E. Matematická analýza (funkce jedné proměnné). - M. : Nauka, 1969. - 528 s.