Konečně-dimenzionální prostor

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. září 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Konečně-dimenzionální prostor je vektorový prostor , ve kterém existuje konečná báze - generující (úplný) lineárně nezávislý systém vektorů. Jinými slovy, v takovém prostoru existuje konečný lineárně nezávislý systém vektorů, jehož lineární kombinace může představovat libovolný vektor daného prostoru.

Základem je (současně) jak minimální generující (úplný) systém, tak maximální lineárně nezávislý systém vektorů. Všechny báze obsahují stejný počet prvků, což se nazývá dimenze vektorového prostoru .

Konečně-dimenzionální prostor, ve kterém je zaveden skalární součin jeho prvků , se nazývá euklidovský . Konečněrozměrný prostor, ve kterém je zavedena norma jeho prvků, se nazývá konečněrozměrný normovaný prostor . Přítomnost vnitřního produktu nebo normy generuje metriku v konečně-dimenzionálním prostoru .

Vlastnosti konečně-rozměrných prostorů

Jakýkoli prvek konečně-dimenzionálního prostoru může být reprezentován jedinečně ve formě $X$ $X$

x=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+...+a_{n}e_{n},

$a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {P}$ kde je pole (často nebo ), nad kterým je prostor uvažován , jsou prvky základu. Vyplývá to z definice základu. ${\mathbb P}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $X$ $e_{1},e_{2},...,e_{n}\in X$

Také jakýkoli základ v euklidovském prostoru může být ortonormální pomocí Schmidtovy ortogonalizace .

Všechny báze konečnorozměrného prostoru se skládají ze stejného počtu prvků. Tato vlastnost udává správnost definice rozměru prostoru .
Nechť je konečný-dimenzionální prostor a je lineárně nezávislý systém prvků. Pak lze tento systém vždy doplnit o základ . $X$ $\{x_{1},x_{2},...,x_{k}\}$
Všechny konečnorozměrné prostory stejné dimenze jsou navzájem izomorfní.
V libovolném konečně-rozměrném prostoru nad polem lze zavést vnitřní součin . Například v prostoru s pevnou bází, dimenzí , můžete skalární součin zadat podle pravidla: , kde jsou složky vektorů , resp. Z této vlastnosti vyplývá, že v konečněrozměrném prostoru nad polem lze zavést normu a metriku . V důsledku toho lze získat: $\mathbb {R}$ $X$ $n$
${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X,(x_{1},x_{2})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{ k))$ $\{a_{k}\},\{b_{k}\}$ $x_{1}$ $x_{2}$
$\mathbb {R}$
- $X$ je reflexivní prostor [1] .
- Prostor
duální k nějakému konečně-dimenzionálnímu prostoru je konečný-dimenzionální a jeho dimenze se shoduje s dimenzí . $X^{*}$ $X$ $X$
Pro jakýkoli podprostor konečněrozměrného prostoru existuje podprostor [2] takový, že a se rozkládá na přímý součet a , . $M\podmnožina X$ $X$ $M^{\perp }\subset X$ $\forall x\in M,\forall y\in M^{\perp },x\perp y$ $X$ $M$ ${\displaystyle M^{\perp ))$ $X=M\oplus M^{\perp }$

V euklidovském prostoru každá slabě konvergentní posloupnost silně konverguje.

Všechny normy v konečně-dimenzionálním prostoru nad polem jsou ekvivalentní. Konvergence v euklidovském prostoru je ekvivalentní souřadnicové konvergenci.

\mathbb {R}

Každý lineární spojitý operátor v konečněrozměrném prostoru může být reprezentován jako matice .

Prostor nad polem je konečnorozměrný právě tehdy, když je operátor identity zcela spojitý .

X

\mathbb {R}

I:X\rightarrow X

Prostor je konečnorozměrný právě tehdy, když na něj působí invertibilní zcela spojitý operátor .

X

X

Prostor je konečnorozměrný právě tehdy, když je jednotková koule předkompaktní. Tuto vlastnost lze přeformulovat následovně: prostor je konečnorozměrný právě tehdy, když je jakákoli množina ohraničená předkompaktní.

X

X

X

X

Jakýkoli lineární operátor definovaný v konečněrozměrném prostoru je spojitý a dokonce zcela spojitý .

A:X\rightarrow Y

X

V konečněrozměrném prostoru je každý operátor unitární právě tehdy, když je izometrický, to znamená, že zachovává bodový součin.

Příklady

Euklidovský prostor má rozměr 3, za jeho základ lze zvolit trojici vektorů ${\mathbb E}^{3}$

\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix)),{\začátek {pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}

Obecnějším případem jsou prostory dimenze n . Norma v nich je obvykle nastavena jedním z následujících způsobů ( ): $\mathbb {R} ^{n}$ $1\leq p<\infty$

\|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{|x_{i}|^{p))))

nebo

\|x\|_{\infty }=\max _{i=1,2,\tečky ,n}{|x_{i}|}.

Pokud zavedeme normu a skalární součin, pak bude prostor euklidovský. ${\displaystyle \|x\|_{2))$ $(x,y)={\sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i))},$

$P^{n}$ je prostor všech polynomů stupně nejvýše . Rozměr tohoto prostoru je . Základ v něm tvoří mnohočleny . $n$ $n+1$ ${\displaystyle 1,x,x^{2},...,x^{n))$
Nechť je libovolný lineární prostor a nechť je nějaký lineárně nezávislý systém vektorů. Potom lineární rozpětí překlenuté tímto systémem je konečně-dimenzionální prostor. $X$ $\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$

Viz také

Nekonečný prostor

Poznámky

↑ Tuto skutečnost lze získat jak pomocí Riesz-Fréchetovy věty , tak přímými výpočty, bez použití teorie Hilbertových prostorů.
↑ se často nazývá ortogonální doplněk k ${\displaystyle M^{\perp ))$ $M$

Literatura

Trenogin V.A. Funkční analýza. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Halmos P. Konecnorozměrné vektorové prostory = Konecnorozměrné vektorové prostory. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 s.
Shilov G.E. Matematická analýza. Speciální kurz. - 2. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 s.

Dimenze prostoru
Prostory podle dimenzí	Nulový rozměr jednorozměrný 2D 3D čtyřrozměrný pětirozměrný šestirozměrný sedmirozměrný osmičková devítirozměrný n-rozměrný Negativní rozměr
Polytopy a postavy	Simplexní hyperkrychle tesseract Hyperobdélník (ortotop) Semihypercube Cross-polytope hypersféra
Typy prostorů	konečně-dimenzionální prostor Euklidovský prostor afinní prostor projektivní prostor Modul zdarma Rozdělovač Dimenze algebraické proměnné vesmírný čas
Jiné dimenzionální koncepty	Krullova dimenze Lebesgueova dimenze Indukční rozměr Zlomková dimenze ( Minkowského dimenze , Hausdorffova dimenze ) fraktální dimenze Stupně svobody
Matematika