Tesseract

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. února 2020; kontroly vyžadují 32 úprav .
tesseract
Typ Pravidelný čtyřrozměrný polytop
symbol Schläfli {4,3,3}
buňky osm
tváře 24
žebra 32
Vrcholy 16
Vertexová postava pravidelný čtyřstěn
Dvojitý polytop 16-článkový

Tesseract (z jiného řeckého τέσσαρες ἀκτῖνες  - „čtyři paprsky“) je čtyřrozměrná hyperkrychle , obdoba konvenční trojrozměrné krychle ve čtyřrozměrném prostoru . Další názvy: 4-cube , tetracube , osmi -cell [1] , octahor (z jiného řeckého οκτώ  "osm" + χώρος  "místo, prostor"), hypercube (pokud není uveden počet rozměrů). Tesseract je jednou ze šesti pravidelných multi -buněk ve čtyřrozměrném prostoru.

Podle Oxfordského slovníku bylo slovo „tesseract“ vytvořeno Charlesem Howardem Hintonem (1853-1907) a poprvé bylo použito v roce 1888 ve své knize A New Age of Thought.

Geometrie

Obyčejný tesseract v euklidovském čtyřrozměrném prostoru je definován jako konvexní obal bodů (±1, ±1, ±1, ±1). Jinými slovy, může být reprezentován jako následující sada:

Tesseract je omezen osmi nadrovinami , jejichž průsečík se samotným tesseractem definuje jeho trojrozměrné plochy (což jsou obyčejné krychle). Každý pár nerovnoběžných 3D ploch se protne a vytvoří 2D plochy (čtverce) a tak dále. Nakonec má tesseract 8 3D ploch, 24 2D, 32 hran a 16 vrcholů.

Čtyřrozměrný hyperobjem tesseractu s délkou strany a se vypočítá podle vzorce:

Objem hyperpovrchu tesseract lze zjistit podle vzorce:

Poloměr opsané hypersféry:

Poloměr vepsané hypersféry:

Populární popis

Zkusme si představit, jak bude hyperkrychle vypadat, aniž bychom opustili trojrozměrný prostor .

V jednorozměrném "prostoru" - na přímce - vybereme úsečku AB délky L. Na dvourozměrné rovině ve vzdálenosti L od AB nakreslíme úsečku DC rovnoběžně s ní a spojíme jejich konce. Získáte čtvercový CDBA . Opakováním této operace s rovinou dostaneme trojrozměrnou krychli CDBAEGHF. A posunutím krychle ve čtvrtém rozměru (kolmo k prvním třem) o vzdálenost L dostaneme hyperkrychli CDBAGHFEKLJIOPNM .

Jednorozměrný segment AB je stranou dvojrozměrného čtverce CDBA, čtverec je stranou krychle CDBAEGHF, která bude naopak stranou čtyřrozměrné hyperkrychle. Úsečka přímky má dva hraniční body, čtverec má  čtyři vrcholy a krychle  osm. Ve čtyřrozměrné hyperkrychli tedy bude 16 vrcholů: 8 vrcholů původní krychle a 8 vrcholů posunutých ve čtvrté dimenzi. Má 32 hran – 12 každá udává počáteční a konečnou polohu původní krychle a 8 dalších hran „kreslí“ osm jejích vrcholů, které se přesunuly do čtvrté dimenze. Stejné uvažování lze provést pro plochy hyperkrychle. Ve dvourozměrném prostoru je to jeden (samotný čtverec), krychle jich má 6 (dvě plochy z posunutého čtverce a čtyři další budou popisovat jeho strany). Čtyřrozměrná hyperkrychle má 24 čtvercových ploch - 12 čtverců původní krychle ve dvou pozicích a 12 čtverců z dvanácti jejích hran.

Protože strany čtverce jsou 4 jednorozměrné segmenty a strany (plochy) krychle jsou 6 dvourozměrnými čtverci, tak pro "čtyřrozměrnou kostku" (tesseract) jsou strany 8 trojrozměrných krychlí. Prostory opačných dvojic tesseractových krychlí (tj. trojrozměrné prostory, ke kterým tyto krychle patří) jsou rovnoběžné. Na obrázku jsou to kostky: CDBAEGHF a KLJIMOPN, CDBAKLJI a GHFEOPNM, EFBAMNJI a GHDCOPLK, CKIAGOME a DLJBHPNF.

Podobným způsobem můžeme pokračovat v úvahách pro hyperkrychle většího počtu rozměrů, ale mnohem zajímavější je sledovat, jak bude čtyřrozměrná hyperkrychle vypadat pro nás, obyvatele trojrozměrného prostoru. Použijme k tomu již známou metodu analogií.

Vezmeme drátěnou kostku ABCDHEFG a podíváme se na ni jedním okem ze strany obličeje. Uvidíme a můžeme nakreslit dva čtverce na rovinu (její blízké a vzdálené plochy), spojené čtyřmi čarami - bočními hranami. Podobně čtyřrozměrná hyperkrychle v trojrozměrném prostoru bude vypadat jako dvě krychlové „krabice“ vložené do sebe a spojené osmi hranami. V tomto případě se do "nášho" prostoru promítnou samotné "krabice" - trojrozměrné tváře a spojnice je protáhnou ve směru čtvrté osy. Můžete si také zkusit představit krychli ne v projekci, ale v prostorovém obrázku.

Stejně jako je trojrozměrná krychle tvořena čtvercem posunutým o délku plochy, krychle posunutá do čtvrtého rozměru vytvoří hyperkrychli. Je omezena osmi kostkami, které v budoucnu budou vypadat jako nějaká poměrně složitá figurka. Samotná čtyřrozměrná hyperkrychle se skládá z nekonečného počtu krychlí, stejně jako lze trojrozměrnou krychli „rozřezat“ na nekonečné množství plochých čtverců.

Rozřezáním šesti ploch trojrozměrné krychle ji rozložíte na plochou figurku - síť . Bude mít čtverec na každé straně původního obličeje plus jeden další - obličej proti němu. Trojrozměrný vývoj čtyřrozměrné hyperkrychle se bude skládat z původní krychle, šesti krychlí, které z ní „vyrostou“, plus jedné další – konečné „hyperface“.

Vlastnosti tesseractu jsou rozšířením vlastností geometrických obrazců menšího rozměru do čtyřrozměrného prostoru.

Tesseract se rozvíjí

Stejně jako lze povrch krychle rozvinout do mnohoúhelníku sestávajícího ze šesti čtverců , lze povrch tesseractu rozvinout do trojrozměrného tělesa sestávajícího z osmi krychlí [2] .

Existuje 261 rozvinutí tesseractu [3] . Rozvinutí hyperkrychle lze nalézt výčtem „párových stromů“, kde „párový strom“ ( párový strom ) je strom se sudým počtem vrcholů, které jsou spárovány tak, že žádný pár se neskládá ze dvou sousedních vrcholů. Existuje vzájemná korespondence mezi "dvojitými stromy" s 8 vrcholy a rozvinutím tesseractu . Celkem se jedná o 23 stromů s 8 vrcholy, při rozdělení jejichž vrcholů na dvojice nesousedících vrcholů se získá 261 „dvojitých stromů“ s 8 vrcholy [4] .

Křížové rozvinutí tesseractu je prvkem malby Salvadora Dalího „ Cerpus Hypercubus “ (1954) [5] .

V povídce Roberta Heinleina „ The House That Teel Built “ staví kalifornský architekt Quintus Teel dům ve formě rozvíjející se hyperkrychle, která se během zemětřesení složí do tesseractu [5] .

Projekce

Na dvourozměrném prostoru

Tuto strukturu je těžké si představit, ale je možné promítnout tesseract do 2D nebo 3D prostorů . Projekce do roviny navíc usnadňuje pochopení umístění vrcholů hyperkrychle. Tímto způsobem lze získat obrázky, které již neodrážejí prostorové vztahy v tesseractu, ale které ilustrují strukturu spojení vrcholů, jako v předchozích příkladech:

Do trojrozměrného prostoru

Jedním z průmětů tesseractu do trojrozměrného prostoru jsou dvě vnořené trojrozměrné krychle, jejichž odpovídající vrcholy jsou spojeny segmenty. Vnitřní a vnější krychle mají ve 3D prostoru různé velikosti, ale ve 4D prostoru jsou to stejné krychle. Pro pochopení rovnosti všech kostek tesseractu byl vytvořen rotační model tesseractu.

Další zajímavou projekcí tesseractu do trojrozměrného prostoru je kosočtverečný dvanáctistěn se čtyřmi nakreslenými úhlopříčkami spojujícími dvojice protilehlých vrcholů pod velkými úhly kosočtverců. V tomto případě se 14 ze 16 vrcholů tesseractu promítá do 14 vrcholů kosočtvercového dvanáctistěnu a projekce zbývajících 2 se shodují v jeho středu. Při takové projekci do trojrozměrného prostoru je zachována rovnost a rovnoběžnost všech jednorozměrných, dvourozměrných a trojrozměrných stran.

Stereopair

Stereopár tesseractu je znázorněn jako dvě projekce do roviny jedné z trojrozměrných reprezentací tesseractu. Stereo pár je nahlížen tak, že každé oko vidí pouze jeden z těchto obrazů, vzniká stereoskopický efekt, který umožňuje lépe vnímat projekci tesseractu do trojrozměrného prostoru.

Tesseract v kultuře

Poznámky

  1. ↑ D.K. Bobylev . Čtyřrozměrný prostor // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona  : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
  2. ↑ Gardner, 1989 , pp. 48-50.
  3. ↑ Gardner 1989 , str. 272: "Peter Turney ve svém článku z roku 1984 "Unfolding the Tesseract" používá teorii grafů, aby ukázal, že existuje 261 různých rozvinutí.".
  4. ↑ Peter Turney. Unfolding the Tesseract  (anglicky)  // Journal of Recreational Mathematics  : journal. — 1984-85. — Sv. 17 , č. 1 . Archivováno z originálu 25. července 2018.
  5. ↑ 12 Gardner , 1989 , s. padesáti.

Literatura

Odkazy

V Rusku V angličtině
Základní konvexní pravidelné a homogenní polytopy v rozměrech 2–10
Rodina A n B n I₂(p) / D n E₆ / E7 / E8 / F4 / G2 H4
pravidelný mnohoúhelník pravoúhlý trojuhelník Náměstí Pravidelný
p-gon 		Pravidelný šestiúhelník pravidelný pětiúhelník
Jednotný mnohostěn pravidelný čtyřstěn Pravidelný osmistěn • Krychle půl kostky Pravidelný dvanáctistěn • Pravidelný dvacetistěn
Jednotná multibuňka Pětibuňkový 16článkový • Tesseract Semitesseract 24-článkový 120článkový • 600článkový
Homogenní 5-polytop Běžný 5-simplex 5-ortoplex • 5-hypercube 5-polohyperkrychle
Homogenní 6-polytop Běžný 6-simplex 6-orthoplex • 6-hypercube 6-polohyperkrychle 1 22 • 2 21
Homogenní 7-polytop Běžný 7-simplex 7-ortoplex • 7-hypercube 7-polohyperkrychle 1 32 • 2 31 • 3 21
Homogenní 8-polytop Běžný 8-simplex 8-orthoplex • 8-hypercube 8-půl-hyperkrychle 1 42 • 2 41 • 4 21
Homogenní 9-polytop Běžný 9-simplex 9-ortoplex • 9-hypercube 9-polohyperkrychle
Homogenní 10-polytop Běžný 10-simplex 10-ortoplex • 10-hypercube 10-půl-hypercube
Jednotný n - polytop Pravidelné n - simplexní n - ortoplex • n - hyperkrychle n - semi-hypercube 1 k2 • 2 k1 • k 21 n - pětiúhelníkový mnohostěn
Témata: Rodiny polytopů • Regulární polytopy • Seznam regulérních polytopů a jejich sloučenin
 symbol Schläfli
Polygony
hvězdné polygony
Ploché parkety _
Pravidelné mnohostěny
a kulové parkety
Kepler-Poinsotův mnohostěn
voštiny{4,3,4}
Čtyřrozměrné mnohostěny