Osmistěn

Pravidelný osmistěn

( rotující model )

Typ

pravidelný mnohostěn

Kombinatorika

Prvky

8 ploch
12 hran
6 vrcholů

X = 2

Fazety

pravidelné trojúhelníky

4.4.4

Klasifikace

Notový zápis

symbol Schläfli

$\{3,4\}$
$r\{3,3\}$ nebo $\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$

symbol Wythoff

4 | 2 3

Dynkinův diagram

Skupina symetrie

O_{h}

Rotační skupina

Ó

kvantitativní data

Dihedrální úhel

\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\cca 109,5^{\circ }

Pevný úhel na vrcholu

2\pi -8\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {3))}\right)

\cca 1,35935

Mediální soubory na Wikimedia Commons

Osmistěn ( řecky οκτάεδρον z οκτώ „osm“ + έδρα „základ“) je mnohostěn s osmi plochami.

Pravidelný osmistěn je jedním z pěti konvexních pravidelných mnohostěnů [1] , tzv. platónských těles ; jeho tváře jsou osm rovnostranných trojúhelníků . Pravidelný osmistěn -

duální na krychli ;
úplné zkrácení čtyřstěnu ;
čtvercová bipyramida v kterémkoli ze tří ortogonálních směrů;
trojúhelníkový antihranol v kterémkoli ze čtyř směrů;
trojrozměrný míč v metrice městských bloků .

Osmistěn je trojrozměrná verze obecnějšího pojetí hyperoktaedru .

Pravidelný osmistěn

Pravidelný osmistěn má 8 trojúhelníkových ploch, 12 hran, 6 vrcholů a 4 hrany se setkávají v každém vrcholu.

Rozměry

Pokud je délka hrany osmistěnu a , pak poloměr koule opsané kolem osmistěnu je:

r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} \cca 0,7071067 \cdot a

poloměr koule vepsané do osmistěnu lze vypočítat podle vzorce:

r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}\cca 0,4082482\cdot a .

dihedrální úhel : , kde . $\alpha = 2\phi \cca 109,47^\circ$ $\phi = arccos(\frac{\sqrt3}{3})$

Poloměr polovepsané koule , která se dotýká všech hran je

r_m = \frac{a}{2} = 0,5\cdot a

Ortografické projekce

Osmistěn má čtyři speciální ortogonální projekce , vycentrované hranou, vrcholem, plochou a normální plochou. Druhý a třetí případ odpovídají Coxeterovým rovinám B 2 a A 2 .

Ortografické projekce

Na střed	okraj	Normální do obličeje	vrchol	okraj
obraz
Projektivní symetrie	[2]	[2]	[čtyři]	[6]

Sférický obklad

Osmistěn může být reprezentován jako kulový obklad a promítán na rovinu pomocí stereografické projekce . Tato projekce je konformní , zachovává úhly, ale ne délky nebo plochu. Segmenty na kouli jsou mapovány na oblouky kružnic v rovině.

ortogonální projekce	Stereografická projekce
	trojúhelníkový střed

Kartézské souřadnice

Osmistěn s délkou hrany lze umístit do počátku tak, aby jeho vrcholy ležely na souřadnicových osách. Kartézské souřadnice vrcholů pak budou ${\sqrt {2}}$

(±1, 0, 0); (0, ± 1, 0); (0, 0, ±1).

V pravoúhlém souřadnicovém systému x - y - z je osmistěn se středem v bodě ( a , b , c ) a poloměr r množinou všech bodů ( x , y , z ) tak, že

\left|x - a\right| + \left|y - b\right| + \left|z - c\right| = r.

Plocha a objem

Celková plocha pravidelného osmistěnu s délkou hrany a je

S=2a^2\sqrt{3} \cca 3,46410162a^2

Objem osmistěnu ( V ) se vypočítá podle vzorce:

V=\begin{matrix}{1\over3}\end{matrix}\sqrt{2}a^3 \approx 0,471404521a^3

Objem osmistěnu je tedy čtyřnásobek objemu čtyřstěnu se stejnou délkou hrany, zatímco plocha povrchu je dvakrát větší (protože povrch se skládá z 8 trojúhelníků, zatímco čtyřstěn má čtyři).

Pokud je osmistěn natažený tak, aby byla splněna rovnost:

\left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1,

vzorce pro povrch a objem se mění na:

A=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}}

V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m

Kromě toho bude tenzor momentů setrvačnosti nataženého osmistěnu roven:

I = \begin{bmatrix} \frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2 ) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+y_m^2) \end{bmatrix}

Redukuje se na rovnici pro pravidelný osmistěn, když: $x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}$

Geometrické vazby

Vnitřní (společná) část konfigurace dvou duálních čtyřstěnů je osmistěn a tato konfigurace samotná se nazývá hvězdicový osmistěn ( latinsky stella octangula ). Konfigurace je jedinou hvězdou osmistěnu. V souladu s tím je pravidelný osmistěn výsledkem odříznutí od pravidelného čtyřstěnu čtyř pravidelných čtyřstěnů s poloviční délkou hrany (to znamená úplné zkrácení čtyřstěnu). Vrcholy osmistěnu leží ve středních bodech okrajů čtyřstěnu a osmistěn souvisí s čtyřstěnem stejným způsobem, jako souvisejí kuboktaedr a ikosidodekaedr se zbytkem platónských těles. Je možné rozdělit okraje osmistěnu ve vztahu ke zlatému řezu a určit tak vrcholy dvacetistěnu . Chcete-li to provést, umístěte vektory na hrany tak, aby všechny plochy byly obklopeny cykly. Poté rozdělíme každou hranu ve zlatém řezu podél vektorů. Výsledné body jsou vrcholy dvacetistěnu.

Oktaedry a čtyřstěny lze prokládat a vytvářet tak vertexové, okrajové a čelní jednotné plástve , které Fuller nazval oktetový svazek . Jedná se o jediné plásty, které umožňují pravidelné skládání do krychle a jsou jedním z 28 typů konvexních jednotných plástů .

Osmistěn je mezi platónskými tělesy jedinečný v tom, že sám má sudý počet ploch v každém vrcholu. Navíc je jediným členem této skupiny, který má roviny symetrie, které neprotínají žádnou tvář.

Používat standardní terminologii pro Johnson mnohostěn , oktaedr může být nazýván čtvercovou bipyramidou . Zkrácení dvou protilehlých vrcholů má za následek zkrácenou bipyramidu .

Osmistěn je 4-propojený . To znamená, že pro odpojení zbývajících musí být odstraněny čtyři vrcholy. Je to jeden z pouhých čtyř 4-spojených jednoduchých dobře pokrytých mnohostěnů, což znamená, že všechny největší nezávislé množiny vertexů mají stejnou velikost. Další tři polyhedra s touto vlastností jsou pětiúhelníková bipyramida , snub biclinoid a nepravidelný mnohostěn s 12 vrcholy a 20 trojúhelníkovými plochami [2] .

Do čtyřstěnu lze vepsat osmistěn, navíc čtyři z osmi stěn osmistěnu budou zarovnány se čtyřmi stěnami čtyřstěnu, všech šest vrcholů osmistěnu bude zarovnáno se středy šesti hran čtyřstěnu.
Do krychle lze vepsat osmistěn, navíc všech šest vrcholů osmistěnu bude zarovnáno se středy šesti stěn krychle.
Do osmistěnu lze vepsat krychli, navíc všech osm vrcholů krychle bude umístěno ve středech osmi stěn osmistěnu.

Jednotné zbarvení a symetrie

Existují 3 jednotné zbarvení osmistěnu, pojmenované podle barev jejich obličeje: 1212, 1112, 1111.

Skupina symetrie oktaedru je O h s řádem 48, trojrozměrná hyperoktaedrická skupina . Podskupiny této skupiny zahrnují D 3d (řád 12), trojúhelníkovou antihranolovou skupinu symetrie , D4h (řád 16), čtvercovou bipyramidovou skupinu symetrie a Td ( řád 24), plně zkrácenou čtyřstěnnou skupinu symetrie . Tyto symetrie mohou být zdůrazněny různým zbarvením obličejů.

název	Osmistěn	Plně zkrácený čtyřstěn (Tetratetrahedron)	Trojúhelníkový antihranol	Čtvercová bipyramida	Kosočtverečná bipyramida
Kreslení (barvení obličeje)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Coxeterův graf		=
symbol Schläfli	{3,4}	r{3,3}	s{2,6} sr{2,3}	ft{2,4} { } + {4}	ftr{2,2} { } + { } + { }
symbol Wythoff	4 \| 3 2	2 \| 4 3	2 \| 6 2 \| 2 3 2
Symetrie	O h , [4,3], (*432)	T d , [3,3], (*332)	D 3d , [2 + ,6], (2*3) D 3 , [2,3] + , (322)	D 4h , [2,4], (*422)	D 2h , [2,2], (*222)
Objednat	48	24	12 6	16	osm

Výstružníky

Existuje jedenáct variant vývoje osmistěnu [3] .

Dualita

Osmistěn je dvojí s krychlí .

Střih

Homogenní čtyřstěn je faseta s čtyřstěnnou symetrií pravidelného osmistěnu se zachováním uspořádání hran a vrcholů . Brus má čtyři trojúhelníkové fasety a 3 centrální čtverce.

Osmistěn	tetrahemihexaedron

Nepravidelný osmistěn

Následující mnohostěny jsou kombinatoricky ekvivalentní pravidelnému osmistěnu. Všechny mají šest vrcholů, osm trojúhelníkových ploch a dvanáct hran, což odpovídá jedna ku jedné parametrům pravidelného osmistěnu.

Trojúhelníkové antihranoly - dvě plochy jsou rovnostranné trojúhelníky ležící v rovnoběžných rovinách a mající společnou osu symetrie. Zbývajících šest trojúhelníků je rovnoramenných.
Čtyřúhelníkové bipyramidy , ve kterých alespoň jeden rovníkový čtyřúhelník leží v rovině. Pravidelný osmistěn je speciální případ, kdy všechny tři čtyřúhelníky jsou ploché čtverce.
Schoenhardtův polytop , nekonvexní polytop, který nelze rozdělit na čtyřstěny bez zavedení nových vrcholů.

Jiné konvexní osmistěny

Obecně lze říci, že každý mnohostěn s osmi plochami může být nazýván osmistěnem. Pravidelný osmistěn má 6 vrcholů a 12 hran, což je minimální počet pro osmistěn. Nepravidelné osmiúhelníky mohou mít až 12 vrcholů a 18 hran [3] [4] . Existuje 257 topologicky odlišných konvexních oktaedrů, kromě zrcadlových kopií [3] . Konkrétně se jedná o 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 oktaedrů s 6 až 12 vrcholy, respektive [5] [6] . (Dva mnohostěny jsou „topologicky odlišné“, pokud mají vnitřně odlišné uspořádání ploch a vrcholů, takže není možné přeměnit jedno těleso na jiné jednoduše změnou délky hran nebo úhlů mezi hranami nebo plochami.)

Některé pozoruhodné nepravidelné osmiúhelníky:

Šestihranný hranol : Dvě plochy jsou rovnoběžné pravidelné šestiúhelníky, šest čtverců spojuje odpovídající dvojice stran šestiúhelníků.
Sedmiúhelníková pyramida : Jedna plocha je sedmiúhelník (obvykle pravidelný) a zbývajících sedm ploch jsou trojúhelníky (obvykle rovnoramenné). Není možné dosáhnout toho, aby všechny trojúhelníkové plochy byly rovnostranné.
Zkrácený čtyřstěn : Čtyři plochy čtyřstěnu jsou zkráceny na pravidelné šestiúhelníky a místo zkrácených vrcholů jsou vytvořeny tři další rovnostranné trojúhelníkové plochy.
Čtyřúhelníkový lichoběžník : Osm ploch je shodných s deltovými svaly .

Osmistěny ve fyzickém světě

Osmistěny v přírodě

Mnoho přírodních krychlových krystalů má tvar osmistěnu. Jedná se o diamant , síran hlinito-draselný , chlorid sodný , perovskit , olivín , fluorit , spinel .
Meziatomové dutiny (póry) v uzavřených strukturách čistých kovů ( nikl , měď , hořčík , titan , lanthan a mnoho dalších) a iontových sloučenin (chlorid sodný, sfalerit , wurtzit atd.) mají tvar oktaedru.
Desky slitiny kamacitu v oktaedritových meteoritech jsou umístěny rovnoběžně s osmi stěnami oktaedru.

Osmistěny v umění a kultuře

Ve hrách je osmistěnná kostka známá jako „d8“.
Pokud je každá hrana osmistěnu nahrazena jednoohmovým odporem , bude celkový odpor mezi protilehlými vrcholy 1/2 ohmu a mezi sousedními vrcholy - 5/12 ohmu [7] .
Na vrcholech osmistěnu lze uspořádat šest hudebních not tak, že každá hrana představuje dvojici souhlásek a každá plocha představuje trojici souhlásek.
Protitankový ježek má tvar tří úhlopříček osmistěnu.

Čtyřboký vaz

Struktura opakujících se čtyřstěnů a osmistěnů byla vynalezena Fullerem v 50. letech 20. století a je známá jako prostorový rám je považována za nejsilnější strukturu odolávající namáhání konzolového nosníku .

Související polytopy

Pravidelný osmistěn lze zvětšit na čtyřstěn přidáním čtyř čtyřstěnů na střídajících se plochách. Přidáním čtyřstěnů ke všem osmi stěnám vznikne hvězdicový osmistěn .

čtyřstěn	hvězdicový osmistěn

Osmistěn patří do rodiny jednotných mnohostěnů souvisejících s krychlí.

Jednotné oktaedrické mnohostěny

Symetrie : [4,3], (*432)							[4,3] + , (432)	[3 + ,4], (3*2)


{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	tr{4,3}	sr{4,3}	s{3,4}
Dvojité mnohostěny

V4 3	v3.82 _	V(3.4) 2	v4.62 _	V3 4	v3.43 _	V4.6.8	V3 4.4 _	V3 5

Je to také jeden z nejjednodušších příkladů hypersimplexu , mnohostěnu tvořeného určitým průsečíkem hyperkrychle s nadrovinou .

Osmistěn je součástí posloupnosti mnohostěnů se Schläfliho symbolem {3, n } rozšiřujícím se do hyperbolické roviny .

* n 32 pravidelných symetrií dlaždic: 3 n nebo {3, n }

kulovitý				euklidovský	Kompaktní hyperbola.		Para - kompaktní	Nekompaktní hyperbolické

3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	38 _	3∞ _	3 12i	39i _	36i _	3 3i

Tetratetrahedron

Pravidelný osmistěn může být viděn jako zcela zkrácený čtyřstěn a může být nazýván čtyřstěnem . To lze ukázat na dvoubarevném modelu. V tomto zbarvení má oktaedr čtyřstěnnou symetrii .

Srovnání sekvence zkrácení čtyřstěnu a jeho dvojí postavy:

Rodina uniformních čtyřstěnných mnohostěnů

Symetrie : [3,3] , (*332)							[3,3] + , (332)


{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Dvojité mnohostěny

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Tělesa nahoře mohou být chápána jako řezy ortogonální k dlouhé úhlopříčce tesseractu . Pokud je tato úhlopříčka umístěna svisle s výškou 1, pak prvních pět sekcí shora bude ve výškách r , 3/8, 1/2, 5/8 a s , kde r je libovolné číslo v intervalu (0 ,1/4] as — libovolné číslo v intervalu [3/4,1).

Osmistěn jako čtyřstěn existuje v posloupnosti symetrií kvazipravidelných mnohostěnů a obkladů s vrcholovou konfigurací (3. n ) 2 , přecházejících z obkladů na kouli do euklidovské roviny a poté do hyperbolické roviny. V orbifold notaci symetrie * n 32 jsou všechny tyto obklady Wythoffovy konstrukce uvnitř základní domény symetrie s generujícími body v pravém úhlu domény [8] [9] .

* n 32 orbifold symetrií kvazipravidelných obkladů : (3. n ) 2

Budova	kulovitý			euklidovský	Hyperbolický
Budova	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Kvazi -pravidelné postavy
Vrchol	(3.3) 2	(3.4) 2	(3,5) 2	(3.6) 2	(3.7) 2	(3,8) 2	(3.∞) 2

Trojúhelníkový antihranol

Jako trojúhelníkový antihranol je osmistěn příbuzný rodině hexagonální dihedrální symetrie.

Jednotný šestiúhelníkový dvoustěnný sférický mnohostěn

Symetrie : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{2,6}	tr{6,2	sr{6,2}	s{2,6}
Jejich dvojité mnohostěny

V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	v26 _	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Rodina homogenních antihranolů n .3.3.3

Konfigurace	V2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	... ∞.3.3.3
Mnohostěn
Mozaika

Čtvercová bipyramida

Bipyramidová rodina

Konfigurace	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	... V∞.4.4
Mnohostěn
Mozaika

Viz také

Poznámky

↑ Selivanov D. F. ,. Geometrické tělo // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
↑ Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010 , str. 894–912.
↑ 1 2 3 Weisstein, Eric W. Octahedron (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ Steven Dutch. Výčet mnohostěnů (nedostupný odkaz) . Získáno 8. listopadu 2015. Archivováno z originálu 10. října 2011. (neurčitý)
↑ Počítání mnohostěnů . Získáno 8. listopadu 2015. Archivováno z originálu 6. května 2016. (neurčitý)
↑ Archivovaná kopie . Získáno 14. srpna 2016. Archivováno z originálu 17. listopadu 2014. (neurčitý)
↑ Klein, 2002 , str. 633–649.
↑ Williams, 1979 .
↑ Dvourozměrné mutace symetrie od Daniela Husona

Literatura

Velká sovětská encyklopedie
Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer. Na dobře krytých triangulacích. III // Diskrétní aplikovaná matematika. - 2010. - T. 158 , č.p. 8 . - doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 .
Douglas J. Klein. Pravidla součtu odporu a vzdálenosti // Croatica Chemica Acta. - 2002. - T. 75 , no. 2 . Archivováno z originálu 10. června 2007.
R. Williams. Kapitola 5 Kaleidoskop, oddíl: 5.7 Wythoffův // Geometrický základ přírodní struktury: Zdrojová kniha designu . — New York: Dover Publications , 1979.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Octahedron (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Klitzing Polytopes, 3D konvexní jednotné mnohostěny
Editovatelná tisknutelná síť osmistěnu s interaktivním 3D zobrazením
Papírový model osmistěnu
KJM MacLean, Geometrická analýza pěti platónských těles a dalších poloregulárních mnohostěnů
Uniformní mnohostěny
Virtuální realita Polyhedra Encyklopedie mnohostěnů
- Conwayova notace pro mnohostěny Zkuste: dP4

Mnohostěn

opravit

Trojrozměrný (platónská tělesa)	pravidelný čtyřstěn Krychle Osmistěn dvanáctistěn dvacetistěn
4D	Pětibuňkový tesseract Hexadecimální buňka dvacet čtyři buňky 120 buněk Šest set buněk
Větší rozměr (uveden v závorce)	Obyčejný simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaedru

Pravidelné
nekonvexní

Trojrozměrné podle počtu
tváří (uvedeno v závorkách)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
trojstěn (3)
čtyřstěn (4)
pětistěn (5)
šestistěn (6)
Heptahedron (7)
osmistěn (8)
Enneahedron (9)
Decahedron (10)
Endecahedron (11)
dvanáctistěn (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
šestistěn (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadecahedron (19)
dvacetistěn (20)
Icosotetrahedron (24)
triakontahedr (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hektotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvexní

Archimédova tělesa

Katalánská těla

Hranoly
trojboký hranol čtyřboký hranol Pětiboký hranol Šestihranný hranol Sedmiboký hranol Osmiboký hranol Devítiúhlý hranol Dekagonální hranol Jedenáctiúhlý hranol Dvanáctiúhelníkový hranol

Johnson mnohostěn

Vzorce ,
věty ,
teorie

jiný

symbol Schläfli
Polygony	{jeden} {2} {3} {čtyři} {5} {6} {7} {osm} {9} {deset} {jedenáct} {12} {čtrnáct} {patnáct} {17} {osmnáct} {dvacet} {třicet} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
hvězdné polygony	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Ploché parkety _	{3,6} {4,4} {6,3}
Pravidelné mnohostěny a kulové parkety	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsotův mnohostěn	{5/2,5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
voštiny	{4,3,4}
Čtyřrozměrné mnohostěny	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}