Coxeter číslo

Coxeterovo číslo je charakteristikou konečné neredukovatelné Coxeterovy skupiny . V případě, kdy je Coxeterova grupa Weylova grupa jednoduché Lie algebry , pak se mluví o Coxeterově čísle algebry . $\mathfrak g$ $\mathfrak g$

Koncept je pojmenován po Haroldu Coxeterovi .

Definice

Pro toto číslo existuje několik ekvivalentních definic.

Coxeterovo číslo se rovná počtu kořenů děleno hodností. Ekvivalentně je číslo Coxeter dvojnásobkem počtu odrazů ve skupině Coxeter děleno hodností. Pokud je grupa postavena na jednoduché Lieově algebře, pak rozměr této algebry je n ( h + 1), kde n je hodnost a h je Coxeterovo číslo.
Element Coxeter (někdy element Killing-Coxeter ) je produktem všech jednoduchých odrazů (nezaměňovat s prvkem skupiny Coxeter o největší délce). Číslo Coxeter je pořadí prvku Coxeter.
Jestliže je rozšíření nejvyššího kořene v jednoduchých kořenech, pak Coxeterovo číslo je . $\theta=\součet m_i \alpha_i$ $1+\součet m_i$
- Ekvivalentně, jestliže je prvek takový, že , pak . $\rho^\vee$ $\langle\rho^\vee,\alpha_i\rangle=1$ $h=\langle\rho^\vee,\theta\rangle+1$
Coxeterovo číslo je největší z mocnin základních invariantů Coxeterovy skupiny.

Tabulka hodnot

Skupina Coxeter a symbol Schläfli		hrabě z Coxeter	Dynkinův diagram	Coxeter číslo $h$	Dual of Coxeter $h^\vee$	Stupně základních invariantů
A n	[3,3...,3]	...	...	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
B n	[4,3...,3]	...	...	2n _	2n - 1	2, 4, 6, ..., 2n
C n	[4,3...,3]	...	...	2n _	n + 1	2, 4, 6, ..., 2n
D n	[3,3,..3 1,1 ]	...	...	2n - 2	2n - 2	n _ 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E 6	[3 2,2,1 ]			12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E 7	[3 3,2,1 ]			osmnáct	osmnáct	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E 8	[3 4,2,1 ]			třicet	třicet	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4 _	[3,4,3]			12	9	2, 6, 8, 12
G2 _	[6]			6	čtyři	2, 6
H3 _	[5,3]		-	deset		2, 6, 10
H4 _	[5,3,3]		-	třicet		2, 12, 20, 30
já 2 ( p )	[p]		-	p		2, str

Variace a zobecnění

Číslo Dual Coxeter

V případě kde Coxeterova grupa je Weilova grupa jednoduché Lie algebry , lze zavést duální (dvojité) Coxeterovo číslo . Zdá se, že takový pojem se poprvé objevil v práci Springera a Steinberga z roku 1970 [1] a často se s ním setkáváme v teorii reprezentace . Toto číslo můžete určit některým z následujících způsobů. $\mathfrak{g}$ $h^\vee$

Jestliže je poloviční součet kladných kořenů a je nejvyšším kořenem, pak . $\rho$ $\theta$ $h^\vee=\langle \rho , \theta\rangle+1$
Pokud se nejstarší krátký kořen rozloží na jednoduché kořeny, pak . $\theta_m=\součet m_i \alpha_i$ $h^\vee=\součet m_i+1$
Dvojnásobek duálního Coxeterova čísla se rovná poměru dvou invariantních symetrických bilineárních forem na Lieově algebře : Killingova forma a forma, ve které má nejvyšší kořen délku 2. $\mathfrak{g}$
Podle výše uvedené tabulky.

Pro Lieovy algebry s jednoduchými spojeními jsou Coxeterovo číslo a duální Coxeterovo číslo stejné. Duální Coxeterovo číslo by nemělo být zaměňováno s Coxeterovým číslem duální Lie algebry.

Pro afinní Lieovu algebru se hodnota úrovně rovnající se nazývá kritická a pro tuto hodnotu má univerzální obalová algebra velký střed. $\widehat{\mathfrak{g))$ $-h^\vee$

Poznámky

↑ Jakou roli hraje „dvojí Coxeterovo číslo“ v teorii lži – Mathoverflow

Odkazy

N. Bourbaki, Základy matematiky, Lieovy grupy a algebry, Kapitoly IV-VI, M.: Mir, 1972.
J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.
Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Přednášky o teorii reprezentace a rovnicích Knizhnik–Zamolodchikov, matematické průzkumy a monografie 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960