Dynkinův diagram

Dynkinův diagram ( Dynkinův diagram ) je typ grafu, ve kterém jsou některé hrany zdvojené nebo ztrojené (kresleny jako dvojitá nebo trojitá čára). Více hran je s určitými omezeními orientováno . Pojmenované po sovětském matematikovi Evgeny Dynkinovi , který je poprvé použil v roce 1946.

Hlavní aplikací diagramů je klasifikace polojednoduchých Lieových algeber přes algebraicky uzavřená tělesa : vedou k Weylovým grupám , tedy k mnoha (ač ne všem) konečným reflexním grupám . Dynkinovy diagramy vznikají i v jiných kontextech.

Termín "Dynkinův diagram" může být nejednoznačný. V některých případech se předpokládá, že Dynkinovy diagramy jsou orientované, v takovém případě odpovídají kořenovým systémům a polojednoduchým Lieovým algebrám, zatímco v jiných případech se předpokládá, že jsou neorientované, v takovém případě odpovídají Weylovým grupám. Orientované diagramy pro a poskytují stejný neorientovaný diagram jako v tomto článku ve výchozím nastavení "Dynkinův diagram" znamená řízený Dynkinův diagram a pro neorientované Dynkinovy diagramy je to výslovně uvedeno. $B_{n}$ $C_{n}$ $BC_{n}.$

Konečné Dynkinovy diagramy
Afinní (rozšířené) Dynkinovy diagramy

Klasifikace polojednoduchých Lieových algeber

Základní zájem o Dynkinovy diagramy vyvstává, protože umožňují klasifikovat polojednoduché Lieovy algebry přes algebraicky uzavřená pole. Někteří klasifikují takové Lie algebry z hlediska jejich kořenových systémů , které mohou být reprezentovány Dynkinovými diagramy. Jiní klasifikují Dynkinovy diagramy podle omezení, která musí splňovat, jak je uvedeno níže.

Zbavit se směrovosti hran grafu odpovídá nahrazení kořenového systému konečnou reflexní grupou , kterou vytvářejí, tzv. grupou , a tak neorientované Dynkinovy diagramy klasifikují Weylovy grupy.

Související klasifikace

Dynkinovy diagramy lze použít ke klasifikaci mnoha různých entit a označení „A n , B n , ...“ se používá k označení všech takových interpretací v závislosti na kontextu. Taková nejednoznačnost může být matoucí.

Centrální klasifikace se týká jednoduchých Lieových algeber, které mají kořenový systém a ke kterým jsou přidruženy (orientované) Dynkinovy diagramy. Všechny tři (uvedené níže) lze například označit jako Bn .

Neorientovaný Dynkinův diagram je druh Coxeterova diagramu a odpovídá Weilově grupě, což je konečná reflexní grupa spojená s kořenovým systémem. Bn tedy může odkazovat na neorientovaný diagram (zvláštní druh Coxeterova diagramu), Weylovu skupinu (konkrétní reflexní skupinu) nebo abstraktní Weylovu skupinu.

Všimněte si, že zatímco Weylova skupina je, abstraktně, izomorfní vůči Coxeterově skupině, konkrétní izomorfismus závisí na pořadí jednoduchých kořenů. Všimněte si, že notace Dynkinových diagramů je standardizovaná, zatímco Coxeterovy diagramy a skupinová notace se liší a někdy souhlasí s Dynkinovým diagramem a někdy ne.

Konečně, někdy jsou asociované objekty označeny stejným způsobem, i když to není vždy možné pravidelně. Příklady:

Kořenová mřížka tvořená kořenovým systémem, jako v mřížce E 8 . Je definován přirozeně, ale ne jedna ku jedné - například A2 a G2tvoří stejnou hexagonální mřížku .
Přidružený polytop - například Gosset 4 21 může být označen jako "E 8 polytop ", protože jeho vrcholy jsou odvozeny z kořenového systému E 8 a jako grupu symetrie má E 8 Coxeterovu grupu.
Přidružený kvadratický tvar nebo varieta - například E 8 má tvar průsečíku daný mřížkou E 8 .

Tato poslední označení se nejčastěji používají pro objekty spojené s výjimečnými diagramy - pro objekty spojené s běžnými diagramy (A, B, C, D) se používají tradiční názvy.

Index ( n ) se rovná počtu uzlů v diagramu, počtu jednoduchých kořenů v bázi, rozměru kořenové mřížky a lineárnímu rozpětí kořenového systému, počtu generátorů Coxeterovy skupiny a hodnost Lieovy algebry. Nicméně, n není nutně rovno rozměru definujícího modulu ( základní reprezentace ) Lie algebry — index Dynkin diagramu by neměl být zmaten indexem Lie algebra. Například odpovídá , které působí v 9-rozměrném prostoru, ale má hodnost 4 jako Lieova algebra. $B_{4}$ ${\mathfrak {so}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {so}}_{9},$

Jednovláknové Dynkinovy diagramy , to znamená, že nemají více hran (A, D, E), klasifikují mnoho dalších matematických objektů. Viz diskuze v ADE Classification .

Příklad: A2

Označení může například odkazovat se na: $A_{2}$

Dynkinův diagram se dvěma propojenými uzly,, který lze také považovat za Coxeterův diagram .
Kořenový systém se dvěma jednoduchými kořeny pod úhlem(120 stupňů). $2\pi /3$
Lieova algebra hodnosti 2. ${\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}$
Weylova grupa symetrií kořenů (odrazy vzhledem k nadrovinám kolmým ke kořenům), která je izomorfní k symetrické grupě (řádu 6). $S_{3}$
Abstraktní skupina Coxeter , reprezentovaná generátory a spoji, $\left\langle r_{1},r_{2}\mid (r_{1})^{2}=(r_{2})^{2}=(r_{i}r_{j})^{3 }=1\pravý\úhelník .$

Omezení

Dynkinův diagram musí splňovat určitá omezení, ta, která jsou splněna konečnými Coxeter-Dynkinovými diagramy , a navíc další krystalografická omezení.

Vztah s Coxeterovými diagramy

Dynkinovy diagramy jsou blízce příbuzné Coxeterovým diagramům konečných Coxeterových grup a terminologie je často kombinována [poznámka 1] .

Dynkinovy diagramy se liší od Coxeterových diagramů konečných grup ve dvou důležitých ohledech:

částečná orientace Dynkinovy diagramy jsou částečně orientované – každá vícenásobná hrana (ve smyslu Coxeter, označená „4“ a výše) má směr (šipka směřující z jednoho uzlu do druhého). Dynkinův diagram tedy nese více informací než odpovídající Coxeterův diagram (neorientovaný graf). Na úrovni kořenových systémů odpovídá směr ukazování na kratší vektor. Hrany označené "3" nemají žádný směr, protože odpovídající vektory musí mít stejnou délku. (Tip: Někteří autoři používají obrácenou konvenci, ukazující šipku na delší vektor.) Krystalografické omezení Dynkinovy diagramy musí splňovat další omezení, totiž že jsou povoleny pouze hrany s popisky 2, 3, 4 a 6. Toto omezení neplatí pro Coxeterovy diagramy, takže ne každý Coxeterův diagram konečné grupy pochází z Dynkinova diagramu. Na úrovni kořenových systémů to odpovídá teorému o krystalografických omezeních .

Další rozdíl, čistě stylistický, je v tom, že je obvyklé kreslit Dynkinovy diagramy se zdvojenými a ztrojenými hranami mezi uzly (pro p = 4, 6), spíše než označené číslem „ p “.

Termín "Dynkinův diagram" je někdy označován jako řízený graf a někdy jako neorientovaný . Pro přesnost bude v tomto článku „Dynkinův diagram“ znamenat řízený a odpovídající neorientovaný graf se bude nazývat „neorientovaný Dynkinův diagram“. Dynkinovy diagramy a Coxeterovy diagramy lze tedy propojit následovně:

	krystalografické	bodové skupiny
orientované	Dynkinovy diagramy
neorientovaný	Neorientované Dynkinovy diagramy	Coxeter-Dynkinovy diagramy konečných grup

To znamená, že Coxeterovy diagramy konečných grup odpovídají skupinám bodů generovaným odrazy, zatímco Dynkinovy diagramy musí splňovat další omezení odpovídající teorému krystalografických omezení . To také znamená, že Coxeterovy diagramy jsou neorientované, zatímco Dynkinovy diagramy jsou (částečně) orientované.

Matematické objekty systematizované pomocí diagramů:

	krystalografické	bodové skupiny
orientované	Kořenové systémy
neorientovaný	Weilovy skupiny	Skupiny konečných Coxeterů

Prázdné místo v pravém horním rohu odpovídající orientovaným grafům s pod nimi ležícími neorientovanými grafy libovolného Coxeterova (konečného grupového) diagramu lze formálně definovat, ale tyto definice neumožňují jednoduchou interpretaci z hlediska matematických objektů.

Existují přirozená zužující se mapování – od Dynkinových diagramů k neorientovaným Dynkinovým diagramům, a tedy od kořenových systémů k přidruženým Weylovým skupinám, stejně jako přímá zobrazení z neorientovaných Dynkinových diagramů k Coxeterovým diagramům, a tedy od Weylových skupin ke konečným Coxeterovým skupinám. .

Zužující se mapování mapuje na (podle definice), ale ne na jednu. Například diagramy B n a C n mapují stejný neorientovaný diagram, takže někdy se výsledný Coxeterův diagram a Weylova skupina označují BC n .

Přímá zobrazení jsou jednoduše inkluze – neorientované Dynkinovy diagramy jsou speciálním případem Coxeterových diagramů a Weilovy skupiny jsou speciálními případy konečných Coxeterových grup a toto mapování není zapnuto , protože ne každý Coxeterův diagram je neorientovaný Dynkinův diagram (chybějící diagramy jsou H3 , H4 a I2 ( p ) pro p = 5 p ≥ 7 ), a proto ne každá konečná Coxeterova grupa je Weilova grupa .

Izomorfismy

Dynkinovy diagramy se obvykle číslují, aby seznam nebyl nadbytečný - pro for for a počínaje Prvky rodin lze však definovat i pro nižší n , čímž se získají výjimečné izomorfismy diagramů a odpovídající výjimečné izomorfismy Lieových algeber a přidružené Lieovy skupiny. $n\geq 1$ $A_{n},$ $n\geq 2$ $B_{n},$ $n\geq 3$ $C_{n},$ $n\geq 4$ $D_{n}$ $E_{n}$ $n=6.$

Nejjednodušší je začít s případy n = 0 nebo n = 1, ve kterých jsou všechny řady izometrické a existuje pouze jeden prázdný diagram a jeden diagram uzlu. Další izomorfismy spojených Dynkinových diagramů:

$A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}$
$B_{2}\cong C_{2}$
$D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}$
$D_{3}\cong A_{3}$
$E_{3}\cong A_{1}\times A_{2}$
$E_{4}\cong A_{4}$
$E_{5}\cong D_{5}$

Tyto izomorfismy odpovídají izomorfismům jednoduchých a polojednoduchých Lieových algeber.

Automorfismy

Kromě izomorfismů mezi různými diagramy mají některé diagramy také izomorfismy samy o sobě, tj. „ automorfismy “. Automorfismy diagramů odpovídají vnějším automorfismům Lie algebry, což znamená, že vnější grupa automorfismu Out = Aut/Inn je rovna grupě automorfismu diagramu [1] [2] [3] .

Diagramy s netriviálními automorfismy jsou A n ( ), D n ( ) a E 6 . Ve všech těchto případech, s výjimkou D 4 , existuje jeden netriviální automorfismus (Out = C 2 , cyklická grupa řádu 2), zatímco pro D 4 je grupa automorfismu symetrická grupa tří písmen ( S 3 , řádu 6) - tento jev známý jako " triplicity ". Ukazuje se, že všechny tyto automorfismy diagramů mohou být reprezentovány jako symetrie tradičního kreslení diagramů v euklidovské rovině, ale to je jen výsledek toho, jak jsou nakresleny, a nikoli vlastní struktura diagramů. $n>1$ $n>1$

Pro A n je automorfismus diagramů obrácením diagramu. Uzly diagramu jsou indexovány základními váhami , které se (pro A n −1 ) rovnají , a automorfismus diagramu odpovídá dualitě Uvažováno jako Lieova algebra, vnější automorfismus může být vyjádřen jako negativní transpozice, [2] . $\bigwedge ^{i}C^{n}$ $i=1,\tečky,n$ $\bigwedge ^{i}C^{n}\mapsto \bigwedge ^{ni}C^{n}.$ ${\mathfrak {sl}}_{n+1},$ $T\mapsto -T^{\mathrm {T} }$

Pro Dn automorfismus diagramu přepne dva uzly na konci Y a odpovídá přepnutí dvou chirálních spinorových reprezentací . Vnější automorfismus viděný jako Lieova algebra může být vyjádřen jako konjugace pomocí matice O(2 n ) s determinantem −1 [poznámka 2] . Všimněte si, že jejich automorfismus je tedy stejný, zatímco tento diagram je také odpojený, takže automorfismus odpovídá přepínání uzlů. ${\mathfrak {so}}_{2n},$ $\mathrm {A} _{3}\cong \mathrm {D} _{3},$ $\mathrm {D} _{2}\cong \mathrm {A} _{1}\times \mathrm {A} _{1}$

Pro D 4 je základní reprezentace izomorfní ke dvěma spinorovým reprezentacím a výsledná třípísmenná symetrická grupa ( S 3 , nebo alternativně dihedrální grupa šestého řádu , Dih 3 ) odpovídá automorfismům Lieovy algebry i automorfismům diagramů.

Automorfismus E 6 odpovídá obrácení diagramu a lze jej vyjádřit pomocí Jordanových algeber [2] .

Odpojené diagramy, které odpovídají polojednoduchým Lieovým algebrám, mohou mít automorfismy získané přeskupením složek diagramu.

S pozitivní charakteristikou existují další automorfismy diagramů – zhruba řečeno, s charakteristikou p lze ignorovat šipky na spojnicích násobnosti p v Dynkinově diagramu, když uvažujeme o automorfismu diagramu. U charakteristiky 2 tedy existuje automorfismus 2. řádu pro a pro F 4 , zatímco u charakteristiky 3 existuje automorfismus 2. řádu pro G 2 . $\mathrm {B} _{2}\cong \mathrm {C} _{2}$

Konstrukce Lieových grup pomocí automorfismů diagramů

Automorfismy diagramů vytvářejí další Lieovy grupy a grupy Lieova typu , což je důvodem jejich centrální důležitosti v klasifikaci konečných jednoduchých grup.

Konstrukce Chevalleyovy grupy Lieových grup z hlediska jejich Dynkinových diagramů nedává klasické grupy, jmenovitě unitární grupy a nerozdělené ortogonální grupy . Steinbergovy grupy staví unitární grupy 2 A n , zatímco jiné ortogonální grupy 2 D n , a v obou případech se jedná o kombinaci automorfismu diagramu s automorfismem pole. To také dává další exotické Lieovy grupy 2 E 6 a 3 D 4 , které jsou definovány pouze přes pole s automorfismem řádu 3.

S pozitivní charakteristikou jsou další charakteristiky dány Suzuki Group - Ri , 2 B 2 , 2 F 4 a 2 G 2 .

Konvoluce

(Jednovláknový) Dynkinův diagram (konečný nebo afinní ) mající symetrii (splňující jednu podmínku níže) lze složit do symetrie, čímž vznikne nový, obecně vícevláknový (s více hranami), diagram pomocí procesu zvaného konvoluce . Na úrovni Lieových algeber to odpovídá přijetí invariantní subalgebry pod vnější skupinu automorfismu a proces lze definovat čistě na kořenovém systému bez použití diagramů [4] . Dále, libovolný vícevláknový diagram (konečný nebo nekonečný) lze získat konvolucí jednovláknového diagramu [5] .

Aby byl automorfismus možný, existuje podmínka pro konvoluční automorfismus - různé uzly grafu na stejné dráze (při automorfismu) nesmí být spojeny hranou. Na úrovni kořenového systému musí být kořeny na stejné dráze ortogonální [5] . Na úrovni diagramu je to nutné, protože jinak bude mít výsledný diagram smyčku, protože ta spojuje dva uzly, které mají mezi sebou hranu, a smyčky nejsou v Dynkinových diagramech povoleny.

Uzly a hrany získaných („složených“) diagramů jsou orbity uzlů a hran původních diagramů. Hrany jsou jednoduché (nikoli více), pokud se sousední hrany nemapují na stejnou hranu (zejména pro uzly s valence větší než 2 - "body větve"), jinak je vahou počet sousedních hran a šipka ukazuje na uzel jsou incidentní k - "Bod větve je mapován na nehomogenní bod." Například v D 4 , když jsou složeny do G 2 , hrany v G 2 směřují z vnějších uzlů třídy 3 (valence 1) do centrálních uzlů (valence 3).

Konvoluce konečných diagramů [6] [poznámka 3] :

$A_{2n-1}\to C_{n}$

(Automorfismus A 2 n nevytváří kontrakci, protože prostřední dva uzly jsou spojeny hranou, ale nejsou na stejné dráze.)

$D_{n+1}\to B_{n}$
$D_{4}\to G_{2}$ (pokud přeložíme celou skupinu nebo 3-cyklus, navíc třemi různými způsoby, pokud přeložíme involuci (prvek s řádem 2)) $D_{4}\to B_{3}$
$E_{6}\to F_{4}$

Podobné konvoluce existují pro afinní diagramy:

${\tilde {A}}_{2n-1}\to {\tilde {C}}_{n}$
${\tilde {D}}_{n+1}\to {\tilde {B}}_{n}$
${\tilde {D}}_{4}\to {\tilde {G}}_{2}$
${\tilde {E}}_{6}\to {\tilde {F}}_{4}$

Zápis konvolucí lze použít i pro Coxeter-Dynkinovy diagramy [7] . Je možné zobecnit přípustné kontrakce Dynkinova diagramu na H n a I 2 ( p ). Geometricky to odpovídá projekcím homogenních polytopů . Je vidět, že libovolný jednořetězcový Dynkinův diagram lze složit do I 2 ( h ), kde h je Coxeterovo číslo , geometricky odpovídající průmětu do Coxeterovy roviny .

Konvoluci lze použít k redukci otázek o (poloprostých) Lieových algebrách na otázky o algebrách s jedním vláknem, spolu s automorfismem, který může být jednodušší než přímo řešit Lieovy algebry s více hranami. To lze provést například konstrukcí polojednoduchých Lieových algeber. Pro další diskusi viz Math Overflow: Folding by Automorphisms Archived 11. září 2015 na Wayback Machine .

Další zobrazení grafu

Kořenový systém A2	Kořenový systém G2

Některá další zobrazení grafu mají smysluplnou interpretaci, jak je vysvětleno níže. Ne všechna zobrazení kořenových systémů se však zobrazují jako diagramová zobrazení [8] .

Například existují dva výskyty A2 kořenových systémů v G2 , buď jako šest dlouhých kořenů nebo jako šest krátkých kořenů. Uzly v diagramu G 2 však odpovídají jednomu dlouhému a jednomu krátkému kořenu, zatímco uzly v diagramu A 2 odpovídají stejně dlouhým kořenům, takže toto zobrazení kořenových systémů nelze vyjádřit jako zobrazení diagramů.

Některé inkluze kořenových systémů lze vyjádřit jako grafový vztah, kde jeden diagram je vygenerovaným podgrafem druhého, což znamená výskyt "podmnožiny uzlů spolu se všemi hranami mezi nimi". Je to proto, že odstranění uzlu z Dynkinova diagramu odpovídá odstranění jednoduchého kořene z kořenového systému, což má za následek kořenový systém s hodnocením o jednu nižší. Naproti tomu odstranění hrany (nebo změna násobnosti hrany) při zachování uzlů odpovídá změně úhlů mezi kořeny, kterou nelze provést bez změny celého kořenového systému. Tímto způsobem můžete smysluplně odstranit uzly, ale ne hrany. Odstraněním uzlu ze spojeného diagramu může vzniknout souvislý diagram (jednoduchá Lieova algebra), pokud je uzel list, nebo rozpojený diagram (poloprostý, ale ne jednoduchá Lieova grupa) se dvěma nebo třemi složkami (druhé pro D n a En ). Na úrovni Lieových algeber tyto inkluze odpovídají Lieovým subalgebrám.

Maximální podgrafy (zde „konjugace“ znamená „pomocí automorfismu diagramu “):

A n +1 : A n , ve dvou konjugovaných drahách.
Bn + 1 : An , Bn .
Cn + 1 : An , Cn .
Dn +1 : An (dva konjugáty) , Dn .
En +1 : An , Dn , En . _
- Pro E6 , z nichž dva se shodují: a jsou konjugované. $\mathrm {D} _{5}\cong \mathrm {E} _{5}$
F4 : B3 , C3 . _
G 2 : A 1 , dvěma nespojenými způsoby (jako dlouhé kořeny nebo krátké kořeny).

Konečně dualita diagramů odpovídá změně směru šipek, pokud existuje: [8] B n a C n jsou duální, zatímco F 4 a G 2 jsou autoduální, protože se jedná o jednovláknové ADE diagramy. .

Jednořádkové diagramy

Dynkinovy diagramy bez více hran se nazývají jednovláknové . Patří sem diagramy a klasifikace objektů pomocí takových diagramů se nazývá ADE-klasifikace . V tomto případě se Dynkinovy diagramy přesně shodují s Coxeterovými diagramy. $A_{n},D_{n},E_{n}$

Diagramy Satake

Dynkinovy diagramy klasifikují složité polojednoduché Lieovy algebry. Skutečné polojednoduché Lieovy algebry lze klasifikovat jako reálné formy komplexních polojednoduchých Lieových algeber a klasifikují je Satake diagramy , které lze získat z Dynkinových diagramů označením některých uzlů černou barvou (vnitřek kruhu ) a spojování některých dalších uzlů ve dvojicích pomocí šipek podle některých pravidel.

Historie

Dynkinovy diagramy jsou pojmenovány po Jevgeniji Borisoviči Dynkinovi , který je použil ve dvou článcích (1946, 1947) k reprezentaci klasifikace polojednoduchých Lieových algeber [9] , viz ( E. B. Dynkin 2000 ). Po Dynkinově odchodu ze Sovětského svazu v roce 1976, což bylo v té době považováno za zradu, sovětští matematici pro označení diagramů používali místo příjmení autora název „jednoduché kořenové diagramy“.

Neorientované grafy použil dříve Coxeter (1934) ke klasifikaci reflexních skupin a v nich uzly odpovídaly jednoduchým odrazům. Grafy pak použil Witt (s informací o délce) (v roce 1941) v kontextu kořenových systémů, kde uzly odpovídají jednoduchým kořenům, jak se používá dnes [9] [10] . Dynkin pak použil diagramy v roce 1946 a 1947, poděkoval Coxeterovi a Wittovi v článku z roku 1947.

Dohody

Dynkinovy diagramy se kreslí mnoha způsoby [10] . Konvence použité v tomto článku jsou obecně přijímány, s úhly 180° pro valenci 2 uzly, 120° úhly pro valenci 3 uzly pro Dn a 90°/90°/180° valence 3 uzly pro En , s násobností označenou jako 1, 2 nebo 3 rovnoběžné hrany a určení délky kořene určením orientace hrany. Kromě jednoduchosti tyto konvence umožňují ukázat automorfismy diagramů pomocí euklidovských izometrií diagramů.

Alternativní konvence zahrnují specifikování počtu hran pro násobnost (obvykle používané v Coxeterových diagramech), použití barvy k označení délky kořene nebo použití 120° úhlů pro valenční 2 uzly, aby byly uzly lépe rozlišitelné.

Existují také konvence pro číslování uzlů. Obecně přijímaná konvence byla vyvinuta a ilustrována v 60. letech v Bourbakiho knize [11] [10] .

Dynkinovy diagramy hodnosti 2

Dynkinovy diagramy jsou ekvivalentní zobecněným Cartanovým maticím , jak je ukázáno v tabulce Dynkinových diagramů pozice 2 uvedením jejich odpovídajících 2 x 2 Cartanových matic.

Pro hodnost 2 je Cartanova matice:

A=\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]

Vícehranný diagram odpovídá mimodiagonální Cartanově matici s prvky -a 21 , -a 12 , kde počet hran diagramu je max (-a 21 , -a 12 ) a šipka směřuje k nesingulárnímu Prvky.

Zobecněná Cartanova matice je čtvercová matice taková, že: $A=(a_{ij})$

Pro diagonální prvky . $a_{ii}=2$
Pro prvky mimo úhlopříčku . $a_{ij}\leq 0$
$a_{ij}=0$ tehdy a jen tehdy $a_{ji}=0$

Cartanova matice určuje, zda je skupina konečného typu (pokud je kladně definitní , tj. všechna vlastní čísla jsou kladná), afinního typu (pokud matice není kladně definitní, ale kladně semidefinitní, tj. všechna vlastní čísla jsou nezáporná ), nebo neurčitého typu . Neurčitý typ se často dělí na podtypy, například skupina Coxeter je Lorentzova , pokud má jednu zápornou vlastní hodnotu a všechny ostatní hodnoty jsou kladné. Některé zdroje dále hovoří o hyperbolických Coxeterových skupinách, ale pro tento pojem existuje několik neekvivalentních definic. V diskuzi níže jsou hyperbolické Coxeterovy skupiny chápány jako zvláštní případ Lorentzových skupin, které splňují dodatečné podmínky. Všimněte si, že pro hodnost 2 všechny Cartanovy matice se záporným determinantem odpovídají hyperbolickým Coxeterovým skupinám. Ale obecně platí, že většina matic s negativním determinantem není ani hyperbolická, ani Lorentzova.

Finální větve mají (-a 21 , -a 12 )=(1,1), (2,1), (3,1) a afinní (s nulovým determinantem) mají (-a 21 , -a 12 ) =( 2.2 ) nebo (4.1).

Dynkinovy diagramy hodnosti 2

Název skupiny	Dynkinův diagram			Cartanová matrice		Řád symetrie	Propojená skupina jednoho vlákna 3
Název skupiny	(Standardní) vícehranný graf	Graf s hodnotami 1	hrabě z Coxeter 2	$\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]$	Determinant (4-a 21 *a 12 )	Řád symetrie	Propojená skupina jednoho vlákna 3
Konec (kvalifikátor>0)
A 1xA 1_ _				$\left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$	čtyři	2
A 2 (unor. [pozn. 4] )				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	3	3
B2 _				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	2	čtyři	${A}_{3}$
C2 _				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	2	čtyři	${A}_{3}$
BC 2 (neorg.)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	2	čtyři
G2 _				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]$	jeden	6	${D}_{4}$
G 2 (unor.)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	jeden	6
Afinní (determinant=0)
A 1 (1)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	0	∞	${\tilde {A}}_{3}$
A 2 (2)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-4&2\end{smallmatrix}}\right]$	0	∞	${\tilde {D}}_{4}$
Hyperbolické (určující<0)
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-5&2\end{smallmatrix}}\right]$	-jeden	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]$	-2	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-6&2\end{smallmatrix}}\right]$	-2	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-7&2\end{smallmatrix}}\right]$	-3	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-4&2\end{smallmatrix}}\right]$	-čtyři	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-8&2\end{smallmatrix}}\right]$	-čtyři	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-3\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]$	-5	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-b\\-a&2\end{smallmatrix}}\right]$	4-ab<0	-
Poznámka 1 : Pro hyperbolické skupiny (a 12 *a 21 >4) se styl více hran nepoužívá a hodnoty (a 21 , a 12 ) jsou specifikovány přímo na hraně. To se obvykle nepoužívá pro konečné a afinní grupy [12] . Poznámka 2 : Pro neorientované skupiny jsou Dynkinovy diagramy a Coxeterovy diagramy ekvivalentní. Hrany v nich jsou obvykle označeny pořadím symetrie a hrany řádu 3 označeny nejsou. Poznámka 3 : Mnoho vícehranných skupin lze získat z jednovláknových skupin vyšší úrovně pomocí vhodné konvoluční operace .

Konečné Dynkinovy diagramy

Konečné Dynkinovy grafy s uzly od 1 do 9

Hodnost	Klasické lži skupiny				Výjimečné lži skupiny
Hodnost	${A}_{1+}$	${\displaystyle {B}_{2+))$	${\displaystyle {C}_{2+))$	${D}_{2+}$		${G}_{2}$ / ${\displaystyle {F}_{4))$
jeden	A 1
2	A2 _	B2 _	C2 = B2 _	D 2 \u003d A 1 x A 1		G2 _
3	A 3	B3 _	C3 _	D3 = A3 _	E 3 \u003d A 2 xA 1
čtyři	A4 _	B4 _	C4 _	D4 _	E4 = A4 _	F4 _
5	A5 _	B5 _	C5 _	D5 _	E5 = D5 _
6	A6 _	B6 _	C6 _	D6 _	E 6
7	A7 _	B7 _	C7 _	D7 _	E 7
osm	A 8	B8 _	C 8	D8 _	E 8
9	A9 _	B9 _	C9 _	D9 _
10+	..	..	..	..

Affine Dynkinovy diagramy

Existují rozšíření Dynkinových diagramů, konkrétně afinní Dynkinovy diagramy . Tyto diagramy klasifikují Cartanovy matice afinních Lieových algeber . Klasifikace je provedena v článku Katze [13] , seznam je uveden ve stejném článku na str. 53-55. Afinní diagramy jsou označeny jako nebo kde X je písmeno odpovídajícího konečného diagramu a horní index označuje řadu afinních diagramů, do kterých diagram patří. První ze série, nejznámější, se nazývá rozšířené Dynkinovy diagramy a je označen vlnovkou (~), někdy i horním indexem + znaménkem [14] , například . Řady (2) a (3) se nazývají zkroucené afinní diagramy . $X_{l}^{(1)},X_{l}^{(2)}$ $X_{l}^{(3)},$ $X_{l}^{(1)},$ ${\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}$

Diagramy viz Dynkin Diagram Generator archivovaný 13. prosince 2012 na Wayback Machine .

Sada rozšířených afinních Dynkinových diagramů s přidanými uzly (označené zeleně) ( pro a pro ) $n\geq 3$ $B_{n}$ $n\geq 4$ $D_{n}$	"Twisted" afinní diagramy jsou označeny (2) nebo (3) v horním indexu. ( k se rovná počtu žlutých uzlů v grafu)

Níže uvedená tabulka uvádí všechny Dynkinovy grafy pro afinní skupiny do 10 uzlů. Rozšířené Dynkinovy grafy jsou specifikovány jako rodiny s ~ a odpovídají konečným grafům výše s jedním přidaným uzlem. Další varianty orientovaných grafů jsou uvedeny s horními indexy (2) nebo (3) a jsou to záhyby skupin vyšších řádů. Jsou zařazeny do kategorie Twisted afine diagrams [15] .

Propojené afinní Dynkinovy grafy se 2 až 10 uzly
(seskupené jako neorientované grafy)

Hodnost	${\tilde {A}}_{1+}$	${\tilde {B}}_{3+}$	${\tilde {C}}_{2+}$	${\tilde {D}}_{4+}$	E/F/G
2	${\tilde {A}}_{1}$ nebo ${\displaystyle {A}_{1}^{(1)))$		${\displaystyle {A}_{2}^{(2)))$ :
3	${\tilde {A}}_{2}$ nebo (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{2}^{(1)))$		${\tilde {C}}_{2}$ nebo (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {C}_{2}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{5}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{4}^{(2)))$ :		${\tilde {G}}_{2}$ nebo (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {G}_{2}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{4}^{(3)))$
čtyři	${\tilde {A}}_{3}$ nebo (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{3}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{3}$ nebo (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {B}_{3}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{5}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{3}$ nebo (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {C}_{3}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{6}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{6}^{(2)))$ :
5	${\tilde {A}}_{4}$ nebo (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{4}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{4}$ nebo (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {B}_{4}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{7}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{4}$ nebo (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {C}_{4}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{7}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{8}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{4}$ nebo (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {D}_{4}^{(1)))$	${\tilde {F}}_{4}$ nebo (viz) ${\displaystyle {F}_{4}^{(1)))$ ${\displaystyle {E}_{6}^{(2)))$
6	${\tilde {A}}_{5}$ nebo (viz) Archivováno 11. října 2016 na Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{5}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{5}$ nebo (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {B}_{5}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{9}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{5}$ nebo (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {C}_{5}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{8}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{10}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{5}$ nebo (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {D}_{5}^{(1)))$
7	${\tilde {A}}_{6}$ nebo (viz) Archivováno 15. července 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{6}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{6}$ nebo ${\displaystyle {B}_{6}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{11}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{6}$ nebo ${\displaystyle {C}_{6}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{9}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{12}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{6}$ nebo ${\displaystyle {D}_{6}^{(1)))$	${\tilde {E}}_{6}$ nebo ${\displaystyle {E}_{6}^{(1)))$
osm	${\tilde {A}}_{7}$ nebo (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{7}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{7}$ nebo (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {B}_{7}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{13}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{7}$ nebo ${\displaystyle {C}_{7}^{(1)))$ ${D}_{10}^{(2)}$ : ${\displaystyle {A}_{14}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{7}$ nebo (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {D}_{7}^{(1)))$	${\tilde {E}}_{7}$ nebo ${\displaystyle {E}_{7}^{(1)))$
9	${\tilde {A}}_{8}$ nebo (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{8}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{8}$ nebo ${\displaystyle {B}_{8}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{15}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{8}$ nebo ${\displaystyle {C}_{8}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{11}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{16}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{8}$ nebo ${\displaystyle {D}_{8}^{(1)))$	${\tilde {E}}_{8}$ nebo ${\displaystyle {E}_{8}^{(1)))$
deset	${\tilde {A}}_{9}$ nebo (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine ${\displaystyle {A}_{9}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{9}$ nebo ${\displaystyle {B}_{9}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{17}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{9}$ nebo ${\displaystyle {C}_{9}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{12}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{18}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{9}$ nebo ${\displaystyle {D}_{9}^{(1)))$
jedenáct	…	…	…	…

Hyperbolické Dynkinovy diagramy a vyšší úrovně

Soubor kompaktních a nekompaktních hyperbolických Dynkinových grafů byl uveden v článku Carbone et al. [16] Všechny hyperbolické grafy řady 3 jsou kompaktní. Kompaktní hyperbolické Dynkinovy diagramy existují do úrovně 5, zatímco nekompaktní hyperbolické grafy existují do úrovně 10.

Počet grafů

Hodnost	Kompaktní	Nekompaktní	Celkový
3	31	93	123
čtyři	3	padesáti	53
5	jeden	21	22
6	0	22	22
7	0	čtyři	čtyři
osm	0	5	5
9	0	5	5
deset	0	čtyři	čtyři

Kompaktní hyperbolické Dynkinovy diagramy

Kompaktní hyperbolické grafy

Pořadí 3		Pořadí 4	Pořadí 5
Lineární grafy (6 4 2): H 100 (3) : H101 (3 ) : H105 ( 3) : H106 (3 ) : (6 6 2): H 114 (3) : H 115 (3) : H116 (3 ) :	Cyklické grafy (4 3 3): H 1 (3) : (4 4 3): 3 formy… (4 4 4): 2 formuláře… (6 3 3): H 3 (3) : (6 4 3): 4 formy… (6 4 4): 4 formy… (6 6 3): 3 formy… (6 6 4): 4 formy… (6 6 6): 2 formuláře…	(4 3 3 3): H 8 (4) : H 13 (4) : (4 3 4 3): H 14 (4) :	(4 3 3 3 3): H 7 (5) :

Nekompaktní (v podstatě rozšířené formuláře)

Některé zápisy používané v teoretické fyzice , v oblastech takový jako M-teorie , používají horní index "+" pro rozšířené skupiny místo "~", což umožňuje definovat silnější rozšíření skupiny.

Rozšířené Dynkinovy (afinní) diagramy mají index "+" a mají jeden další uzel. (Stejné jako "~")
Významně rozšířené Dynkinovy diagramy (hyperbolické) mají index "^" nebo "++" a mají dva další uzly.
Silně rozšířené Dynkinovy diagramy se 3 dalšími uzly mají index "+++".

Některé příklady výrazně rozšířených (hyperbolických) Dynkinových diagramů

Hodnost	${AE}_{n}$ = A n-2 (1)^	${BE}_{n}$ = Bn-2 (1)^ ${CE}_{n}$	Cn -2 (1)^	${DE}_{n}$ = Dn-2 (1)^	E/F/G
3	${AE}_{3}$ :
čtyři	${AE}_{4}$ :		C2 ( 1 )^ A 4 (2)'^ A4 ( 2 )^ D 3 (2)^		G2 ( 1 )^ D4 ( 3 )^
5	${AE}_{5}$ :	${BE}_{5}$ ${CE}_{5}$	C3 ( 1 )^ A6 ( 2 )^ A 6 (2)'^ D 5 (2)^
6	${AE}_{6}$	${BE}_{6}$ ${CE}_{6}$	C4 ( 1 )^ A8 ( 2 )^ A 8 (2)'^ D7 ( 2 )^	${DE}_{6}$	F4 ( 1 )^ E6 ( 2 )^
7	${AE}_{7}$	${BE}_{7}$ ${CE}_{7}$		${DE}_{7}$
osm	${AE}_{8}$	${BE}_{8}$ ${CE}_{8}$		${DE}_{8}$	E 6 (1)^
9	${AE}_{9}$	${BE}_{9}$ ${CE}_{9}$		${DE}_{9}$	E7 ( 1 )^
deset		${BE}_{10}$ ${CE}_{10}$		${DE}_{10}$	${E}_{10}$ =E 8 (1)^

238 hyperbolických grup (kompaktních a nekompaktních)

238 uvedených hyperbolických skupin (kompaktních a nekompaktních) je označeno jako Hi ( n ) pro úroveň n a má index i=1,2,3… pro každou úroveň.

Silně rozšířené diagramy

Silně rozšířené skupiny jsou Lorentzovy grupy , které jsou definovány přidáním tří uzlů ke konečným grupám. E8 , E7 , E6 , F4 a G2 dávají šest řad končících v silně rozšířených skupinách. Další rozšířené řady, které nejsou zobrazeny, mohou být určeny z An , Bn , Cn a Dn jako různé řady pro každé n . Determinant přidružené Cartanovy matice určuje, kde se řada mění z konečné (pozitivní determinant) na afinní (nulový determinant) na nekompaktní hyperbolickou grupu (negativní determinant) a ukončuje řadu jako Lorentzovu grupu, kterou lze určit pomocí vzhled dimenze podobné času [17] .

Rozšířená řada 2

Ultimátni	$A_{2}$	$C_{2}$	$G_{2}$
2	A2 _	C2 _	G2 _
3	A 2 + = (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine ${\tilde {A}}_{2}$	C 2 + = (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine ${\tilde {C}}_{2}$	G 2 + = (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine ${\tilde {G}}_{2}$
čtyři	A 2 ++ (viz) Archivováno 13. července 2015 na Wayback Machine	C 2 ++ (viz) Archivováno 11. října 2016 na Wayback Machine	G 2 ++ (viz) Archivováno 13. července 2015 na Wayback Machine
5	A 2 +++ (viz) Archivováno 14. července 2015 na Wayback Machine	C 2 +++ (viz) Archivováno 11. října 2016 na Wayback Machine	G 2 +++ (viz) Archivováno 14. července 2015 na Wayback Machine
Det (M n )	3(3- n )	2(3- n )	3- n

3. a 4. pozice rozšířené série

Ultimátni	$A_{3}$	$B_{3}$	$C_{3}$	$A_{4}$	$B_{4}$	$C_{4}$	$D_{4}$	$F_{4}$
2		A 12 _						A2 _
3	A 3	B3 _	C3 _		B 2 A 1		A 13 _
čtyři	A 3 + = ${\tilde {A}}_{3}$	B3 + = _ ${\tilde {B}}_{3}$	C3 + = _ ${\tilde {C}}_{3}$	A4 _	B4 _	C4 _	D4 _	F4 _
5	A3 ++ _	B3 ++ _	C3 ++ _	A4 + = _ ${\tilde {A}}_{4}$	B4 + = _ ${\tilde {B}}_{4}$	C4 + = _ ${\tilde {C}}_{4}$	D4 + = _ ${\tilde {D}}_{4}$	F4 + = _ ${\tilde {F}}_{4}$
6	A 3 +++	B3 +++ _	C3 +++ _	A4 ++ _	B4 ++ _	C4 ++ _	D4 ++ _	F4 ++ _
7				A4 +++ _	B4 +++ _	C4 +++ _	D4 +++ _	F4 +++ _
Det (M n )	4(4- n )	2(4- n )		5(5- n )	2(5- n )		4(5- n )	5- n

Rozšířená řada řad 5 a 6

Ultimátni	$A_{5}$	$B_{5}$	$D_{5}$	$A_{6}$	$B_{6}$	$D_{6}$	$E_{6}$
čtyři		B 3 A 1	A 3 A 1				A 2 2
5	A5 _		D5 _		B 4 A 1	D 4 A 1	A5 _
6	A5 + = _ ${\tilde {A}}_{5}$	B5 + = _ ${\tilde {B}}_{5}$	D5 + = _ ${\tilde {D}}_{5}$	A6 _	B6 _	D6 _	E 6
7	A5 ++ _	B5 ++ _	D5 ++ _	A6 + = _ ${\tilde {A}}_{6}$	B6 + = _ ${\tilde {B}}_{6}$	D6 + = _ ${\tilde {D}}_{6}$	E6 + = _ ${\tilde {E}}_{6}$
osm	A5 +++ _	B5 +++ _	D5 +++ _	A6 ++ _	B6 ++ _	D6 ++ _	E6 ++ _
9				A6 +++ _	B6 +++ _	D6 +++ _	E 6 +++
Det (M n )	6(6- n )	2(6- n )	4(6- n )	7(7- n )	2(7- n )	4(7- n )	3(7- n )

Některé rozšířené řady 7 a vyšší

Ultimátni	A7 _	B7 _	D7 _	E 7	E 8
3					E 3 \u003d A 2 A 1
čtyři				A 3 A 1	E4 = A4 _
5				A5 _	E5 = D5 _
6		B 5 A 1	D 5 A 1	D6 _	E 6 (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine
7	A7 _	B7 _	D7 _	E 7 (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine	E 7 (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine
osm	A 7 + = (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine ${\tilde {A}}_{7}$	B 7 + = (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine ${\tilde {B}}_{7}$	D 7 + = (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine ${\tilde {D}}_{7}$	E 7 + = (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine ${\tilde {E}}_{7}$	E 8 (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine
9	A 7 ++ (viz) Archivováno 13. července 2015 na Wayback Machine	B 7 ++ (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine	D 7 ++ (viz) Archivováno 13. července 2015 na Wayback Machine	E 7 ++ (viz) Archivováno 13. července 2015 na Wayback Machine	E 9 =E 8 + = (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine ${\tilde {E}}_{8}$
deset	A 7 +++ (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine	B 7 +++ (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine	D 7 +++ (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine	E 7 +++ (viz) Archivováno 10. června 2015 na Wayback Machine	E 10 =E 8 ++ (viz) Archivováno 30. června 2015 na Wayback Machine
jedenáct					E 11 =E 8 +++ (viz) Archivováno 12. listopadu 2014 na Wayback Machine
Det (M n )	8(8- n )	2(8- n )	4(8- n )	2(8- n )	9- n

Viz také

Satake Diagramy

Poznámky

Komentáře

↑ V této části mluvíme o „Coxeterových diagramech“ a ne o „Coxeterových-Dynkinových diagramech“ kvůli stručnosti a kvůli rozlišení mezi pojmy, protože existuje možnost záměny.
↑ konjugace matice g pomocí matice a je matice jako matice a −1 ga
↑ Všimněte si, že Sklenář používá šipky, což je v rozporu s konvencemi použitými v tomto článku.
↑ neorientovaný diagram

Zdroje

↑ Fulton a Harris, 1991 , s. Návrh D.40.
↑ 1 2 3 Jacobson, 1971 , str. oddíl 7.
↑ Humphreys, 1972 , s. Část 16.5.
↑ Algebraická geometrie a teorie čísel: na počest 50. narozenin Vladimíra Drinfelda, editoval Victor Ginzburg, str. 47, sekce 3.6: Cluster folding Archivováno 16. dubna 2021 na Wayback Machine
↑ 1 2 Folding by Automorphisms Archived 4. března 2016 na Wayback Machine , John Stembridge, 4pp., 79K, 20. srpna 2008, Další články od Johna Stembridge Archivováno 11. ledna 2016 na Wayback Machine
↑ Pro ilustraci takových záhybů a odkazů viz ( Stekolshchik 2008 , s. 102 , poznámka 5.4).
↑ Jean-Bernard Zuber. Zobecněné Dynkinovy diagramy a kořenové systémy a jejich skládání // CiteSeer. — S. 28–30 .
↑ 1 2 Transformations of Dynkin Diagrams Archived 10. března 2016 na Wayback Machine , John Armstrong, 5. března 2010
↑ 12 Knapp , 2002 , str. 758.
↑ 1 2 3 Proč jsou Dynkinovy diagramy E6, E7 a E8 vždy zakresleny tímto způsobem? . Získáno 14. října 2015. Archivováno z originálu 11. září 2015. (neurčitý)
↑ Bourbaki, 1968 .
↑ Poznámky k Coxeterovým transformacím a McKayově korespondenci , Rafael Stekolshchik, 2005, oddíl 2.1 Cartanova matice a její sýkorky tvoří str. 27. [1] Archivováno 1. března 2020 na Wayback Machine
↑ Kac, 1994 , str. 47-55.
↑ Viz například Reflection groups a Coxeter groups od Jamese E. Humphreyse, str. 96 Archivováno 16. dubna 2021 na Wayback Machine
↑ Kac, 1994 , str. 53.
↑ L Carbone, S Chung, C Cobbs, R McRae, D Nandi, Y Naqvi, D Penta. Klasifikace hyperbolických Dynkinových diagramů, délky kořenů a orbit Weylových grup // J. Phys. A: Matematika. teor. - 2010. - Vydání. 43 .
↑ Symetrie M-teorií Archivováno 18. ledna 2017 na Wayback Machine , Francois Englert, Laurent Houart , Anne Taormina a Peter West, 2003

Literatura

E. B. Dynkin. Struktura polojednoduchých Lieových algeber. // UMN. - 1947. - svazek 2 , č. 4(20) . — s. 59–127 .
Nicholas Bourbaki. Kapitoly 4–6 // Groupes et algebres de Lie. — Paříž: Hermann, 1968.
Nathan Jacobson. Výjimečné lži algebry. - CRC Press, 1971. - ISBN 0-8247-1326-5 .
James E. Humphreys. Úvod do Lieových algeber a teorie reprezentace. - Birkhäuser, 1972. - ISBN 978-0-387-90053-7 .
William Fulton , Joe Harris . teorie reprezentace. První kurz. - New York: Springer-Verlag , 1991. - V. 129. - (Absolventské texty z matematiky, četby z matematiky). - ISBN 978-0-387-97495-8 , 978-0-387-97527-6.
Evgeniĭ Borisovič Dynkin, Alexander Adolph Juškevič, Gary M. Seitz, AL Onishchik. Vybrané články EB Dynkina s komentářem. - Knihkupectví AMS, 2000. - ISBN 978-0-8218-1065-1 .
Anthony W. Knapp. Lež skupiny nad rámec úvodu. — 2. - Birkhäuser, 2002. - ISBN 978-0-8176-4259-4 .
R. Stekolshchik. Poznámky k Coxeterovým transformacím a McKayově korespondenci. - 2008. - (Springerovy monografie z matematiky). — ISBN 978-3-540-77398-6 . - doi : 10.1007/978-3-540-77398-3 .
Viktor G. Kac. Nekonečně-dimenzionální Lie algebry. - Cambridge University Press, 1994. - ISBN 0-521-37215-1 , 0-521-46693-8.

Odkazy

Klassifikation von Wurzelsystemen (Klasifikace kořenových systémů, Wikibooks v němčině)
Dynkinův diagram v Encyclopaedia of Mathematics Archived 26. června 2015 na Wayback Machine
John Baez o všudypřítomnosti Dynkinových diagramů v matematice Archivováno 14. listopadu 2015 na Wayback Machine
Webový nástroj pro vytváření Dynkinových diagramů s popisky v publikační kvalitě (napsaný v JavaScriptu) Archivováno 13. prosince 2012 na Wayback Machine

Dynkinův diagram

Klasifikace polojednoduchých Lieových algeber

Související klasifikace

Příklad: A2

Omezení

Vztah s Coxeterovými diagramy

Izomorfismy

Automorfismy

Konstrukce Lieových grup pomocí automorfismů diagramů

Konvoluce

Další zobrazení grafu

Jednořádkové diagramy

Diagramy Satake

Historie

Dohody

Dynkinovy ​​diagramy hodnosti 2

Konečné Dynkinovy ​​diagramy

Affine Dynkinovy ​​diagramy

Hyperbolické Dynkinovy ​​diagramy a vyšší úrovně

Kompaktní hyperbolické Dynkinovy ​​diagramy

Nekompaktní (v podstatě rozšířené formuláře)

238 hyperbolických grup (kompaktních a nekompaktních)

Silně rozšířené diagramy

Viz také

Poznámky

Komentáře

Zdroje

Literatura

Odkazy

Dynkinovy diagramy hodnosti 2

Konečné Dynkinovy diagramy

Affine Dynkinovy diagramy

Hyperbolické Dynkinovy diagramy a vyšší úrovně

Kompaktní hyperbolické Dynkinovy diagramy