Čtvercová matice

V matematice je čtvercová matice matice , ve které je počet řádků stejný jako počet sloupců a toto číslo se nazývá pořadí matice. Libovolné dvě čtvercové matice stejného řádu lze sčítat a násobit.

Čtvercové matice se často používají k reprezentaci jednoduchých lineárních zobrazení , jako je zvlnění nebo rotace . Pokud je například R čtvercová matice představující rotaci (rotační matice ) a v je sloupcový vektor , který definuje polohu bodu v prostoru, součin Rv dává další vektor, který definuje polohu bodu po otočení. Pokud je v řádkový vektor , lze stejnou transformaci získat pomocí vRT , kde RT je matice transponovaná do R.

Hlavní úhlopříčka

Prvky a ii ( i = 1, …, n ) tvoří hlavní diagonálu čtvercové matice. Tyto prvky leží na pomyslné přímce procházející z levého horního rohu do pravého dolního rohu matice [1] . Například hlavní diagonála matice 4x4 na obrázku obsahuje prvky a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Úhlopříčka čtvercové matice procházející levým dolním a pravým horním rohem se nazývá strana .

Speciální typy

název	Příklad s n = 3
Diagonální matice	$\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{bmatrix}$
Spodní trojúhelníková matrice	$\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$
Horní trojúhelníková matrice	$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{bmatrix}$

Diagonální a trojúhelníkové matice

Pokud jsou všechny prvky mimo hlavní úhlopříčku nulové, říká se A jako úhlopříčka . Pokud jsou všechny prvky nad (pod) hlavní diagonálou nulové, nazývá se A dolní (horní) trojúhelníková matice . Trojúhelníková matice se všemi diagonálními vstupy rovnými 1 se nazývá jednotková [2] [3] .

Identifikační matice

Matice identity E n velikosti n je matice n × n , ve které jsou všechny prvky na hlavní diagonále rovny 1 a zbývající prvky jsou rovny 0 (často se místo písmene E používá písmeno I [4] ) [1] . Takto,

E_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ E_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ E_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

Násobením maticí identity zůstane matice nezměněna:

{{{1}}} pro libovolnou matici n × n A .

Symetrické a antisymetrické matice

Čtvercová matice A , která odpovídá své transponované matici , tj . A = A T , se nazývá symetrická . Pokud se A od transponované matice liší znaménkem, tedy A = − A T , pak se A nazývá antisymetrický (nebo šikmo symetrický ) [4] [5] . V případě komplexních matic je pojem symetrie často nahrazován pojmem self-adjoint a matice, která splňuje rovnost A ∗ = A , se nazývá hermitovská (neboli self-adjoint ); hvězdička zde označuje operaci hermitovské konjugace , jejímž smyslem je nahrazení každého prvku původní matice komplexně konjugovaným číslem s následnou transpozicí výsledné matice [6] [7] .

Podle spektrální věty existují pro skutečné symetrické matice a komplexní hermitovské matice báze sestávající z vlastních vektorů ; tedy jakýkoli prostorový vektor může být reprezentován jako lineární kombinace vlastních vektorů. V obou případech jsou všechna vlastní čísla skutečná [8] . Tato věta může být rozšířena na nekonečněrozměrný případ, kdy matice mají nekonečně mnoho řádků a sloupců.

Invertibilní matice

O čtvercové matici A se říká , že je invertibilní nebo nesingulární , pokud existuje taková matice B

AB = BA = E [9] [10] .

Pokud matice B existuje, je jedinečná a nazývá se inverzí k A a zapisuje se jako A −1 .

Definitivní matice

pozitivní definitivní	neurčitý
$\begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1/4 \\ \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & -1/4 \end{bmatrix}$
Q ( x , y ) = 1/4 x 2 + 1/4 y2	Q ( x , y ) = 1/4 x 2 − 1/4 y 2
Body splňující rovnici Q ( x , y ) = 1 ( Elipsa ).	Body splňující rovnici Q ( x , y ) = 1 ( Hyperbola ).

Symetrická matice n × n se nazývá pozitivně definitní (respektive negativně definitní nebo neurčitá), pokud pro všechny nenulové vektory x ∈ R n odpovídá kvadratický tvar .

Q ( x ) = x T Ax

nabývá pouze kladných hodnot (respektive záporných hodnot nebo obojího). Pokud kvadratická forma nabývá pouze nezáporných (respektive pouze nekladných) hodnot, o symetrické matici se říká, že je kladná semi-definitní (respektive záporná semi-definitní). Matice bude neurčitá, pokud není ani kladná, ani záporná semidefinitní [11] .

Symetrická matice je kladně definitní tehdy a jen tehdy, když jsou všechna její vlastní čísla kladná [12] . Tabulka vpravo ukazuje dva možné případy pro matice 2×2.

Pokud použijeme dva různé vektory, dostaneme bilineární formu spojenou s A :

B A ( x , y ) = x T Ay [13] .

Ortogonální matice

Ortogonální matice je čtvercová matice se skutečnými prvky, jejichž sloupce a řádky jsou ortogonální jednotkové vektory (tj. ortonormální). Ortogonální matici můžete také definovat jako matici, jejíž inverzní je rovna transpozici [7] :

A^{\mathrm {T} }=A^{-1},

odkud následuje

A^TA = AA^T = E

kde E je matice identity .

Ortogonální matice A je vždy invertibilní ( A −1 = AT ), unitární ( A −1 = A *) a normální ( A * A = AA *) . Determinant jakékoli ortogonální matice je buď +1 nebo -1 [14] . Násobení ortogonální maticí specifikuje takovou lineární transformaci aritmetického prostoru , která je v případě matice s determinantem +1 prostou rotací a v případě matice s determinantem −1 buď prostým odrazem , resp . superpozice odrazu a rotace. $\mathbb {R} ^{n}$

Komplexním analogem ortogonální matice je unitární matice .

Operace

Další

Stopa čtvercové matice A (tr( A )) je součtem prvků hlavní diagonály. Zatímco násobení matic není obecně komutativní, stopa součinu dvou matic nezávisí na pořadí faktorů:

tr( AB ) = tr( BA ).

To vyplývá přímo z definice matricového produktu:

\scriptstyle\operatorname{tr}(\mathsf{AB}) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ji} = \operatorname{tr}(\mathsf {BA}).

Také stopa matice se rovná stopě její transpozice, tj.

tr( A ) = tr( AT ) .

Determinant

Determinant det( A ) nebo | A | čtvercová matice A je číslo, které definuje některé vlastnosti matice. Matice je invertibilní právě tehdy, když je její determinant nenulový. Absolutní hodnota determinantu je rovna ploše (v R 2 ) nebo objemu (v R 3 ) obrazu jednotkového čtverce (nebo krychle), přičemž znaménko determinantu odpovídá orientaci odpovídajícího zobrazení - determinant je kladný právě tehdy, když je orientace zachována.

Determinant matic 2×2 se vypočítá podle vzorce

\det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc.

Determinant matice 3×3 používá 6 produktů ( Sarrusovo pravidlo ). Delší Leibnizův vzorec zobecňuje tyto dva vzorce na všechny dimenze [15] .

Determinant součinu matic se rovná součinu determinantů faktorů:

det( AB ) = det( A ) • det( B ) [16] .

Přidání libovolného řádku s koeficientem do jiného řádku nebo libovolného sloupce s koeficientem do jiného sloupce nezmění determinant. Výměna míst dvou řádků nebo sloupců vede ke změně znaménka determinantu [17] . Pomocí těchto operací lze libovolnou matici redukovat na spodní (nebo horní) trojúhelníkovou matici a pro takové matice je determinant roven součinu prvků hlavní diagonály, což dává způsob, jak vypočítat determinant libovolné matice. Konečně Laplaceova věta vyjadřuje determinant v termínech minors , tedy determinanty menších matic [18] . Tato věta umožňuje rekurzivní výpočet determinantů (vychází se z determinantu matice 1x1, nebo dokonce z determinantu matice 0x0, který je roven 1), které lze považovat za ekvivalent Leibnizovy formule. Determinanty lze použít k řešení lineárních systémů pomocí Cramerovy metody [19] .

Vlastní čísla a vlastní vektory

Číslo λ a nenulový vektor v splňující rovnici

Av = λ v ,

se nazývají vlastní hodnota a vlastní vektor matice A [20] . Číslo λ je n × n vlastní hodnotou matice A právě tehdy, když A −λ E nemá inverzní hodnotu, což je ekvivalentní

\det(\mathsf{A}-\lambda \mathsf{E}) = 0.\

[dvacet]

Polynom p A v neznámé X získaný jako determinant det( X E − A ) se nazývá charakteristický polynom matice A . Je to normalizovaný polynom stupně n . Rovnice p A (λ) = 0 má tedy maximálně n různých řešení, tedy vlastních čísel matic [21] . Tyto hodnoty mohou být složité, i když jsou všechny prvky matice A skutečné. Podle Hamiltonovy-Cayleyovy věty p A ( A ) = 0 , tedy při dosazení samotné matice do charakteristického polynomu získáme nulovou matici [22] .

Poznámky

↑ 1 2 Voevodin a Kuzněcov, 1984 , s. 26.
↑ Voevodin a Kuzněcov, 1984 , s. 26-27.
↑ Ikramov, 1991 , s. 9-10.
↑ 1 2 Pobedrya, 1986 , s. 41.
↑ Voevodin a Kuzněcov, 1984 , s. 74.
↑ Voevodin a Kuzněcov, 1984 , s. 73.
↑ 1 2 Ikramov, 1991 , str. deset.
↑ Horn a Johnson, 1989 , věta 2.5.6, s. 129-130.
↑ Brown, 1991 , Definice I.2.28, s. 21.
↑ Brown, 1991 , Věta I.5.13, s. 61.
↑ Horn a Johnson, 1989 , 7.1. Definice a vlastnosti, str. 471-474.
↑ Horn a Johnson, 1989 , věta 7.2.1, s. 477-478.
↑ Horn a Johnson, 1989 , příklad 4.0.6, s. 202.
↑ Voevodin a Kuzněcov, 1984 , s. 71-72.
↑ Brown, 1991 , Definice III.2.1, s. 167.
↑ Brown, 1991 , Věta III.2.12, s. 173.
↑ Brown, 1991 , Důsledek III.2.16, s. 174.
↑ Mirsky, 1990 , Věta 1.4.1, str. 14-15.
↑ Brown, 1991 , Věta III.3.18, s. 189.
↑ 1 2 Bellman, 1976 , str. 56.
↑ Brown, 1991 , Důsledek III.4.10, s. 198.
↑ Gantmakher, 1988 , str. 87.

Odkazy

Bellman R. Úvod do teorie matic. 2. vyd. — M .: Nauka , 1976. — 352 s.
Voevodin V.V. , Kuzněcov Yu.A. Matice a výpočty. — M .: Nauka , 1984. — 320 s.
Gantmakher F. R. Teorie matic. 4. vyd. — M .: Nauka , 1988. — 552 s. — ISBN 5-02-013722-7 .
Ikramov H. D. . Asymetrický problém vlastních čísel. Numerické metody. — M .: Nauka , 1991. — 240 s. — ISBN 5-02-014462-2 .
Pobedrya B. E. . Přednášky o tenzorové analýze. 3. vyd. - M. : Moskevské nakladatelství. un-ta, 1986. - 264 s.
Horne R., Johnson C. . Maticová analýza. — M .: Mir , 1989. — 655 s. - ISBN 5-03-001042-4 .
Brown, William C. Matice a vektorové prostory . - New York: Marcel Dekker, 1991. - viii + 328 s. - ISBN 978-0-8247-8419-5 .
Mirský, Leonid. . Úvod do lineární algebry . - New York: Dover Publications, 1990. - viii + 440 s. — ISBN 978-978-0-486-66434-7.