Unitární matice

Unitární matice je čtvercová matice se složitými prvky, jejíž výsledek násobení hermitovským konjugátem se rovná matici identity : . Jinými slovy, matice je unitární tehdy a pouze tehdy, pokud existuje inverzní matice, která splňuje podmínku . $U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I$ $U^{{-1}}=U^{\dagger }$

Unitární matice zobecňují koncept ortogonálních matic , jejichž prvky jsou pouze reálná čísla, na matice s komplexními čísly.

Následující tvrzení o dané čtvercové matici jsou ekvivalentní: $A$

$A$ - jednotný.
$A^{\dagger }$ - jednotný.
Sloupce matice tvoří ortonormální základ v unitárním prostoru . $A$
Řádky matice tvoří ortonormální základ v unitárním prostoru . $A$

Výklad

Unitární matice představuje transformaci, která transformuje ortonormální bázi komplexního vektorového prostoru dimenze odpovídající jeho velikosti na ortonormální bázi. (To platí pro jakýkoli ortonormální základ).

To je ekvivalentní tvrzení, že transformace reprezentovaná unitární maticí zachovává vnitřní součin (a tedy i délky všech vektorů).

Vlastnosti

Každá unitární matice je normální .
Součin unitárních matic je také unitární matice.
Pro nějakou nečleněnou matici existuje jednotná matice , která je diagonální . $U$ $PROTI$ $V^{*}UV$
Množina všech unitárních matic řádu s ohledem na násobení tvoří jednotnou grupu , (algebraickou) Lieovu grupu nad polem reálných čísel. $n$ $U(n)$

Pokud je determinant unitární matice roven jedné, nazývá se speciální unitární matice . Modul determinantu unitární matice je vždy 1. $A$

Množina všech speciálních unitárních matic řádu násobením tvoří speciální unitární grupu . Skupiny a hrají důležitou roli v prezentaci kvantové mechaniky a fyziky elementárních částic . $n$ $Slunce)$ $NE(2)$ $NE(3)$

Viz také

Literatura

Unitární matice // Uži - Fidel. - M .: Sovětská encyklopedie, 1956. - S. 242. - ( Velká sovětská encyklopedie : [v 51 svazcích] / šéfredaktor B. A. Vvedenskij ; 1949-1958, v. 44).