Komplexní číslo

Skutečnost, že součin je reálné číslo, lze využít k vyjádření komplexního zlomku v kanonické podobě, tedy k zbavení se pomyslného jmenovatele. Chcete-li to provést, vynásobte čitatel a jmenovatel výrazem spojeným se jmenovatelem [21] , například:

Formy reprezentace komplexního čísla

Algebraický tvar

Výše jsme použili zápis komplexního čísla ve formě , kdy se takový zápis nazývá algebraická forma komplexního čísla. Další dvě hlavní formy zápisu jsou spojeny s reprezentací komplexního čísla v polárním souřadnicovém systému .

Trigonometrický tvar

Pokud jsou reálné a imaginární části komplexního čísla vyjádřeny pomocí modulu a argumentu (tj . , , ), pak každé komplexní číslo , kromě nuly, lze zapsat v trigonometrickém tvaru [16] :

Jak bylo uvedeno výše, nula nemá žádný argument; pro nenulové číslo se určuje až celočíselný násobek

Indikativní formulář

Eulerův vzorec [21] má zásadní význam pro komplexní analýzu :

kde  je Eulerovo číslo , ,  je kosinus a sinus ,  je komplexní exponent , pokračuje skutečným v případě běžného komplexního exponentu.

Aplikováním tohoto vzorce na goniometrický tvar získáme exponenciální tvar komplexního čísla [21] :

Důsledky

Příklad [22] . Představme číslo v goniometrickém a exponenciálním tvaru

Odtud:

De Moivreův vzorec a extrakce kořenů

Tento vzorec pomáhá umocnit nenulové komplexní číslo reprezentované v goniometrickém tvaru na celočíselnou mocninu. De Moivreův vzorec má tvar [12] :

kde  je modul a  je argument komplexního čísla. V moderní symbolice ji vydal Euler v roce 1722. Výše uvedený vzorec je platný pro jakékoli celé číslo , nemusí být nutně kladné.

Podobný vzorec platí také při výpočtu kořenů tého stupně z nenulového komplexního čísla [21] :

kde k přebírá všechny celočíselné hodnoty od do . To znamená, že odmocniny nenulového komplexního čísla existují pro libovolné přirozené číslo a jejich počet je roven . V komplexní rovině, jak je vidět ze vzorce, jsou všechny tyto kořeny vrcholy pravidelného -gonu vepsaného do kruhu o poloměru se středem v počátku (viz obrázek).

Hlavní význam kořene

Pokud je ve vzorci Moivre zvolena jeho hlavní hodnota jako argument , pak se hodnota odmocniny at nazývá hlavní hodnota odmocniny [23] . Například hlavní hodnota čísla je

Druhá odmocnina

Chcete-li extrahovat druhou odmocninu komplexního čísla, můžete toto číslo převést na goniometrický tvar a použít Moivreho vzorec pro Ale existuje také čistě algebraická reprezentace dvou odmocnin. Když kořeny čísla jsou dvojice čísel: kde [24] :

Zde  je funkce "znak" a radikály označují obvyklý aritmetický kořen nezáporného reálného čísla. Vzorec lze snadno ověřit pomocí kvadratury. Číslo je hlavní hodnotou odmocniny.

Příklad : pro druhou odmocninuvzorce jsou uvedeny dvě hodnoty:

Historie

Zdá se, že poprvé byly imaginární veličiny zmíněny v díle Cardana „Velké umění, nebo o algebraických pravidlech“ (1545), jako součást formálního řešení problému výpočtu dvou čísel, jejichž součet se rovná na 10 a součin je roven 40. Pro tyto úlohy dostal kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou: a V komentáři k řešení napsal: „tyto nejsložitější veličiny jsou zbytečné, i když velmi důmyslné“, a „aritmetické úvahy se stávají stále obtížnějšími a dosahují limitu tak rafinovaného jako zbytečného“ [25] .

Možnost využití imaginárních veličin při řešení kubické rovnice poprvé popsal Bombelli (1572), dal také pravidla pro sčítání, odčítání, násobení a dělení komplexních čísel. Rovnice má skutečný kořen , ale podle Cardanových vzorců dostáváme: Bombelli zjistil, že součet těchto veličin tedy dává požadovaný skutečný kořen. Poznamenal, že v takových ( neredukovatelných ) případech jsou komplexní kořeny rovnice vždy konjugované, takže součet je skutečná hodnota. Bombelliho vysvětlení položilo základ pro úspěšnou aplikaci komplexních čísel v matematice [26] [25] .

Výrazy, které lze reprezentovat jako objevující se při řešení kvadratických a kubických rovnic, kde se jim v 16.-17. století začalo říkat „imaginární“ na návrh Descarta , který je tak nazýval, odmítaje jejich realitu. Pro mnoho dalších významných vědců 17. století se povaha a právo na existenci imaginárních veličin také zdály velmi pochybné. Leibniz například v roce 1702 napsal: „Duch Boží našel nejjemnější výstup v tomto zázraku analýzy, podivín ze světa idejí, duální esence, nacházející se mezi bytím a nebytím, kterou nazýváme pomyslným kořenem. záporné jednotky." Přes tyto pochybnosti matematici sebevědomě aplikovali na „imaginární“ čísla obvyklá algebraická pravidla pro reálné veličiny a získali správné výsledky [25] .

Dlouho nebylo jasné, zda všechny operace s komplexními čísly vedou ke komplexním výsledkům, nebo zda například vyjmutí kořene může vést k objevu nějakého jiného nového typu čísla. Problém vyjádření kořenů daného čísla vyřešili Moivre (1707) a Cotes (1722) [27] .

Symbol pro imaginární jednotku navrhl Euler (1777, publ. 1794), který pro to převzal první písmeno latinského slova imaginarius  - „imaginární“. Také rozšířil všechny standardní funkce, včetně logaritmu , na komplexní doménu. Euler také vyjádřil v roce 1751 myšlenku, že v systému komplexních čísel má každý polynom kořen ( základní věta algebry , před Eulerem podobné předpoklady dělali Albert Girard a René Descartes ) [28] . d'Alembert (1747) dospěl ke stejnému závěru , ale první rigorózní důkaz této skutečnosti patří Gaussovi (1799) [26] . Gauss a zavedl termín „komplexní číslo“ do širokého použití v roce 1831 (dříve tento termín používal ve stejném smyslu francouzský matematik Lazar Carnot v roce 1803, ale poté si nezískal popularitu) [29] .

Geometrická reprezentace komplexních čísel, která velkou měrou přispěla k jejich legalizaci, byla navržena na konci 18. a začátku 19. století nejprve Wesselem a Arganem (jejich práce nevzbudily pozornost) a poté Gaussem [30]. . Aritmetický (standardní) model komplexních čísel jako párů reálných čísel sestrojil Hamilton (The Theory of Algebraic Pairs, 1837); to prokázalo konzistenci jejich vlastností. Termíny „modul“, „argument“ a „konjugované číslo“ zavedl na začátku 19. století Cauchy , který významně pokročil v komplexní analýze . Od 19. století začal rychlý a mimořádně plodný rozvoj výzkumu funkcí komplexní proměnné. [2] [31] .

Vzhledem k tomuto úspěšnému přístupu začalo hledání způsobu, jak reprezentovat vektory v trojrozměrném prostoru , podobném komplexní rovině. Jako výsledek patnácti roků hledání , Hamilton navrhl v 1843 zobecnění komplexních čísel - quaternions , který on byl nucený dělat ne trojrozměrný, ale čtyřrozměrný (trojrozměrné vektory líčily imaginární část čtveřice); Hamilton také musel opustit komutativitu operace násobení [2] .

V roce 1893 Charles Steinmetz navrhl používat komplexní čísla k výpočtu střídavých elektrických obvodů (viz níže ).

Komplexní funkce

Analytické funkce

Komplexní funkce jedné proměnné je funkce , která je definována na nějaké oblasti komplexní roviny a přiřazuje komplexní hodnoty bodům této oblasti [32] . Příklady:

Každou komplexní funkci lze považovat za dvojici reálných funkcí dvou proměnných: definujících její reálnou a imaginární část. Funkce , se nazývají komponenty komplexní funkce Podobně je definována funkce více komplexních proměnných [32] .

Vizuální reprezentace komplexní funkce grafem je obtížná, protože i pro funkci jedné komplexní proměnné potřebuje graf čtyři rozměry (dva pro definiční obor a dva další pro rozsah hodnot). Pokud místo hodnoty funkce uvažujeme její modul, pak je výsledný reliéf funkce umístěn ve třech rozměrech a dává určitou představu o chování funkce [33] .

Všechny standardní analytické funkce  - polynom , lineární zlomková funkce , mocninná funkce , exponenciální , goniometrické funkce , inverzní goniometrické funkce , logaritmus  - lze rozšířit do komplexní roviny. V tomto případě pro ně budou platit stejné algebraické, diferenciální a jiné identity jako pro skutečný originál [32] , například:

Pro komplexní funkce jsou pojmy limita , spojitost a derivace definovány stejným způsobem jako v reálné analýze, přičemž absolutní hodnota je nahrazena komplexním modulem [32] .

Diferencovatelné komplexní funkce (tedy funkce, které mají derivaci) mají oproti reálným řadu vlastností [34] .

• Reálnou a imaginární částí diferencovatelné funkce jsou harmonické funkce spojené Cauchy-Riemannovými podmínkami .
• Nějaká komplexní funkce diferencovatelná v nějakém sousedství bodu je diferencovatelná neomezený počet časů v tomto bodě (to znamená, že je analytická nebo holomorfní ).

Určitý integrál pro funkce jedné komplexní proměnné, obecně řečeno, závisí na integrační cestě (tj. volbě křivky od počátečního bodu ke koncovému bodu v komplexní rovině). Pokud je však integrovatelná funkce analytická v jednoduše spojené oblasti , pak její integrál v této oblasti nezávisí na cestě [35] .

Komplexní rovinné transformace

Jakoukoli komplexní funkci lze považovat za transformaci komplexní roviny (nebo za transformaci jedné komplexní roviny do jiné). Příklady:

•  - rovnoběžný posun , určený poloměrovým vektorem bodu
• kde  je komplexní číslo s jednotkovým modulem, je otočení kolem počátku o úhel rovný argumentu
•  je zrcadlový odraz kolem skutečné osy.

Protože jakýkoli pohyb po rovině je kombinací výše uvedených tří transformací, funkce a dávají obecný výraz pro pohyb po komplexní rovině [36] .

Další lineární transformace [36] :

• , kde  je kladné reálné číslo, určuje roztahování s faktorem if nebo zmenšující se časy if
• transformace a kde  jsou libovolná komplexní čísla, definujte transformaci podobnosti ;
• transformace kde  je obecný tvar afinní transformace komplexní roviny (kdy transformace nebude afinní, protože rovinu degeneruje na přímku).

Důležitou roli v komplexní analýze hrají lineárně-frakční transformace [37] :

V tomto případě (jinak funkce degeneruje do konstanty). Charakteristická vlastnost lineárně zlomkové transformace: převádí kružnice a přímky na kružnice a přímky (tedy na tzv. zobecněné kružnice [38] [39] , mezi které patří „kruhy o nekonečném poloměru“ - přímky ). V tomto případě se obraz kruhu může ukázat jako přímka a naopak [37] .

Mezi další prakticky užitečné transformační funkce patří: inverze Žukovského funkce . Inverze, stejně jako lineárně-zlomková transformace, převádí zobecněné kružnice na zobecněné kružnice.

Analytická geometrie na komplexní rovině

Studium rovinných obrazců je často usnadněno, pokud jsou přeneseny do komplexní roviny. Mnoho teorémů planimetrie umožňuje jasný a kompaktní zápis pomocí komplexních čísel, například [40] :

• Tři (odlišné) body leží na stejné přímce právě tehdy, když je splněna následující podmínka:

• Čtyři (odlišné) body leží na stejné zobecněné kružnici (kružnici nebo přímce) právě tehdy, když je splněna následující podmínka:

• Jsou-li dány tři vrcholy rovnoběžníku : pak čtvrtý je určen rovností [41] :

Parametrická rovnice přímky na komplexní rovině má tvar [42] :

Úhel mezi dvěma přímkami a je Zejména přímky jsou kolmé pouze tehdy, když  je čistě imaginární číslo. Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, když existuje reálné číslo; pokud je také skutečný, pak se obě linie shodují. Každá přímka rozděluje komplexní rovinu na dvě poloroviny: na jedné z nich je výraz kladný, na druhé záporný [42] .

Rovnice kruhu se středem a poloměrem má extrémně jednoduchý tvar: Nerovnice popisuje vnitřek kruhu ( otevřený kruh) [42] . Parametrický tvar kruhové rovnice je často výhodný [43] :

Místo v obecné algebře, topologii a teorii množin

Množina komplexních čísel tvoří těleso , které je konečným rozšířením oboru reálných čísel stupně 2. Hlavní algebraickou vlastností  je, že je algebraicky uzavřený , to znamená, že každý polynom v něm má (komplexní) kořeny, a proto , se rozkládá na lineární faktory. Také se říká, že existuje algebraické uzavření [44] pole

Charakteristika komplexního tělesa je nulová, mocnina jako množina je stejná jako u tělesa reálných čísel, tedy kontinua . Frobeniův teorém stanovil, že existují pouze dvě šikmá pole , která jsou konečnými rozšířeními  – pole komplexních čísel a šikmé pole čtveřic [45] .

Není možné přeměnit pole komplexních čísel na uspořádané pole , protože v uspořádaném poli je druhá mocnina libovolného prvku nezáporná a imaginární jednotka v něm nemůže existovat.

Z vlastností modulu vyplývá, že komplexní čísla tvoří strukturu dvourozměrného normovaného prostoru nad polem

Pole připouští nekonečně mnoho automorfismů , ale pouze jeden z nich (nepočítaje identitu) ponechává reálná čísla na místě [46] .

Pole a  jsou jedinými připojenými lokálně kompaktními topologickými poli [47] .

Některé praktické aplikace

Ty vlastnosti komplexních čísel a funkcí, které je odlišují od skutečných, se ukázaly být užitečné a často nepostradatelné v matematice, přírodních vědách a technice.

Matematika

Samotné aplikace komplexních čísel jsou v matematice prominentní – zejména koncepty algebraických čísel , hledání kořenů polynomů , Galoisova teorie , komplexní analýza atd.

Přenesením geometrického problému z obyčejné roviny do složitého často získáme možnost jeho řešení výrazně zjednodušit [48] [49] .

Mnoho komplexních problémů v teorii čísel (například teorie bikvadratických zbytků ) a skutečné matematické analýze (například výpočet komplexních nebo nesprávných integrálů ) bylo možné vyřešit pouze pomocí nástrojů komplexní analýzy . Mocným nástrojem pro objevy v teorii čísel se ukázala být například Gaussova čísla ve tvaru kde  jsou celá čísla [50] . Ke studiu distribuce prvočísel bylo zapotřebí komplexní Riemannovy zeta funkce [51] .

Problémy reálné analýzy jsou často objasněny jejich komplexním zobecněním. Klasickým příkladem je Taylorova expanze

Tato řada konverguje pouze v intervalu , i když body nejsou pro redukovanou funkci speciální . Situace se vyjasní při přechodu na funkci komplexní proměnné , která má dva singulární body: póly Podle toho lze tuto funkci rozšířit do řady pouze v kružnici o jednotkovém poloměru [52] .

Při řešení lineárních diferenciálních rovnic je důležité nejprve najít všechny komplexní kořeny charakteristického polynomu a poté se pokusit vyřešit systém z hlediska základních exponenciál [53] . V diferenčních rovnicích se pro podobný účel používají komplexní kořeny charakteristické rovnice soustavy diferenčních rovnic [54] . S pomocí teorie reziduí , která je součástí komplexní analýzy, se počítá mnoho komplexních integrálů přes uzavřené obrysy [55] ..

Studium funkce je často spojeno s analýzou jejího frekvenčního spektra pomocí komplexní Fourierovy nebo Laplaceovy transformace [56] .

Reprezentace komplexních čísel v informatice a počítačové podpoře komplexní aritmetiky je popsána v článku Komplexní datový typ .

Konformní mapování

Jak bylo uvedeno výše, jakoukoli komplexní funkci lze považovat za transformaci jedné komplexní roviny do jiné. Hladká ( analytická ) funkce má dvě vlastnosti: pokud v daném bodě není derivace rovna nule, pak je poměr roztažení/komprese v této transformaci stejný ve všech směrech, úhel natočení je také konstantní ( konformní zobrazení ) [ 57] . Tato skutečnost souvisí s širokým uplatněním komplexních funkcí v kartografii [58] [59] a hydrodynamice [60] .

Kvantová mechanika

Základem kvantové mechaniky je koncept komplexní vlnové funkce , k popisu dynamiky kvantového systému se používají diferenciální rovnice s komplexními koeficienty, jako je Schrödingerova rovnice . Řešení těchto rovnic jsou dána v komplexním Hilbert prostoru . Operátory odpovídající pozorovaným veličinám jsou hermitovské . Komutátor operátorů polohy a hybnosti je imaginární číslo [61] :

Zde  je redukovaná Planckova konstanta , tj. ( Diracova konstanta ).

Důležitou roli v kvantové mechanice hrají Pauliho matice a Diracovy matice , některé z nich obsahují komplexní hodnoty [61] .

Elektrotechnika

Protože střídavý proud je oscilační proces, je vhodné jej popisovat a studovat pomocí komplexních čísel. Pojmy impedance neboli komplexní odpor jsou také zavedeny pro reaktivní prvky elektrického obvodu, jako je kapacita a indukčnost, což pomáhá vypočítat proudy v obvodu [62] . Vzhledem k tomu, že tradičně symbol v elektrotechnice označuje velikost proudu, označuje se tam imaginární jednotka písmenem [63] . V mnoha oblastech elektrotechniky (hlavně radiofrekvenční a optické) se nepoužívá záznam rovnic proudu a napětí pro obvod, ale přímo Maxwellovy rovnice v jejich spektrálním vyjádření, jejichž fyzikální veličiny jsou dány v komplexní rovině a při přechodu z - do - prostoru (kde  - čas ,  je úhlová frekvence ) pomocí Fourierovy transformace získáme jednodušší rovnice bez derivací [64] .

Logické základy

Rozšíření oboru reálných čísel na komplexní, jako každé jiné rozšíření algebraické struktury, vyvolává mnoho otázek, z nichž hlavní jsou otázky, jak definovat operace na novém typu čísel, jaké vlastnosti budou mít nové operace. , a (hlavní otázka), zda je to přípustné rozšíření, zda povede k neodstranitelným rozporům.

K analýze takových otázek v teorii komplexních čísel je nutné vytvořit soubor axiomů.

Axiomatika komplexních čísel

Je možné definovat axiomatiku množiny komplexních čísel , pokud se opíráme o axiomatickou teorii reálných čísel . Konkrétně definujeme jako minimální pole obsahující množinu reálných čísel a alespoň jedno číslo, jehož druhá mocnina je −1, imaginární jednotka . Přesněji řečeno, axiomy komplexních čísel jsou následující [65] [66] .

Všechny ostatní vlastnosti vyplývají z těchto axiomů. Prvních 11 axiomů znamená, co tvoří pole , a 12. axiom říká, že toto pole je rozšířením .

Existují i ​​jiné verze axiomatiky komplexních čísel. Například místo spoléhání se na již zkonstruované uspořádané pole reálných čísel lze jako základ použít axiomatiku teorie množin [68] .

Konzistence a modely

Standardním způsobem, jak dokázat konzistenci nové struktury, je modelovat ( interpretovat ) její axiomy pomocí objektů jiné struktury, o jejíž konzistenci nelze pochybovat. V našem případě musíme tyto axiomy implementovat na základě reálných čísel [69] .

Standardní model

Zvažte všechny možné uspořádané dvojice reálných čísel. V tomto modelu bude každý takový pár odpovídat komplexnímu číslu [70]

Dále definujte [69] :

1. páry a jsou považovány za rovnocenné, jestliže a
2. sčítání : součet párů a je definován jako pár
3. násobení : součin párů a je definován jako pár

Vysvětlení: zdánlivě komplikovaná definice násobení je snadno odvozena ze vztahu

Je snadné ověřit, že popsaná struktura dvojic tvoří pole a vyhovuje celému seznamu axiomů komplexních čísel. Reálná čísla jsou modelována ve dvojicích tvořících podpole a operace s takovými dvojicemi jsou v souladu s obvyklým sčítáním a násobením reálných čísel. Páry a odpovídají nule a jednotce pole. Tato metoda je speciálním případem Cayley-Dixonovy procedury .

Imaginární jednotkou  je dvojice , jejíž druhá mocnina se rovná , tj.  libovolné komplexní číslo lze zapsat jako

Popsaný model dokazuje, že daná axiomatika komplexních čísel je konzistentní. Protože pokud by v tom byl rozpor, pak by to znamenalo rozpor v základní aritmetice reálných čísel pro tento model, o kterém jsme předem předpokládali, že je konzistentní [69] .

Maticový model

Komplexní čísla mohou být také definována jako podkruh kruhu skutečných  2×2 matic formuláře

s obvyklým maticovým sčítáním a násobením [2] . Skutečná jednotka bude odpovídat

pomyslná jednotka -

.

Množina takových matic je dvourozměrný vektorový prostor . Násobení komplexním číslem je lineární operátor . V základu je lineární operátor násobení pomocí reprezentován výše uvedenou maticí, protože [2] :

Maticový model usnadňuje demonstraci vztahu mezi komplexními čísly a lineárními transformacemi určitého typu roviny. Konkrétně existuje korespondence jedna ku jedné mezi komplexními čísly a rotačními stejnoměrnostmi roviny ( kombinace rozšíření kolem bodu a rotace ): každá rotační stejnoměrnost může být reprezentována na komplexní rovině jako násobení komplexním číslem [71 ] .

Faktorový prstencový model polynomů

Uvažujme polynomický okruh s reálnými koeficienty a sestrojíme jeho podílový okruh modulo polynom (nebo, který je stejný, podle ideálu generovaného zadaným polynomem). To znamená, že budeme považovat dva polynomy od za ekvivalentní , pokud po dělení polynomem dávají stejný zbytek. Například polynom bude ekvivalentní konstantě , polynom bude ekvivalentní atd. [72]

Sada tříd ekvivalence tvoří kruh s identitou. Vzhledem k tomu, že polynom je ireducibilní , je tímto faktorem prstenec pole. Roli imaginární jednotky hraje polynom, protože jeho druhá mocnina (viz výše) je ekvivalentní Každá třída ekvivalence obsahuje zbytek tvaru (z dělení ), který lze s ohledem na řečené zapsat as Proto je toto pole izomorfní s polem komplexních čísel [72] .

Tento izomorfismus objevil Cauchy v roce 1847. Tento přístup lze použít ke konstrukci zobecnění komplexních čísel, jako jsou Cliffordovy algebry [73] .

Algebraická charakterizace

Jak bylo uvedeno výše , obor komplexních čísel je algebraicky uzavřený a má charakteristickou nulu (z poslední vlastnosti vyplývá, že obsahuje podpole racionálních čísel ). Navíc každý základ transcendence nad má mohutnost kontinua [K 3] . Tyto tři vlastnosti postačují k definování oboru komplexních čísel až po izomorfismus pole  — mezi jakýmikoli dvěma algebraicky uzavřenými poli charakteristiky 0 se základem transcendence kontinua existuje určitá identifikace konzistentní s operacemi sčítání a násobení těchto polí [74] [75] [K 4] .

Při této identifikaci nemusí být zachovány jiné struktury, jako je norma nebo topologie . Například algebraické uzavření oboru -adických čísel také splňuje tři naznačené vlastnosti. Norma -adic však není archimedovská , a proto není ekvivalentní obvyklé normě komplexních čísel pro jakýkoli výběr izomorfismu [76] . Proto definují odlišnou strukturu topologického vektorového prostoru : množina libovolného prvku vektorového prostoru a jeho integrálních násobností je diskrétní v komplexním případě a kompaktní  v -adic [76] .

Variace a zobecnění

Nejbližší zobecnění komplexních čísel bylo objeveno v roce 1843. Ukázalo se, že jde o těleso kvaternionů , které na rozdíl od oboru komplexních čísel obsahuje tři imaginární jednotky, tradičně označované Podle Frobeniovy věty jsou komplexní čísla jedním ze tří možných případů algebry konečného dělení přes pole. reálných čísel. V roce 1919 se ukázalo, že jak komplexní čísla z reálů, tak čtveřice z komplexních čísel lze získat jednorozměrnou procedurou zdvojení , známou také jako „ Cayley-Dixonova procedura “ [77] .

Další aplikací tohoto postupu se tvoří čísla popsaná Arthurem Cayleym v roce 1845, před objevením tohoto postupu, a nazývaná „ Cayleyova čísla “ (oktoniony, oktávy). Čísla získaná další aplikací postupu se nazývají sedeniony . Navzdory tomu, že tento postup lze dále opakovat, další počty jmen zatím nemají [77] .

Další typy rozšíření komplexních čísel ( hyperkomplexní čísla ):

• Biquaterniony
• Komplexní čísla hyperbolického typu (dvojitá)
• Komplexní čísla parabolického typu (duální)

Poznámky

Komentáře

1. ↑ Dva možné akcenty jsou uvedeny podle následujících zdrojů.
   • Velká sovětská encyklopedie , 3. vyd. (1973), ročník 12, s. 588, článek Komplexní čísla .
   • Sovětský encyklopedický slovník (1982), s. 613, článek Komplexní číslo .
   • Poslední vydání Slovníku obtíží ruského jazyka (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, s. 273) uvádí obě možnosti: komplexní (komplexní) čísla .
   • The Great Russian Encyclopedia (Vol. 14, 2010) poskytuje možnosti: Komplexní číslo (str. 691, autor neuveden), ale Komplexní analýza Archivní kopie ze dne 2. července 2019 na Wayback Machine (str. 695, autor: korespondent Ruská akademie věd E. M. Chirka ).
   • Pravopisný slovník ruského jazyka (vyd. 6., 2010), Gramatický slovník ruského jazyka, Ruský pravopisný slovník Ruské akademie věd , ed. V. V. Lopatina (vyd. 4., 2013) a řada dalších slovníků uvádí možnosti: komplexní a komplexní (mat.) .
2. ↑ V závislosti na konzistenci systému reálných čísel.
3. ↑ To znamená, že se od (oboru racionálních funkcí pro množinu proměnných mocninného kontinua) liší algebraickým rozšířením
4. ↑ Vzhledem k tomu, že zobrazení do algebraicky uzavřeného pole lze vždy rozšířit na algebraické rozšíření, k vytvoření izomorfismu mezi algebraickými uzavřenými poli postačí stanovit izomorfismus mezi jejich jednoduchými podpolemi a bijekci mezi bázemi transcendence.

Reference

1. ↑ Stručný slovník cizích slov. - 7. vyd. - M . : Ruský jazyk , 1984. - S. 121. - 312 s.
2. ↑ 1 2 3 4 5 Komplexní číslo // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1979. - T. 2. - S. 1007.
3. ↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1951 , s. 227.
4. ↑ Příručka elementární matematiky, 2006 , str. 211, poznámka pod čarou.
5. ↑ Příručka elementární matematiky, 2006 , str. 222.
6. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Algebra a matematická analýza, 1998 , str. 180-181.
7. ↑ Skutečná část . Staženo 16. ledna 2018. Archivováno z originálu 31. března 2018. (neurčitý)
8. ↑ Imaginární číslo // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3. - S. 708.
9. ↑ Imaginární část . Staženo 16. ledna 2018. Archivováno z originálu 31. března 2018. (neurčitý)
10. ↑ Ahlfors Lars V., 1979 , s. 2.
11. ↑ Dějiny matematiky, svazek III, 1972 , str. 72.
12. ↑ 1 2 Encyklopedie elementární matematiky, 1951 , str. 237-239.
13. ↑ Dějiny matematiky, svazek III, 1972 , str. 61-66.
14. ↑ Parta 12 , Bryan. Matematické bludy a paradoxy. Kapitola "Odstranění paradoxu podle definice" . - Dover Publications, 1997. - 240 s. — (Doverské knihy o matematice). — ISBN 978-0486296647 .
15. ↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1951 , s. 233-234.
16. ↑ 1 2 3 4 5 Encyklopedie elementární matematiky, 1951 , str. 234-235, 239-240.
17. ↑ GOST R 52002-2003. Elektrotechnika. Termíny a definice základních pojmů Archivováno 16. března 2018 na Wayback Machine . Odstavec 152. Komplexní amplituda (sinusového elektrického) proudu je komplexní veličina, jejíž modul a argument se rovnají amplitudě a počáteční fázi daného sinusového elektrického proudu.
18. ↑ 1 2 3 4 5 6 Ahlfors Lars V., 1979 , str. 6-10.
19. ↑ Sveshnikov A. G., Tichonov A. N., 1967 , s. 14-15.
20. ↑ 1 2 Algebra a matematická analýza, 1998 , s. 183-1851.
21. ↑ 1 2 3 4 Ahlfors Lars V., 1979 , str. 15-16.
22. ↑ Solomentsev E. D., 1988 , s. 7.
23. ↑ Weisstein, Eric W. nth Root  na webu Wolfram MathWorld .
24. ↑ Ahlfors Lars V., 1979 , s. 3-4.
25. ↑ 1 2 3 Cline Morris. Matematika. Ztráta jistoty. - M .: Mir, 1984. - S. 138-139.
26. ↑ 1 2 Stillwell D. Matematika a její historie. - Moskva-Iževsk: Institut počítačového výzkumu, 2004. - S. 258-266. — 530 str.
27. ↑ Dějiny matematiky, svazek III, 1972 , str. 57-61.
28. ↑ Juškevič A.P. Leonard Euler. Život a dílo // Vývoj myšlenek Leonarda Eulera a moderní vědy. So. články. — M .: Nauka, 1988. — ISBN 5-02-000002-7 .  - S. 15-47.
29. ↑ Sharp O. Teorie funkcí komplexní proměnné . Staženo: 30. listopadu 2017. (neurčitý)
30. ↑ René Descartes. Geometrie. S přílohou vybraných děl P. Fermata a Descartovy korespondence. - M. - L .: Gostekhizdat , 1938. - S. 233. - 297 s. - (Klasika přírodních věd).
31. ↑ Glazer G.I. Historie matematiky ve škole. třídy IX-X. - M . : Vzdělávání, 1983. - S. 193. - 351 s.
32. ↑ 1 2 3 4 Smirnov V.I., 2010 , str. 7-15.
33. ↑ Bronstein, Semenďajev, 1985 , s. 360.
34. ↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 15-22.
35. ↑ Sveshnikov A. G., Tichonov A. N., 1967 , s. 44.
36. ↑ 1 2 Zaslavsky A. A. Geometrické transformace. - 2. vyd. - M. : MTSNMO, 2004. - S. 58. - 86 s. — ISBN 5-94057-094-1 .
37. ↑ 1 2 Evgrafov M. A., 1968 , s. 180-186.
38. ↑ MAXimal :: algo :: Geometrická inverzní transformace . e-maxx.ru . Získáno 9. května 2021. Archivováno z originálu dne 7. května 2021. (neurčitý)
39. ↑ E. A. Morozov, „Zobecněný Apolloniův problém“, Matem. osvícení, ser. 3, 23, Izd. MTSNMO, M., 2019, 80–111 . www.mathnet.ru _ Získáno 9. května 2021. Archivováno z originálu dne 9. května 2021. (neurčitý)
40. ↑ Privalov I.I., 1984 , str. 43.
41. ↑ Solomentsev E. D., 1988 , s. deset.
42. ↑ 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979 , s. 17-18.
43. ↑ Solomentsev E. D., 1988 , s. 12.
44. ↑ Numerické soustavy, 1975 , s. 165.
45. ↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1951 , s. 249-251.
46. ↑ Numerické soustavy, 1975 , s. 167.
47. ↑ Topologické pole // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M . : Sovětská encyklopedie , 1985. - T. 5. - S. 386.
48. ↑ Komplexní čísla. 9.–11. ročník, 2012 , kapitola 5.
49. ↑ Reálné aplikace imaginárních čísel, 1988 , str. 78.
50. ↑ Reálné aplikace imaginárních čísel, 1988 , str. 114-124.
51. ↑ Derbyshire, John. Jednoduchá posedlost. Bernhard Riemann a největší nevyřešený problém v matematice. - Astrel, 2010. - 464 s. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
52. ↑ Privalov I.I., 1984 , str. čtrnáct.
53. ↑ Filippov A. F. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. - Editorial URSS, 2004. - 240 s. — ISBN 5354004160 .
54. ↑ Diferenční rovnice // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M .: Sovětská encyklopedie , 1984. - T. 4. - S. 838.
55. ↑ Sveshnikov A. G., Tichonov A. N., 1967 , kapitola 5.
56. ↑ Sveshnikov A. G., Tichonov A. N., 1967 , kapitola 8.
57. ↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 22-25.
58. ↑ Markushevich A.I. Komplexní čísla a konformní zobrazení . - M .: Gostekhizdat, 1954. - 52 s. - (Populární přednášky z matematiky, číslo 13).
59. ↑ Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li. Matematická analýza v kartografii pomocí systému počítačové algebry . Získáno 28. ledna 2018. Archivováno z originálu 29. ledna 2018. (neurčitý)
60. ↑ Lavrentiev M. A., Shabat B. V. Problémy hydrodynamiky a jejich matematické modely. — M .: Nauka, 1973.
61. ↑ 1 2 Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). - 6. vydání, přepracované. — M.: Fizmatlit, 2004. — 800 s. - ("Teoretická fyzika", svazek III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
62. ↑ Reálné aplikace imaginárních čísel, 1988 , str. 132-144.
63. ↑ Molchanov A.P., Zanadvorov P.N. Kurz elektrotechniky a radiotechniky, kapitola "Lineární obvody". - BH V. - 608 s. - ISBN 978-5-9775-0544-4 .
64. ↑ Afonsky A. A., Dyakonov V. P. Digital Spectrum, Signal and Logic Analyzers / Ed. prof. V. P. Dyakonova. - M. : SOLON-Press, 2009. - S.  248 . - ISBN 978-5-913-59049-7 .
65. ↑ Numerické soustavy, 1975 , s. 164-165.
66. ↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1951 , s. 227-233.
67. ↑ Numerické soustavy, 1975 , s. 166.
68. ↑ Reálná a komplexní čísla . Staženo 13. února 2018. Archivováno z originálu 6. února 2021. (neurčitý)
69. ↑ 1 2 3 Číselné soustavy, 1975 , str. 167-168.
70. ↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1951 , s. 230-233.
71. ↑ John Stillwell. Čtyři pilíře geometrie . — Springer Science & Business Media, 2005-12-30. - S. 84-86. — 240 s. — ISBN 9780387290522 .
72. ↑ 1 2 Faddeev D. K. Přednášky o algebře. - M. : Nauka, 1984. - S. 200-201. — 416 s.
73. ↑ F. Brackx, R. Delanghe, H. Serras. Cliffordské algebry a jejich aplikace v matematické fyzice: Sborník z třetí konference konané v Deinze, Belgie, 1993 . — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. - S. 33. - 405 s. — ISBN 9789401120067 .
74. ↑ David Marker. Teorie modelu: Úvod, ISBN 978-0-387-22734-4 . Návrh 2.2.5. Springer Science & Business Media, 2002. Viz také některá vysvětlení Archivováno 14. května 2018 na Wayback Machine .
75. ↑ William Weiss a Cherie D'Mello. Základy teorie modelů Archivováno 13. dubna 2018 na Wayback Machine . Lemma 7: Libovolná dvě algebraicky uzavřená tělesa charakteristiky 0 a mohutnosti jsou izomorfní a za nimi je komentář.
76. ↑ 1 2 p-adické číslo // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M . : Sovětská encyklopedie , 1977. - V. 1. - S. 100. : " Toto rozšíření je doplněním oboru racionálních čísel s ohledem na nearchimedovské oceňování... Pole je lokálně kompaktní ."
77. ↑ 1 2 Dickson, L. E. (1919), O kvaternionech a jejich zobecnění a historii věty o osmi čtvercích , Annals of Mathematics , Second Series (Annals of Mathematics) . — T. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1967865 

Literatura

• Balk M. B. , Balk G. D., Polukhin A. A. Reálné aplikace imaginárních čísel. - Kyjev: Radianska škola, 1988. - 255 s. — ISBN 5-330-00379-2 .
• Bronshtein IN , Semendyaev KA Příručka matematiky pro inženýry a studenty středních škol . - ed. 13. - M. : Nauka, 1985. - 544 s.
• Bourbaki, N. Eseje o historii matematiky. - M. , 1963.
• Vilenkin N. Ya. , Ivashov-Musatov O.S. , Shvartsburd S.I. Algebra a matematická analýza pro ročník 11. Tutorial. - Ed. 6. - M . : Vzdělávání, 1998. - 288 s. — ISBN 5-09-008036-4 .
• Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky. - M. : AST, 2006. - 509 s. — ISBN 5-17-009554-6 .
• Glazkov Yu. A., Varshavsky I. K., Gaiashvili M. Ya. Komplexní čísla. 9-11 tříd. - M . : Zkouška, 2012. - 157 s. - ISBN 978-5-377-03467-4 .
• Evgrafov M. A. Analytické funkce. - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové — M .: Nauka , 1968. — 472 s.
• Kirillov A. A. Co je to číslo?. - M. , 1993. - 80 s. — ISBN 5-02-014942-3 .
• Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metody teorie funkcí komplexní proměnné. - 4. vyd. — M .: Nauka , 1972 .
• Matematika 18. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
• Nechaev V. I. Numerické soustavy. - M . : Vzdělávání, 1975. - 199 s.
• Privalov II Úvod do teorie funkcí komplexní proměnné. - 13. vyd. - M. : Fizmatlit, 1984. - 432 s.
• Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné. — M .: Nauka, 1967. — 304 s.
• Smirnov V. I. Kurz vyšší matematiky ve třech svazcích. - Ed. 10. - Petrohrad. : BHV-Petersburg, 2010. - V. 3, část 2. — 816 s. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
• Solomentsev ED Funkce komplexní proměnné a jejich aplikace. - M . : Vyšší škola, 1988. - 167 s. — ISBN 5-06-003145-6 .
• Encyklopedie elementární matematiky (v 5 svazcích). - M. : Fizmatgiz, 1951. - T. 1. - S. 160-168. — 448 s.
• Ahlfors Lars V. Komplexní analýza. Úvod do teorie analytických funkcí jedné komplexní proměnné. - Třetí edice. - Harvardská univerzita: McGraw-Hill Book Company, 1979. - 317 s. — ISBN 0-07-000657-1 .

Odkazy

• Glazer G. Komplexní čísla (1. část ze 2) . Časopis "Matematika". - č. 10 (2001). Datum přístupu: 18. dubna 2017. (neurčitý)
  • (část 2 ze 2) , "Matematika" č. 11 (2001).
• Pontryagin L. Komplexní čísla  // Kvant . - 1982. - č. 3 .
• Vzorcová kalkulačka komplexních čísel pod Windows . Datum přístupu: 17. ledna 2018. (neurčitý)
• Etienne Gis , Jos Leys, Orellan Alvarez. Rozměry filmu. Kapitola5 a6: Komplexní čísla. (Ruština)

Numerické soustavy
Počitatelné sady	Přirozená čísla  ( ) celá čísla ( ) racionální ( ) algebraické ( ) Období Vypočitatelný Aritmetický
Reálná čísla a jejich rozšíření	Skutečné ( ) Komplexní ( ) čtveřice ( ) Cayleyova čísla (oktávy, osminky) ( ) sedenions ( ) Alternions Dvojí Hyperkomplex Superreálné Hypermateriál nadreálný
Nástroje pro numerické rozšíření	Cayley-Dixonův postup Frobeniova věta Hurwitzova věta
Jiné číselné soustavy	kardinální čísla Řadové číslovky (překonané, řadové) p-adic Nadpřirozená čísla intervalová čísla
viz také	dvojitá čísla Iracionální čísla transcendentální čísla číselný paprsek Biquaternion

Algebra nad prstenem
Dimenze – mocnina 2	Komplexní čísla (velikost 2) Čtveřice (velikost 4) Cayley Numbers / Octonions / Oktávy (velikost 8) Sedenions (velikost 16)
viz také	Frobeniova věta Hyperkomplexní číslo Algebra Tělo pomyslná jednotka