Riemann zeta funkce

Riemannova zeta funkce je funkcí komplexní proměnné at , definované pomocí Dirichletovy řady : $\displaystyle \zeta (s)$ $s=\sigma +it$ $\sigma >1$

\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s }}}+\ldots .

V komplexní polorovině tato řada konverguje , je analytickou funkcí a připouští analytické pokračování do celé komplexní roviny , kromě singulárního bodu . ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} s>1\))$ $s$ $s=1$

Riemannova zeta funkce hraje velmi důležitou roli v analytické teorii čísel , má aplikace v teoretické fyzice , statistice a teorii pravděpodobnosti .

Zejména, pokud není dosud prokázána ani vyvrácena ani dokázaná, ani vyvrácená Riemannova hypotéza o poloze všech netriviálních nul funkce zeta na rovině přímého komplexního komplexu , pak mnoho důležitých vět o prvočíslech založených na Riemannově hypotéze v důkaz se stane buď pravdivým, nebo nepravdivým. $\operatorname {Re} s=1/2$

Eulerova identita

Reprezentace jako nekonečný součin je platná i v doméně ( Eulerova identita ) $\{s\mid \operatorname {Re} s>1\}$

\zeta (s)=\prod _{{\text{číslo }}p \atop {\text{simple}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.

Důkaz

Myšlenka důkazu využívá pouze jednoduchou algebru, dostupnou pilnému školákovi. Euler původně odvodil vzorec tímto způsobem. Existuje vlastnost síta Eratosthenes, ze které můžeme těžit:

\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^ {s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\ldots

{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s} ))+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}+\ldots

Odečtením druhého od prvního odstraníme všechny prvky s dělitelem 2:

\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\ frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{ 11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\ldots

Opakujte pro následující:

{\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1 }{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{ s))}+{\frac {1}{27^{s}}}+{\frac {1}{33^{s}}}+\ldots

Odečtěte znovu, dostaneme:

\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta ( s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+ {\frac {1}{13^{s}}}+{\frac {1}{17^{s}}}+\ldots ,

kde jsou odstraněny všechny prvky s děliteli 2 a/nebo 3.

Jak vidíte, pravá strana se prosívá přes síto. Opakováním donekonečna dostáváme:

\ldots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\ left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\ frac {1}{2^{s}}}\vpravo)\zeta (s)=1.

Obě strany vydělíme vším kromě , dostaneme: $\zeta (s)$

\zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\dfrac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\dfrac {1}{ 3^{s}}}\right)\left(1-{\dfrac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\dfrac {1}{7^{s}} }\right)\left(1-{\dfrac {1}{11^{s}}}\right)\ldots }}),

který lze napsat kratší jako nekonečný součin přes všechna prvočísla p :

\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s))}.

Aby byl důkaz rigorózní, je pouze nutné požadovat, aby se prosetá pravá strana přiblížila k 1, což okamžitě vyplývá z konvergence Dirichletovy řady pro . $\operatorname {Re} s>1$ $\zeta (s)$

Tato rovnost je jednou z hlavních vlastností zeta funkce.

Vlastnosti

Vezmeme-li asymptotický rozvoj pro dílčí součty tvaru ${N\rightarrow +\infty }$ $\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s)+{\frac {1}{1-s}} N^{1-s}+{\frac {1}{2}}N^{-s}-{\frac {1}{12}}sN^{-1-s}+\tečky$ ,

platné pro , zůstane také pravdivé pro všechny , kromě těch, pro které (toto jsou triviální kořeny funkce zeta ). Z toho lze získat následující vzorce pro : ${\rm {Re}}\,s>1$ $s$ $2-s\in {\mathbb {N} }$ $\zeta (s)$

$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}\right)$ , v , kromě ; ${\rm {Re}}\,s>0$ $s=1$
$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}\right)$ , s , kromě nebo ; ${\rm {Re}}\,s>-1$ $s=1$ $0$
$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}+{\frac {1}{12}} sN^{-1-s}\right)$ , s , kromě , nebo atd. ${\rm {Re}}\,s>-2$ $s=1$ $0$ $-jeden$

Existují explicitní vzorce pro hodnoty funkce zeta v sudých celých bodech: $\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}B_{2m}$ , kde je Bernoulliho číslo . $\displaystyle B_{{2m}}$

Zejména ( inverzní čtvercová řada ),

\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}

\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90)),\ \ \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945)),\ \ \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450)),\ \ \zeta (10)={\frac {\pi ^{10}}{93555}}

Navíc hodnota , kde je funkce polygama ; $\zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2))$ $\psi$
O hodnotách funkce zeta v lichých celých bodech se ví jen málo: předpokládá se, že jsou iracionální a dokonce transcendentální , ale zatím (2019) byla prokázána pouze iracionalita čísla ζ(3) ( Roger Apéry , 1978), a také, že mezi hodnotami ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) je ještě alespoň jedna iracionální [1] .
V $\operatorname {Re} \,s>1$
- ${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$ , kde je Möbiova funkce $\displaystyle \mu(n)$
- ${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s }}}$ , kde je funkce Liouville $\displaystyle \lambda (n)$
- $\zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s))}$ , kde je počet dělitelů čísla $\displaystyle \tau (n)$ $\displaystyle n$
- ${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^ {s}}}$
- ${\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n )}}{n^{s}}}$ , kde je počet prvočíselných dělitelů čísla $\displaystyle \nu(n)$ $\displaystyle n$
- ${\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n^{2 })}{n^{s}}}$
- ${\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\tau (n)) ^{2}}{n^{s}}}$
V $\operatorname {Re} \,s>2$
- ${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^ {s}}}$ , kde je Eulerova funkce $\displaystyle \varphi (n)$
$\displaystyle \zeta (s)$ má v bodě jednoduchý pól se zbytkem rovným 1. $\displaystyle s=1$
Funkce zeta v splňuje rovnici: $\displaystyle s\neq 0,s\neq 1$ $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$ ,

kde je Eulerova gama funkce . Tato rovnice se nazývá Riemannova funkcionální rovnice , ačkoli tato rovnice není ani jejím autorem, ani tím, kdo ji jako první rigorózně dokázal [2] .

\displaystyle \gamma (z)

Pro funkci $\xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s/2}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\ zeta(y)$ ,

Zavedená Riemannem pro výzkum a nazvaná Riemannova x-funkce má tato rovnice tvar:

\displaystyle \zeta (s)

\displaystyle \ \xi (s)=\xi (1-s)

Nuly funkce zeta

Jak vyplývá z Riemannovy funkcionální rovnice, v polorovině má funkce pouze jednoduché nuly v záporných sudých bodech: . Tyto nuly se nazývají "triviální" nuly funkce zeta. Dále doopravdy . Proto všechny "netriviální" nuly funkce zeta jsou komplexní čísla. Kromě toho mají vlastnost symetrie vzhledem k reálné ose a vzhledem k vertikále a leží v pásmu zvaném kritické pásmo . Podle Riemannovy hypotézy jsou všichni na kritické linii . $\operatorname {Re} \,s<0$ $\zeta (s)$ $0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\tečky$ $\zeta (s)\neq 0$ $s\in(0,1)$ $\operatorname {Re} \,s={\frac {1}{2}}$ $0\leqslant \operatorname {Re} \,s\leqslant 1$ $\operatorname {Re} \,s={\frac {1}{2}}$

Konkrétní reprezentace hodnot

ζ(2)

Ze vzorce , kde je Bernoulliho číslo , získáme, že . $2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}$ $\displaystyle B_{{2m}}$ $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Další zobrazení řádků

Níže jsou uvedeny další řady, jejichž součet je [3] : $\zeta (2)$

{\begin{aligned}\zeta (2)&=3\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}{\binom {2k}{k }}}}\\\end{aligned}}}

{\begin{aligned}\zeta (2)&=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(i-1) )!(j-1)!}{(i+j)!}}\end{aligned}}

Existují také reprezentace tvaru Bailey-Borwain-Pluffova vzorce , které umožňují v některých číselných soustavách vypočítat t. znaménko jeho záznamu bez výpočtu předchozích [3] : $\zeta (2)$ $k$

{\begin{aligned}\zeta (2)={\frac {27}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{64^{k} }}\left[{\frac {16}{(6k+1)^{2}}}-{\frac {24}{(6k+2)^{2}}}-{\frac {8}{ (6k+3)^{2))}-{\frac {6}{(6k+4)^{2))}+{\frac {1}{(6k+5)^{2))}\ vpravo]\end{aligned}}

{\begin{aligned}\zeta (2)={\frac {4}{9}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{729^{k} }}\left[{\frac {243}{(12k+1)^{2}}}-{\frac {405}{(12k+2)^{2}}}-{\frac {81}{ (12k+4)^{4))}-{\frac {27}{(12k+5)^{2))}-\vpravo.\\-\doleva.{\frac {72}{(12k+ 6 )^{2))}-{\frac {9}{(12k+7)^{2))}-{\frac {9}{(12k+8)^{2))}-{\frac { 5}{(12k+10)^{2}}}+{\frac {1}{(12k+11)^{2}}}\right]\end{aligned}}

Integrální reprezentace

Níže jsou uvedeny vzorce pro zahrnutí integrálů získaných pomocí Riemannovy zeta funkce [4] [5] [6] : $\zeta (2)$

{\begin{aligned}\zeta (2)&=-\int _{0}^{1}{\frac {\log x}{1-x}}\,dx\\[6pt]& =\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{1}{\ frac {(\log x)^{2}}{(1+x)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=2+2\int _{1}^{\infty }{\ frac {\lfloor x\rfloor -x}{x^{3}}}\,dx\\[6pt]&=\exp \left(2\int _{2}^{\infty }{\frac {\ pi (x)}{x(x^{2}-1)}}\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }{\frac {dx\,dy}{1-xy}}\\[6pt]&={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\int _{0}^ {1}{\frac {dx\,dy}{1-(xy)^{2}}\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }{\frac {1-x}{1-xy}}\,dx\,dy+{\frac {2}{3}}.\end{aligned}}

Pokračovací zlomky

Některé reprezentace pokračovacího zlomku byly získány ve spojení s podobnými reprezentacemi pro Apéryho konstantu, což umožňuje dokázat její iracionalitu. $\zeta (2)$ $\zeta (3)$

\zeta (2)={\cfrac {2}{1+{\cfrac {1^{4}}{3+{\cfrac {2^{4}}{5+{\cfrac {3^ {4}}{7+{\cfrac {\tečky }{\tečky +{\cfrac {n^{4}}{(2n-1)+\tečky }})))))))))))) ))))

[7]

\zeta (2)=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2 ^{2}}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^ {2}}{1+{\cfrac {n\cdot (n+1)}{1+\tečky }}}}}}}}}}}}}}}}}}

[7]

\zeta (2)={\cfrac {5}{3+{\cfrac {1^{4}}{25+{\cfrac {2^{4}}{69+{\cfrac {3^ {4}}{135+{\cfrac {\dots }{\tečky +{\cfrac {n^{4}}{(11n^{2}-11n+3)+\tečky }}}}}}} }}}}}

[osm]

\zeta (2)={\frac {5}{3}}+{\cfrac {1}{25+{\cfrac {1^{4}}{69+{\cfrac {2^{4 }}{135+{\cfrac {3^{4}}{223+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{4}}{(11n^{2}+11n+3 )+\tečky }}}}}}}}}}}}}

[9]

ζ(3)

Jedna z nejkratších reprezentací je , dostaneme to , kde je funkce polygama . $\zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2))$ $\zeta (3)\cca 1,2020569031595942853997381615114499907649862923404988817922715553...$ $\psi$

Pokračovací zlomky

Pokračující zlomek pro Apéryho konstantu (sekvence A013631 v OEIS ) je následující:

\zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7, 11,1,1,1,\cdots ]=

=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots )))))) }}\;

První zobecněný spojitý zlomek pro Apéryho konstantu, který má pravidelnost, objevili nezávisle Stieltjes a Ramanujan :

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac { 2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\ cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\dots }}}}}}}} }}}}}}}}}}}}}

Dá se převést na:

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac { 3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\tečky }{\tečky +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3} +3n^{2}+11n+5)+\tečky }}}}}}}}}}}}}}}}

Aperi dokázal urychlit konvergenci pokračujícího zlomku pro konstantu:

\zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac { 3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\tečky }{\tečky +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3} +51n^{2}+27n+5)+\tečky }}}}}}}}}}}}}}

[10] [9]

ζ(4)

Ze vzorce , kde je Bernoulliho číslo , získáme, že . $2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}$ $\displaystyle B_{{2m}}$ $\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

ζ(5)

Jedna z nejkratších reprezentací je , dostaneme to , kde je funkce polygama . $\zeta (5)=-{\frac {\psi ^{(4)}(1)}{24))$ $\zeta (5)\cca 1,0369277551433699263313654864570341680570809195019128119741926779...$ $\psi$

Zobecnění

S Riemannovou zeta funkcí je spojeno poměrně velké množství speciálních funkcí, které jsou spojeny společným názvem zeta funkce a jsou jejími zobecněními. Například:

Funkce Hurwitz zeta : $\zeta (s,q)=\součet _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s},$

která se shoduje s Riemannovou zeta funkcí pro q = 1 (protože sčítání začíná od 0, nikoli od 1).

Polylogaritmus : $\mathrm {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},$

což je stejné jako Riemannova zeta funkce při z = 1.

Funkce Lerch zeta : $\Phi (z,s,q)=\součet _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}},$

která se shoduje s Riemannovou zeta funkcí v z = 1 a q = 1 (protože součet je od 0, ne od 1).

Kvantový analog ( q -analog).

Podobné konstrukce

V teorii Gaussových dráhových integrálů vyvstává problém regularizace determinantů . Jedním z přístupů k jeho řešení je zavedení zeta funkce operátoru [11] . Dovolit být non-záporně definovaný self-adjoint operátor , který má čistě diskrétní spektrum . Navíc existuje reálné číslo , takže operátor má stopu . Potom je zeta funkce operátoru definována pro libovolné komplexní číslo ležící v polorovině a může být dána konvergentní řadou $A$ $\mathrm {spec} A=\mathrm {diag} \{\lambda _{1},\lambda _{2},\tečky \}$ $\alpha >0$ $(I+A)^{-\alpha }$ $\zeta _{A}(y)$ $A$ $s$ $\mathrm {Re} s>\alpha$

\zeta _{A}(s)=\sum _{\lambda _{n}\neq 0}{\frac {1}{\lambda _{n}^{s))}

Pokud takto definovaná funkce připouští analytické pokračování do definičního oboru obsahujícího nějaké okolí bodu , pak lze na jeho základě určit regularizovaný determinant operátoru podle vzorce $s=0$ $A$

\det \,'A=e^{-{\frac {d\zeta _{A}}{ds}}(0)}.

Historie

Jako funkci reálné proměnné zavedl zeta funkci v roce 1737 Euler , který naznačil její rozklad na součin. Poté se touto funkcí zabýval Dirichlet a zvláště úspěšně Čebyšev při studiu zákona o rozdělení prvočísel. Nejhlubší vlastnosti funkce zeta však byly objeveny později, po práci Riemanna (1859), kde byla funkce zeta považována za funkci komplexní proměnné.

Viz také

Seznam všech funkcí zeta

Poznámky

↑ Zudilin V. V. O iracionalitě hodnot funkce zeta v lichých bodech // Uspekhi Mat . - 2001. - T. 56 , č. 2 (338) . — S. 215–216 .
↑ Blagushin Ya. V. Historie funkční rovnice funkce zeta a úloha různých matematiků při jejím dokazování // Semináře o historii matematiky St. V. A. Steklov RAS. — 2018.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Funkce \zeta(2) . Mathworld . Získáno 29. dubna 2018. Archivováno z originálu dne 29. dubna 2018. (neurčitý)
↑ Connon DF, Některé řady a integrály včetně Riemannovy Zeta funkce, binomické koeficienty a harmonická čísla (část I), arΧiv : 0710.4022 .
↑ Weisstein, Eric W. Dvojitý integrál . Mathworld . Získáno 29. dubna 2018. Archivováno z originálu dne 29. dubna 2018. (neurčitý)
↑ Weisstein, Formule Erica W. Hadjicostase . Mathworld . Získáno 29. dubna 2018. Archivováno z originálu dne 29. dubna 2018. (neurčitý)
↑ 12 Steven R. Finch Matematické konstanty 1.4.4 . Získáno 10. srpna 2020. Archivováno z originálu dne 28. listopadu 2020. (neurčitý)
↑ Pokračující zlomky pro Zeta(2) a Zeta(3) . tpiezas: SBÍRKA ALGEBRAICKÝCH IDENTIT . Získáno 29. dubna 2018. Archivováno z originálu dne 29. dubna 2018. (neurčitý)
↑ 1 2 van der Poorten, Alfred (1979), Důkaz, že Euler minul... Apéryho důkaz iracionality ζ (3) , The Mathematical Intelligencer vol . 1 (4): 195–203, doi : 10.10028223443 , < https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf >
↑ Steven R. Finch Matematické konstanty 1.6.6 . Získáno 10. srpna 2020. Archivováno z originálu dne 28. listopadu 2020. (neurčitý)
↑ Takhtajyan, 2011 , str. 348.

Literatura

Derbyshire J. Jednoduchá posedlost. Bernhard Riemann a největší nevyřešený problém v matematice. — M.: Astrel, 2010. — 464 s. — ISBN 978-5-271-25422-2 . .
Takhtadzhyan L. A. Kvantová mechanika pro matematiky / Z angličtiny přeložil Ph.D. S. A. Slavnov . - Ed. 2. - M. -Iževsk: Výzkumné centrum "Regulární a chaotická dynamika", Iževský institut počítačového výzkumu, 2011. - 496 s. - ISBN 978-5-93972-900-0 .
Yanke E., Emde F., Losh F. Speciální funkce: vzorce, grafy, tabulky / Per. ze 6. přepracovaného německého vydání, ed. L. I. Sedová. - Ed. 3. stereotyp. — M .: Nauka, 1977. — 344 s.

Odkazy

Jonathan Sondow a Eric W. Weisstein. Riemann Zeta Function (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .