Pokračující zlomek

Pokračovací zlomek (nebo pokračování zlomek ) je konečný nebo nekonečný matematický výraz formy

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1 }{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots )))))),

kde je celé číslo a všechny ostatní jsou přirozená čísla (kladná celá čísla) [1] . V tomto případě se čísla nazývají neúplné kvocienty nebo prvky spojitého zlomku [2] . $a_{0}$ $a_n$ $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\tečky$

Jakékoli reálné číslo může být reprezentováno jako pokračující zlomek (konečný nebo nekonečný). Číslo je reprezentováno jako konečný zlomek právě tehdy, když je racionální .

Hlavním (ale v žádném případě ne jediným) účelem pokračování zlomků je, že umožňují najít dobré aproximace reálných čísel ve formě obyčejných zlomků. Pokračující zlomky jsou široce používány v teorii čísel a výpočetní matematice a jejich zobecnění se ukázala jako extrémně užitečná v počtu a jiných odvětvích matematiky. Používají se také ve fyzice, nebeské mechanice , strojírenství a dalších aplikovaných oblastech činnosti.

Pokračující expanze frakce

Jakékoli reálné číslo může být reprezentováno (konečným nebo nekonečným, periodickým nebo neperiodickým) spojitým zlomkem , kde $X$ $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

a_{0}=\lpatro x\rpatro ,\quad x_{0}=x-a_{0},

a_{1}=\left\lpatro {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,\quad x_{1}={\frac {1}{x_{0}}} -a_{1},

\tečky

a_{n}=\left\lpatro {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,\quad x_{n}={\frac {1}{x_{n- 1}}}-a_{n},

\tečky

kde označuje celočíselnou část čísla . $\lpatro x\rpatro$ $X$

Pro racionální číslo tento rozvoj končí, když u některých dosáhne nuly . V tomto případě je reprezentován konečným zlomkem . Účinným algoritmem pro převod běžného zlomku na pokračující zlomek je Euklidův algoritmus . Reprezentace pokračovacího zlomku racionálního čísla je nejednoznačná: jestliže zde uvedený algoritmus produkuje pokračovací zlomek , pak pokračovací zlomek odpovídá stejnému číslu. $X$ $x_{n}$ $n$ $X$ $x=[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ $[\dots ,a_{n}]$ $[\dots ,a_{n}-1,1]$

Pro iracionální budou všechny veličiny nenulové a proces expanze může pokračovat donekonečna. V tomto případě je reprezentován nekonečným zlomkem . Pokud se posloupnost skládá z nekonečně se opakující množiny stejných čísel (tečky), pak se pokračující zlomek nazývá periodický. Číslo je reprezentováno nekonečným periodickým pokračováním zlomku právě tehdy, když se jedná o kvadratickou iracionalitu , tedy iracionální kořen kvadratické rovnice s celočíselnými koeficienty. $X$ $x_{n}$ $X$ $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

Vhodné zlomky

N-tý („n-tý“) vhodný zlomek pro pokračování se nazývá konečný zlomek , jehož hodnota je nějaké racionální číslo . Vhodné zlomky se sudými čísly tvoří rostoucí posloupnost, jejíž limita je . Podobně liché konvergenty tvoří sestupnou posloupnost, jejíž limita je rovněž rovna . Hodnota spojitého zlomku je tedy vždy mezi hodnotami sousedních konvergentů. $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ $[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ $p_{n}/q_{n}$ $X$ $X$

Euler odvodil rekurzivní vzorce pro výpočet čitatelů a jmenovatelů konvergentů:

p_{{-1}}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{{n-1}}+p_{{n-2}} ;

q_{{-1}}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{{n-1}}+q_{{n-2}}.

Tedy množství a jsou polynomy v , nazývané kontinuanty : $p_n$ $q_{n}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\tečky ,a_{n))$

p_{n}=K_{n+1}(a_{0},a_{1},\tečky ,a_{n}),

q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\tečky ,a_{n}).

Posloupnosti čitatelů i jmenovatelů konvergentů se striktně zvyšují. $\{p_{n}\}$ $\{q_{n}\}$

Čitatele a jmenovatele sousedních konvergentů souvisí vztahem

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}.

(jeden)

Vhodné zlomky, jak je z tohoto vztahu patrné, jsou vždy neredukovatelné . Přepišme vztah do tvaru

{\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}={\frac {(-1) ^{{n-1}}}{q_{{n-1}}q_{n}}}.

Z toho vyplývá [3]

\left|x-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}\right|<{\frac {1}{q_{{n-1}}q_{ n}}}<{\frac {1}{q_{{n-1}}^{2}}}.

Aproximace reálných čísel racionálními čísly

Pokračující zlomky umožňují efektivně najít dobré racionální aproximace reálných čísel. Totiž, pokud je reálné číslo rozšířeno na pokračující zlomek, pak jeho konvergenty vyhoví nerovnosti $X$

\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.

Důsledky [4] :

Vhodný zlomek je nejlepší aproximací původního čísla ze všech zlomků, jejichž jmenovatel nepřesahuje $p_{n}/q_{n}$ $q_{n}.$
Míra iracionality jakéhokoli iracionálního čísla je alespoň 2.

Příklady

Rozšiřme číslo na pokračující zlomek a vypočítejme jeho konvergenty: $\pi =3{,}14159265\tečky$

3,\ {\frac {22}{7)),\ {\frac {333}{106)),\ {\frac {355}{113)),\ {\frac {103993}{33102 }},\ \tečky

Druhým konvergentem je známá Archimédova aproximace. Čtvrtá vhodná frakce byla poprvé získána ve staré Číně . $22/7$ $355/113$

Vlastnosti zlatého řezu

Následuje rozklad zlatého řezu :

\Phi =[1;1,1,1,\tečky ].

Zajímavým výsledkem, který vyplývá z toho, že výraz pro pokračování zlomku pro nepoužívá čísla větší než 1, je, že jde o jedno z „nejšpatněji“ aproximujících čísel . Přesněji řečeno, Hurwitzova věta [5] říká, že jakékoli reálné číslo lze aproximovat zlomkem tak, že $\Phi$ $\Phi$ $r$ $m/n$

\left|r-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{n^{2}{\sqrt {5}}}}.

Ačkoli prakticky všechna reálná čísla mají nekonečně mnoho aproximací , které jsou mnohem menší než tato horní hranice, aproximace pro (tj. čísla 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 atd.) v limitu, dosáhnout této hranice [6] , udržovat vzdálenost téměř přesně od , čímž nikdy nevytvoří tak dobré aproximace jako například 355/113 pro π. Lze ukázat, že jakékoli reálné číslo ve tvaru má tuto vlastnost , kde a jsou celá čísla a ; a také že všechna ostatní reálná čísla lze aproximovat mnohem lépe. $r$ $m/n$ $r$ $\Phi$ $1/(n^{2}{\sqrt {5)))$ $\Phi$ $(a+b\Phi )/(c+d\Phi )$ $a,b,c$ $d$ $ad-bc=\pm 1$

Vlastnosti a příklady

Jakékoli racionální číslo může být reprezentováno jako konečný zlomek dvěma způsoby, například: $9/4=[2;3,1]=[2;4].$
Lagrangeův teorém : Číslo je reprezentováno jako nekonečný periodický pokračující zlomek právě tehdy, když je iracionálním řešením kvadratické rovnice s celočíselnými koeficienty.

Například:

{\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots ],

{\sqrt {42}}=[6;2,12,2,12,2,12\tečky],

Zlatý řez

\Phi =[1;1,1,1,\tečky ].

Gauss-Kuzminův teorém : pro téměř všechna (kromě množiny nulové míry) reálná čísla se rozložení prvků jejich odpovídajících spojitých zlomků řídí Gauss-Kuzminovou statistikou ; konkrétně existuje geometrický průměr všech prvků a rovná se Khinchinově konstantě .
Marshall Hallův teorém . Pokud při expanzi číslana pokračující zlomek, počínaje druhým prvkem, nejsou žádná velká čísla, pak říkají, že číslopatří do třídy. Jakékoli reálné číslo může být reprezentováno jako součet dvou čísel ze třídya jako součin dvou čísel ze třídy [7] Dále bylo ukázáno, že jakékoli reálné číslo může být reprezentováno jako součet tří čísel ze třídya jako součet čtyř čísel ze třídy. Počet požadovaných členů v této větě nelze snížit - k reprezentaci některých čísel tímto způsobem nestačí méně členů [8] [9] . $X$ $n$ $X$ $F(n)$ $F(4)$ $F(4).$ $F(3)$ $F(2)$

Otevřené problémy

Byly učiněny pokusy najít vzory v expanzích kontinuálního zlomku kubických iracionalit [10] , jakož i jiných algebraických čísel stupně většího než 2 a transcendentálních čísel [11] . Pro některá transcendentální čísla lze nalézt jednoduchý vzorec. Například základ přirozeného logaritmu může být reprezentován jako [12]

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots ,1,1,2n-2,1,1,2n,\ldots ] ,

a tangens úhlu 1 radián je ve tvaru [13]

\operatorname {tg} 1=[1;1,1,3,1,5,1,7,\ldots ,1,2n+1,1,2n+3,\ldots ].

Číslo jednoduchého vzoru není vidět [14] : $\pi$

\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\tečky ]

Nicméně pro zobecněný pokračovací zlomek (viz část Variace a zobecnění níže ) lze vysledovat jasný vzorec.

Není známo, zda neúplné dílčí rozvoje čísel jako nebo [11] [15] jsou shora ohraničené . ${\sqrt[ {3}]{2}}$ $\pi$

Aplikace spojitých zlomků

Teorie kalendáře

Při vývoji slunečního kalendáře je nutné najít racionální aproximaci pro počet dní v roce , což je 365,2421988 ... Vypočítejme vhodné zlomky pro zlomkovou část tohoto čísla:

\frac{1}{4};\ \frac{7}{29};\ \frac{8}{33};\ \frac{31}{128};\ \frac{132}{545} \cdots

První zlomek znamená, že každé 4 roky musíte přidat jeden den navíc; tento princip tvořil základ juliánského kalendáře . V tomto případě se chyba 1 den kumuluje za 128 let. Druhá hodnota (7/29) nebyla nikdy použita, protože se jen málo liší od následující, která je mnohem přesnější. Třetí zlomek (8/33), tedy 8 přestupných let za období 33 let, navrhl Omar Khayyam v 11. století a položil základy perského kalendáře , ve kterém se chyba za den hromadí po dobu 4500 let. (v gregoriánském - přes 3280 let). Velmi přesnou verzi se čtvrtým zlomkem (31/128, chyba za den se kumuluje jen za 100 000 let [16] ) prosazoval německý astronom Johann von Medler (1864), ale nevzbudil velký zájem.

Hudební teorie

V hudební teorii se při budování jednotného temperamentového systému vyžaduje, aby interval oktávy byl rozdělen na stejné části a zároveň by interval těchto částí měl být co nejblíže kvintovému intervalu . Tyto požadavky vedou k problému nalezení racionální aproximace pro . Třetí vhodný zlomek dává stejně temperovanou pentatonickou stupnici . Čtvrtý konvergent vede ke klasickému rozdělení oktávy na 12 stejných půltónů [17] . $2:1$ $n$ $m$ $3:2$ $\log _{2}1{,}5\cca 0{,}585$ $3/5$ $7/12$

Řešení srovnání prvního stupně

Vezměme si srovnání : , kde jsou známé, a můžeme předpokládat, že je coprime s . Musí být nalezen . $ax\equiv b{\pmod m}$ $a, \ b$ $A$ $m$ $X$

Pojďme to rozšířit na pokračující zlomek. Bude to konečná a poslední vhodná část . Dosaďte do vzorce (1): ${\frac {m}{a))$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {m}{a}}$

mq_{n-1}-ap_{n-1}=(-1)^{n-1}.

Z toho plyne:

ap_{n-1}\equiv (-1)^{n}{\pmod {m)),

nebo

\ a(-1)^{n}p_{n-1}\equiv 1{\pmod {m)).

Závěr: Třída reziduí je řešením původního srovnání. $x\equiv (-1)^{n}p_{{n-1}}b{\pmod m}$

Jiné aplikace

Důkaz iracionality čísel. Například pomocí spojitých zlomků byla prokázána iracionalita hodnoty Riemannovy zeta funkce ( Aperiho konstanta ) . $\zeta (3)$
Řešení v celých číslech Pellovy rovnice [18] : a další rovnice diofantické analýzy $\;x^{2}-ny^{2}=1\;$
Definice známého transcendentálního čísla (viz Liouvilleova věta )
Faktorizační algoritmy SQUFOF a CFRAC .
Charakterizace ortogonálních polynomů
Charakterizace stabilních polynomů

Variace a zobecnění

Řada zdrojů uvádí zobecněnou definici spojitého zlomku, která umožňuje čitatelům v jeho odkazech nejen 1, ale i další celá čísla ( v některých zdrojích jsou povolena i komplexní ) [1] :

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\ cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\ldots }}}}}}.

Toto zobecnění zvyšuje flexibilitu teorie, má však dvě nevýhody: rozšíření reálného čísla na pokračující zlomek se stává nejednoznačným a navíc již není zaručena existence limity konvergentů – limita může být nekonečná nebo dokonce nepřítomný.

Pro zobecněné spojité zlomky mají Eulerovy vzorce tvar [19] :

p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + b_n p_{n-2};

q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + b_n q_{n-2}.

V čem

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}b_{1}b_{2}\tečky b_{n}.

Zvláštní případ, ve kterém se vše nazývá Hirzebruchův pokračující zlomek [20] . $b_{n}=-1$

Výše bylo řečeno, že rozšíření čísla do klasického pokračování zlomku neobsahuje viditelný vzor. Pro zobecněný spojitý zlomek platí Braunkerův vzorec [21] : $\pi$

{\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+ {\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}} }}}

Další směr zobecnění spočívá v sestrojení a aplikaci aparátu spojitých zlomků nikoli pro čísla, ale pro polynomy - využívá se faktu, že dělitelnost polynomů se svými vlastnostmi blíží dělitelnosti celých čísel [22] . Libovolnou polynomickou nebo zlomkově-racionální funkci lze rozšířit na pokračující zlomek [23] :

{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}x}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}x}{a_{3}+ \ldots }}}}}}.

Příklad: získejte rozklad pro funkci : ${\displaystyle f(x)={\frac {1-x}{1-5x+6x^{2))))$

f(x)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {4x}{1-{\cfrac {2x}{-4+6x))))))).

Můžete vytvořit shodu mezi spojitými zlomky a úhly na mřížkách v rovině. V tomto ohledu existují různé varianty „vícerozměrných kontinuálních zlomků“ [24] .

Historické pozadí

Starověcí matematici byli schopni reprezentovat poměry nesouměřitelných veličin ve formě řetězce po sobě jdoucích vhodných poměrů, přičemž tento řetězec získali pomocí Euklidova algoritmu . To je zřejmě způsob, jak Archimedes získal aproximaci - toto je 12. vhodný zlomek pro nebo jedna třetina 4. vhodného zlomku pro . ${\sqrt {3}}\cca {\frac {1351}{780}}$ $\sqrt{3}$ ${\sqrt {27}}$

V 5. století použil indický matematik Aryabhata podobnou „metodu rafinace“ k řešení neurčitých rovnic prvního a druhého stupně. Pomocí stejné techniky byla pravděpodobně získána známá aproximace pro číslo (355/113). V 16. století Rafael Bombelli extrahoval druhé odmocniny pomocí pokračovacích zlomků (viz jeho algoritmus ). $\pi$

Začátek moderní teorie pokračování zlomků byl položen v 1613 Pietro Antonio Cataldi . Poznamenal jejich hlavní vlastnost (polohu mezi vhodnými zlomky) a zavedl označení připomínající to moderní. Později jeho teorii rozšířil John Vallis , který navrhl termín „pokračující zlomek“ . Ekvivalentní termín „ pokračování výstřelu “ se objevil na konci 18. století.

Tyto zlomky byly používány především pro racionální aproximaci reálných čísel; například Christian Huygens je použil k návrhu ozubených kol pro své planetárium . Už Huygens věděl, že konvergenty jsou vždy neredukovatelné a že představují nejlepší racionální aproximaci k původnímu číslu.

V 18. století dokončili teorii spojitých zlomků v obecných termínech Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange .

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Pokračovací zlomek // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1985. - T. 5.
↑ Arnold, 2000 , str. 12.
↑ Vinogradov, 1952 , s. osmnáct.
↑ Vinogradov, 1952 , s. 22, odstavec 2.
↑ Hardy, G.H.; Wright, EM Theorem 193 // Úvod do teorie čísel . — Pátý. - Oxford, 1979.
↑ Davenport, 1965 , s. 93-95.
↑ M. Hall, O součtu a součinu řetězcových zlomků, Annals of Math. 48 (1947) 966-993.
↑ B. Diviš, O součtech řetězcových zlomků, Acta Arith. 22 (1973) 157-173.
↑ TW Cusick a R.A. Lee, Součty množin spojitých zlomků, Proc. amer. Matematika. soc. 30 (1971) 241-246.
↑ Výpočty v algebře a teorii čísel, 1976 , H. M. Stark. Vysvětlení některých exotických pokračovacích zlomků nalezených Brillhartem, str. 155-156.
↑ 1 2 P. Shiu. Výpočet spojitých zlomků bez vstupních hodnot . — 1995.
↑ OEIS sekvence A003417 : pokračování expanze zlomku e .
↑ Sekvence OEIS A093178 : expanze pokračující frakce . $\operatorname{tg}\,1$
↑ Sekvence OEIS A001203 : pokračování expanze zlomku . $\pi$
↑ Sekvence OEIS A002945 : pokračování expanze zlomku . ${\sqrt[ {3}]{2}}$
↑ V důsledku postupného zpomalování rotace Země, a tedy i postupného snižování počtu dní v roce, by takový kalendář po 4000 letech nashromáždil skutečnou chybu jednoho dne.
↑ Shilov G. E. Jednoduchá gama. Zařízení hudební stupnice . — Populární přednášky o matematice . - M. : Fizmatgiz , 1963. - S. 14-15. — 20 s.
↑ Bugaenko V. O. Pellovy rovnice _ _ _
↑ Základy výpočetní matematiky, 1963 , str. 57.
↑ E. Yu Smirnov. Vlysy a pokračovací zlomky . MCNMO (17. března 2020). Získáno 17. dubna 2020. Archivováno z originálu dne 21. dubna 2021. (neurčitý)
↑ John Wallis , Arithmetica Infinitorum (Oxford, Anglie: Leon Lichfield, 1656), strana 182 . Archivováno 24. dubna 2021 na Wayback Machine . Brouncker vyjádřil jako spojitý zlomek poměr plochy kruhu k ploše opsaného čtverce (tj. 4/ π ). Pokračovací zlomek se objeví nahoře na stránce 182 (zhruba) jako: ☐ = 1 1/2 9/2 25/2 49/2 81/2 atd., kde čtverec označuje hledaný poměr. (Poznámka: Na předchozí stránce Wallis jmenuje Brounkera jako: "Dom. Guliel. Vicecon, & Barone Brouncher " (Lord William Viscount a Baron Brounker).)
↑ Khovansky A. N. Aplikace spojitých zlomků a jejich zobecnění na otázky přibližné analýzy (kapitoly 1 a 2). — M .: Gostekhizdat, 1956.
↑ Základy výpočetní matematiky, 1963 , str. 70-73.
↑ Karpenkov, 2013 .

Literatura

Arnold V. I. Pokračovací zlomky . - M. : MTsNMO , 2000. - T. 14. - 40 s. - ( Knihovna "Matematická výchova" ).
Beskin NM Pokračovací zlomky // Kvant . - 1970. - T. 1 . - S. 16-26.62 .
Beskin NM Nekonečné pokračování zlomků // Kvant . - 1970. - T. 8 . - S. 10-20 .
Bodnar D.I. Rozvětvení pokračovacích zlomků. - K .: Nauka, 1986. - 174 s.
Bukhshtab A. A. Teorie čísel . - M . : Vzdělávání, 1966. - 384 s.
Vinogradov I.M. Základy teorie čísel . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 s.
Výpočty v algebře a teorii čísel / Per. z angličtiny. E. G. Belagi, ed. B. B. Venková a D. K. Faddeeva. - M .: Mir , 1976. - (Matematika. Novinka v zahraniční vědě).
Gladkovsky S. N. Analýza podmíněně periodických pokračování zlomků, část 1 . - Jemný, 2009. - 138 s.
Demidovich B. P., Maron I. A. Základy výpočetní matematiky. - Ed. 2. - M. : Fizmatlit, 1963. - S. 53-73. — 660 s.
Depman I. Ya. Historie aritmetiky. Průvodce pro učitele . - Druhé vyd. - M . : Vzdělávání, 1965. - S. 253-254.
Davenport G. Vyšší aritmetika. Úvod do teorie čísel . — M .: Nauka, 1965.
Siziy SV Přednášky o teorii čísel . - Jekatěrinburg: Uralská státní univerzita pojmenovaná po. A. M. Gorkij , 1999.
Skorobogatko V. Ya. Teorie větvení spojitých zlomků a její aplikace ve výpočetní matematice. — M .: Nauka, 1983. — 312 s.
Khinchin A. Ya. Pokračovací zlomky . — M .: GIFML, 1960.
Khovansky AN Aplikace spojitých zlomků a jejich zobecnění na otázky přibližné analýzy. — M.: Gostekhizdat, 1956. — 204 s.
Brezinski C. Historie spojitých zlomků a Padého aproximanty. NY: Springer, 1980.
Karpenkov O. Geometrie spojitých zlomků. - Springer, 2013. - ISBN 978-3-642-39367-9 .

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština Velký Rus okolo světa Malý Brockhaus a Efron Nový Britannica (online)
V bibliografických katalozích	J9U : 987007548245805171 LCCN : sh85051149 NDL : 00569391 NKC : ph441076