Teorie diofantických aproximací

Teorie Diophantine přiblížení je odvětví teorie čísel , které studuje přiblížení reálných čísel racionálními ; pojmenovaný po Diofantovi Alexandrijském .

Prvním problémem byla otázka, jak dobře lze reálné číslo aproximovat čísly racionálními. Pro tento problém je racionální číslo a / b „dobrou“ aproximací reálného čísla α , pokud absolutní hodnotu rozdílu a / b a α nelze snížit nahrazením a / b jiným racionálním zlomkem menším. jmenovatel. Problém byl vyřešen v 18. století pomocí pokračovacích zlomků .

Pokud jsou známy „nejlepší“ aproximace daného čísla, hlavním úkolem oblasti je najít přesnou horní a dolní hranici výše uvedeného rozdílu, vyjádřenou jako funkce jmenovatele.

Zdá se, že hranice závisí na povaze reálných čísel – dolní hranice pro aproximaci racionálních čísel jiným racionálním číslem je větší než dolní hranice pro algebraická čísla , která je sama větší než dolní hranice pro reálná čísla. Reálná čísla, která lze lépe aproximovat než limit pro algebraická čísla, jsou tedy rozhodně transcendentální čísla . To umožnilo Liouville v roce 1844 získat první explicitně dané transcendentální číslo. Později pomocí podobné metody bylo prokázáno, že a jsou transcendentální. $\pi$ $E$

Diofantovské aproximace a teorie transcendentálních čísel jsou tedy velmi blízké oblasti a mají mnoho obecných teorémů a metod. Diophantine přiblížení také mají důležité aplikace ve studiu rovnic Diophantine .

Historické poznámky

Poté, co Borel a Khinchin zjistili, že téměř všechna čísla připouštějí pouze „nejhorší aproximaci“ racionálními čísly, vznikl směr metrické teorie diofantických aproximací (teorie aproximací nezávislých veličin), která patří do klasické větve diofantinských aproximací. .

Nový trend přišel z nečekaného směru. Mahler, klasifikující transcendentální čísla, formuloval hlavní metrický problém teorie transcendentálních čísel – hypotézu o „mírě transcendence“ téměř všech čísel. Když byla domněnka prokázána, začalo se otevírat hluboké spojení mezi klasickou teorií diofantických aproximací a metrickou teorií transcendentálních čísel. Výsledkem byl vývoj nového směru – teorie aproximací závislých veličin.

V moderní teorii existují tři hlavní přístupy.

Globální, studující obecné zákony aproximace. Příklady globálních tvrzení jsou Dirichletova a Kroneckerova věta, Minkowského domněnka o součinech lineárních forem.
Individuální přístup se týká vlastností speciálních čísel (algebraická čísla, ) nebo vyžaduje konstrukci čísel s určitými vlastnostmi (Liouvilleova čísla, Mahlerova T-čísla). $e,\pi ,\ln 2$
Metrický přístup, který zaujímá mezipolohu. Přístup vyžaduje popis aproximačních vlastností čísel na základě teorie míry [1] .

Nejlepší diofantické aproximace reálných čísel

Vzhledem k reálnému číslu α existují dva způsoby, jak najít nejlepší diofantinskou aproximaci α . V první definici [2] je racionální číslo p / q nejlepší diofantinskou aproximací čísla α , pokud

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,

pro jakékoli racionální číslo p' / q' jiné než p / q takové, že 0 < q ′ ≤ q .

Ve druhé definici [3] [4] , je výše uvedená nerovnost nahrazena

\left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.

Nejlepší aproximace pro druhou definici je nejlepší pro první definici, ale obráceně to neplatí [5] .

Teorie spojitých zlomků umožňuje vypočítat nejlepší aproximaci reálného čísla - pro druhou definici se zlomky sbíhají jako obyčejné spojité zlomky [4] [5] [6] . Pro první definici je třeba vzít v úvahu také mezilehlé frakce [2] .

Poznámka : Souhlasíme s tím, že označímevhodnými zlomky daný pokračující zlomek. Zlomkytvoří rostoucí posloupnost pro sudé k a klesající posloupnostpro liché k . Krajní členy této posloupnosti jsou konvergenty stejné parity. Pojmy mezilehlé mezi nimi se nazývají mezizlomky [7] .

{\frac {p_{k}}{q_{k}}}

{\tfrac {p_{k-2}}{q_{k-2}}},{\tfrac {p_{k-2}+p_{k-1}}{q_{k-2}+ q_{k-1))},{\tfrac {p_{k-2}+2p_{k-1}}{q_{k-2}+2q_{k-1}}},...,{\ tfrac {p_{k-2}+a_{k}p_{k-1}}{q_{k-2}+a_{k}q_{k-1}}}={\tfrac {p_{k}} {q_{k}}}

Například konstanta e = 2,718281828459045235… je reprezentována jako spojitý zlomek

[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].

Její nejlepší výkony podle druhé definice

3,{\tfrac {8}{3)),{\tfrac {11}{4)),{\tfrac {19}{7)),{\tfrac {87}{32)),\ ldots\,,

Zatímco podle první definice by byly nejlepší reprezentace

3,{\tfrac {5}{2)),{\tfrac {8}{3)),{\tfrac {11}{4)),{\tfrac {19}{7)),{ \tfrac {49}{18)),{\tfrac {68}{25)),{\tfrac {87}{32)),{\tfrac {106}{39)),\ldots \,.

Míra přesnosti aproximací

Zřejmá míra přesnosti diophantinské aproximace reálného čísla α racionálním číslem p / q je . Tato hodnota však může být vždy libovolně malá zvýšením absolutních hodnot p a q . Z tohoto důvodu se přesnost aproximace obvykle porovnává s nějakou funkcí φ ve jmenovateli q , obvykle se zápornou mocninou jmenovatele. $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|$

Pro takový odhad lze použít horní mez dolních mezí přesnosti. Dolní mez je obvykle popsána větou jako „Pro libovolný prvek α nějaké podmnožiny reálných čísel a jakékoli racionální číslo p / q máme “. V některých případech může být „jakékoli racionální číslo“ nahrazeno „všemi racionálními čísly kromě konečného čísla“ a toto číslo se vezme v úvahu vynásobením φ nějakou konstantou závisející na α . $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)$

U horních odhadů lze vzít v úvahu skutečnost, že ne všechny „nejlepší“ diofantické aproximace získané při konstrukci spojitého zlomku mohou poskytnout požadovanou přesnost. Proto mají věty tvar „Pro jakýkoli prvek α nějaké podmnožiny reálných čísel existuje nekonečně mnoho racionálních čísel p / q takových, že “. $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)$

Špatně aproximovaná čísla

Špatně aproximované číslo je číslo x , pro které existuje kladná konstanta c taková, že pro všechna racionální p / q máme

\left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .

Špatně aproximovaná čísla jsou přesně čísla s omezenými parciálními kvocienty [8] .

Dolní hranice pro diofantické aproximace

Aproximace racionálních čísel jinými racionálními čísly

Racionální číslo lze samozřejmě dokonale aproximovat čísly pro jakékoli kladné celé číslo i . $\alpha ={\frac {a}{b))$ ${\tfrac {p_{i}}{q_{i}}}={\tfrac {i\,a}{i\,b}}$

Pokud máme ${\tfrac {p}{q}}\not =\alpha ={\tfrac {a}{b}}\,,$

\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\ geq {\frac {1}{bq)),

protože je to kladné celé číslo, a proto není menší než 1. Tato přesnost aproximace je špatná s ohledem na iracionální čísla (viz další část). $|aq-bp|$

Je vidět, že výše uvedený důkaz používá variantu Dirichletova principu - nezáporné číslo ne rovné 0, ne menší než 1. Tato zjevně triviální poznámka se používá téměř ve všech důkazech pro spodní hranice diofantických aproximací, dokonce i ty složitější.

Abych to shrnul, racionální číslo je dokonale aproximováno samo o sobě, ale špatně aproximováno jakýmkoli jiným racionálním číslem.

Aproximace algebraických čísel, Liouvilleův výsledek

Ve 40. letech 19. století získal Joseph Liouville první dolní odhad pro aproximaci algebraických čísel — je-li x iracionální algebraické číslo stupně n nad racionálními čísly, pak existuje konstanta c ( x ) > 0 taková, že

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n))))

pro všechna celá čísla p a q , kde q > 0 .

Tento výsledek mu umožnil získat první prokázaný příklad transcendentálního čísla, Liouvillovu konstantu :

\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0,11000100000000000000001000\ldots \,

který nesplňuje Liouvilleův teorém, ať je zvolena jakákoli mocnina n .

Toto spojení mezi diofanskými aproximacemi a teorií transcendentálních čísel je pozorováno až do současnosti. Pro tyto dvě oblasti je společných mnoho důkazních technik.

Aproximace algebraických čísel, Thue-Siegel-Rothova věta

Po více než století došlo k mnoha pokusům o vylepšení Liouvillova teorému – každé zlepšení hranice nám umožňuje dokázat transcendenci více čísel. Zásadní vylepšení provedli Axel Thue [9] , Karl Siegel [10] , Freeman Dyson [11] a Klaus Roth [12] , což nakonec vedlo k Thue-Siegel-Rothově větě - Jestliže x je iracionální algebraické číslo a ε , (malé) kladné reálné číslo, pak existuje kladná konstanta c ( x , ε ) taková, že

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon ))))

pro libovolná celá čísla p a q taková, že q > 0 .

V jistém smyslu je tento výsledek optimální, protože tvrzení věty selhává pro ε =0. Toto je přímý důsledek horních hranic popsaných níže.

Společné aproximace algebraických dat

Následně to Wolfgang Schmidt zobecnil na případ společných aproximací a dokázal, že pokud x 1 , ..., x n jsou algebraická čísla taková, že 1, x 1 , ..., x n jsou lineárně nezávislá na racionálních číslech , a je dáno jakékoli kladné reálné číslo ε , pak existuje pouze konečně mnoho racionálních n - tic ( p 1 / q , ..., p n / q ) tak, že

|x_{i}-p_{i}/q|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.

Tento výsledek je opět optimální v tom smyslu, že ε nelze z exponentu odstranit.

Efektivní hranice

Všechny předchozí dolní odhady nejsou účinné , v tom smyslu, že důkaz neposkytuje způsob, jak vypočítat konstantu v příkazu. To znamená, že není možné použít důkaz věty k získání mezí pro řešení odpovídající diofantinské rovnice. Tato technika však může být často použita k omezení počtu řešení takové rovnice.

Feldmanovo upřesnění Bakerovy věty však poskytuje efektivní hranici — jestliže x je algebraické číslo stupně n nad racionálními čísly, pak existují efektivně vyčíslitelné konstanty c ( x ) > 0 a 0 < d ( x ) < n takové že

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)))))

platí pro všechna racionální čísla.

Jako u každé efektivní verze Bakerovy věty jsou však konstanty d a 1/ c tak velké, že tento efektivní výsledek nelze v praxi aplikovat.

Horní hranice pro diofantické aproximace

Obecná horní hranice

Prvním důležitým výsledkem o horních odhadech pro diofantické aproximace je Dirichletova věta o aproximaci , která implikuje, že pro každé iracionální číslo α existuje nekonečně mnoho zlomků , takže: ${\tfrac {p}{q))$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2))))

Okamžitě z toho vyplývá, že se nelze zbavit ε v tvrzení Thue-Siegel-Rothovy věty.

O několik let později byla tato věta vylepšena na následující Borelovu větu (1903) [13] . Pro každé iracionální číslo α existuje nekonečně mnoho zlomků takových, že: ${\tfrac {p}{q}}\;$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}({\sqrt {5}}q^{2}}}

Je tedy horní mez diofantických aproximací jakéhokoli iracionálního čísla. Konstantu v tomto výsledku nelze zlepšit bez odstranění některých iracionálních čísel (viz níže). ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2))))$

Ekvivalentní reálná čísla

Definice : Dvě reálná čísla se nazývají ekvivalentní [14] [15] , pokud existují celá čísla s , takže: $x, y$ $a,b,c,d\;$ $ad-bc=\pm 1\;$

y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.

Ekvivalence je definována celočíselnou Möbiovou transformací přes reals, nebo členem modulární skupiny , množiny invertibilních 2×2 matic přes celá čísla. Každé racionální číslo je ekvivalentní 0. Racionální čísla jsou tedy třídou ekvivalence tohoto vztahu. ${\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )$

Tato ekvivalence může pokrýt běžné pokračující zlomky, jak ukazuje následující Serretova věta :

Věta : Dvě iracionální čísla x a y jsou ekvivalentní právě tehdy, když existují dvě kladná celá čísla h a k taková, že když x a y jsou reprezentovány jako spojité zlomky

x=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,

y=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,

provedeno

{\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i))

pro libovolné nezáporné celé číslo i . [16]

Lagrangeovo spektrum

Jak bylo uvedeno výše, konstantu v Borelově větě nelze zlepšit, jak ukázal Hurwitz v roce 1891 [17] . Nechť je zlatý řez . Pak pro jakoukoli reálnou konstantu existuje pouze konečně mnoho racionálních čísel p / q takových, že $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $c>{\sqrt {5}}\;$

\left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.

Zlepšení lze tedy dosáhnout pouze odstraněním čísel ekvivalentních . Přesněji [18] [19] : Pro každé racionální číslo , které není ekvivalentní , existuje nekonečně mnoho zlomků takových, že $\phi$ $\alpha$ $\phi$ ${\tfrac {p}{q}}\;$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}({\sqrt {8}}q^{2}}}.

Postupným odstraňováním tříd ekvivalence – každá musí vyloučit čísla, která jsou ekvivalentní – lze zvýšit spodní hranici. Hodnoty, které lze získat jako výsledek tohoto procesu, jsou Lagrangeova čísla , která jsou součástí Lagrangeova spektra . Konvergují ke 3 a souvisí s Markovovými čísly [20] [21] . ${\sqrt {2}}$

Khinchinův teorém a jeho rozšíření

Nechť je nerostoucí funkce z kladných čísel na kladná reálná čísla. Reálné číslo x (ne nutně algebraické) se nazývá - aproximovatelné , pokud existuje nekonečně mnoho racionálních čísel p / q takových, že [22] $\psi$ $\psi$

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.

Khinchin v roce 1926 dokázal, že pokud se posloupnost diverguje, pak jsou téměř všechna reálná čísla (ve smyslu Lebesgueovy míry ) -přibližná a v případě konvergence posloupnosti téměř žádné reálné číslo není -přibližné. $\sum _{q}\psi (q)$ $\psi$ $\psi$

Duffin a Shaffer [23] dokázali obecnější teorém, ze kterého Khinchinův výsledek vyplývá, a učinili domněnku nyní známou jako Duffin-Schafferova domněnka [24] . Beresnevich a Velani [25] dokázali, že analogie Duffin-Schafferovy domněnky o Hausdorffově míře je ekvivalentní původní Duffinově-Schafferově domněnce, která je a priori slabší.

Hausdorffův rozměr výjimečných souborů

Důležitým příkladem funkce , na kterou lze aplikovat Khinchinovu větu, je funkce , kde c > 1. Pro tuto funkci odpovídající řady konvergují, takže podle Khinchinovy věty má množina -aproximovatelných čísel nulovou Lebesgueovu míru na reálná osa. Jarnik - Besicovitchův teorém říká , že Hausdorffova dimenze této množiny je [26] . Konkrétně množina čísel -přibližná pro některá (známá jako velmi dobře přibližná čísla ) má dimenzi jedna, zatímco množina čísel -přibližná pro všechna (známá jako Liouvilleova čísla ) má Hausdorffovu dimenzi nula. $\psi$ ${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c))$ $\psi _{c}$ $1/c$ $\psi _{c}$ $c>1$ $\psi _{c}$ $c>1$

Dalším důležitým příkladem je funkce where . Pro tuto funkci se odpovídající posloupnosti rozcházejí a podle Khinchinovy věty jsou téměř všechna čísla -přibližná. Jinými slovy, tato čísla jsou dobře aproximovaná (to znamená, že nejsou špatně aproximovaná). Analoga Yarnick-Besicovitchovy věty se tedy musí týkat Hausdorffovy dimenze špatně aproximovaných čísel. A Yarnik skutečně dokázal, že Hausdorffova dimenze množiny takových čísel je rovna jedné. Tento výsledek vylepšil Schmidt , který ukázal, že množina špatně aproximovatelných čísel je nestlačitelná v tom smyslu, že jestliže je posloupnost bi- Lipschitzových zobrazení, pak Hausdorffova dimenze množiny čísel x , pro kterou jsou všechna špatně aproximovatelné, rovná se jedné. Schmidt zobecnil Jarnickovu větu na vyšší dimenze, což je významný úspěch, protože Jarnickovo uvažování o pokračujících zlomcích silně spoléhá na jednorozměrnost prostoru. ${\displaystyle \psi _{\epsilon }(q)=\epsilon q^{-1))$ $\epsilon > 0$ ${\displaystyle \psi _{\epsilon ))$ $f_{1},f_{2},\ldots$ $f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots$

Jednotná distribuce

Další studovanou oblastí je teorie ekvidistribuované posloupnosti modulo 1 . Vezměme posloupnost a 1 , a 2 , … reálných čísel a uvažujme jejich zlomkové části . To je, více formálně, zvažovat sekvenci v R/Z , která je cyklická (lze si představit jako kruh). Pro libovolný interval I na kružnici uvažujeme zlomek prvků až do nějakého celého čísla N , které leží uvnitř intervalu, a porovnáme tuto hodnotu se zlomkem kruhu, který zabírá interval I . Rovnoměrná distribuce znamená, že v limitu, jak N roste , má zlomek zásahů v intervalu tendenci k „očekávané“ hodnotě. Weyl dokázal základní výsledek, že to je ekvivalentní ohraničenosti Weylových součtů vytvořených z posloupnosti. To ukazuje, že diofantické aproximace úzce souvisí s obecným problémem vzájemného zrušení ve Weylových součtech (odhady zbytku), které se objevují v analytické teorii čísel .

Tématem souvisejícím s rovnoměrným rozdělením je téma nerovnoměrného rozdělení , které má kombinatorickou povahu.

Nevyřešené problémy

Stále existují jednoduše formulované, ale nevyřešené problémy diofantinských aproximací, jako je Littlewoodova domněnka a domněnka osamělého běžce . Také není známo, zda existují algebraická čísla s neomezenými koeficienty v expanzi kontinuálního zlomku.

Nedávný výzkum

Na plenárním zasedání Mezinárodního kongresu matematiků v Kjótu (1990) Grigory A. Margulis nastínil široký program založený na ergodické teorii , který umožňuje dokázat výsledky teorií čísel pomocí dynamických a ergodických vlastností podskupinových akcí poloprosté lži . skupiny . Práce D. Ya Kleinbocka a G. A. Margulise (se spoluautory) demonstruje sílu tohoto nového přístupu ke klasickým problémům diofantických aproximací. Mezi pozoruhodné úspěchy patří Margulisův důkaz Oppenheimovy domněnky předložené před desítkami let s dalšími rozšířeními (Dani a Margulis, Eskin-Margulis-Moses) a důkaz Kleinbocka a Margulise o Bakerových a Sprindzhukových domněnkách o diofantických aproximacích na rozdělovače. Pomocí této metody byla získána různá zobecnění výše uvedených Khinchinových výsledků na metrických diofantických aproximacích.

Viz také

Poznámky

↑ Sprindzhuk, 1977 , s. 4-5 Předmluva.
↑ 1 2 Khinchin, 1978 , str. 32.
↑ Casssels, 1961 , s. deset.
↑ 1 2 Leng, 1970 , str. 19.
↑ 1 2 Khinchin, 1978 , str. 35.
↑ Casssels, 1961 , s. 10–17.
↑ Khinchin, 1978 , s. 21-22.
↑ Bugeaud, 2012 , str. 245.
↑ čtvrtek 1909 .
↑ Siegel, 1921 .
↑ Dyson, 1947 .
↑ Roth, 1955 .
↑ Perron, 1913 , str. Kapitola 2, Věta 15.
↑ Hurwitz, 1891 , str. 284.
↑ Hardy a Wright 1979 , str. Kapitola 10.11.
↑ Viz Perronův článek ( Perron 1929 , kapitola 2, věta 23, str. 63)
↑ Hardy a Wright 1979 , str. 164.
↑ Casssels, 1961 , s. 21.
↑ Hurwitz, 1891 .
↑ Casssels, 1961 , s. 29.
↑ Viz Michel Waldschmidt: Úvod do diofantických metod iracionalita a transcendence Archivováno 9. února 2012 na Wayback Machine , str. 24-26.
↑ Sprindzhuk, 1977 , s. Kapitola 9
↑ Duffin, Schaeffer, 1941 .
↑ Sprindzhuk, 1977 , s. 23.
↑ Beresnevich, Velani, 2006 .
↑ Bernik, Beresnevich, Götze, Kukso, 2013 , str. 24.

Literatura

Victor Beresnevich, Sanju Velani. Princip přenosu hmoty a Duffin-Schaefferova domněnka pro Hausdorffovy míry // Annals of Mathematics . - 2006. - T. 164 . — S. 971–992 . - doi : 10.4007/annals.2006.164.971 .
V. Bernik, V. Beresněvič, F. Götze, O. Kukso. Distribuce algebraických čísel a metrická teorie diofantinské aproximace // Limitní věty v pravděpodobnosti, statistice a teorii čísel: Na počest Friedricha Götzeho / Peter Eichelsbacher, Guido Elsner, Holger Kösters, Matthias Löwe, Franz Merkl, Silke Rolles. - Heidelberg: Springer, 2013. - T. 42. - S. 23-48. - (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics). - doi : 10.1007/978-3-642-36068-8_2 .
Yann Bugeaud. Distribuce modulo jedna a diofantická aproximace. - Cambridge: Cambridge University Press , 2012. - V. 193. - ISBN 978-0-521-11169-0 .
J. W. S. Cassels . Úvod do teorie diofantických aproximací. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1961.
RJ Duffin, AC Schaeffer. Khintchinův problém v metrické diofantické aproximaci // Duke Mathematical Journal . - 1941. - T. 8 . — S. 243–255 . — ISSN 0012-7094 . - doi : 10.1215/s0012-7094-41-00818-9 .
Freeman Dyson . Aproximace k algebraickým číslům pomocí racionálů // Acta Mathematica . - 1947. - T. 79 . — S. 225–240 . — ISSN 0001-5962 . - doi : 10.1007/BF02404697 .
GH Hardy , EM Wright. Úvod do teorie čísel . — 5. - Oxford University Press, 1979. - ISBN 978-0-19-853170-8 .
A. Hurwitz . Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch odůvodnění Brüche (německy) // Mathematische Annalen. - 1891. - Bd. 39 , H.2 . — S. 279–284 . - doi : 10.1007/BF01206656 .
A. Ya, Khinchin. Řetězové střely. - 4. - M .: "Nauka", GIFML, 1978.
DY Kleinbock, G. A. Margulis . Toky na homogenních prostorech a diofantická aproximace na varietách , Ann. Matematika.. - 1998. - Vol. 148 , no. 1 . — S. 339–360 . - doi : 10.2307/120997 . — .
S. Leng. Úvod do teorie diofantických aproximací. - M. : "Mir", 1970. - (Knihovna sbírky "Matematika"). — ISBN 0-387-94456-7 .
G. A. Margulis . Panorama teorie čísel nebo pohled z Bakerovy zahrady. - Cambridge: Cambridge University Press , 2002. - s. 280-310. — ISBN 0-521-80799-9 .
Oscar Perron. Die Lehre von den Kettenbrüchen (německy) . — Lipsko: BG Teubner, 1913.
Oscar Perron. Die Lehre von den Kettenbrüchen (německy) . — 2. — Chelsea, 1929.
Klaus Friedrich Roth . Racionální aproximace k algebraickým číslům // Matematika . - 1955. - T. 2 . — S. 1–20, 168 . — ISSN 0025-5793 . - doi : 10.1112/S0025579300000644 .
Wolfgang M. Schmidt. Diofantinová aproximace. — = 1996. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag , 1980. - T. 785. - (Poznámky z přednášky z matematiky). — ISBN 3-540-09762-7 .
Wolfgang M. Schmidt. Diofantinové aproximace a diofantické rovnice. — = 2. - Springer-Verlag , 1996. - T. 1467. - (Poznámky z matematiky). — ISBN 3-540-54058-X .
Carl Ludwig Siegel . Aproximační algebraischer Zahlen // Mathematische Zeitschrift . - 1921. - T. 10 , čís. =3 . — S. 173–213 . — ISSN 0025-5874 . - doi : 10.1007/BF01211608 .
V. G. Sprindzhuk. Metrická teorie diofantických aproximací. - M .: GRFML "Nauka", 1977.
A.Thue . Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1909. - T. 135 . — S. 284–305 . — ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1909.135.284 .

Odkazy

Diophantine Aproximation: historický průzkum Archivováno 14. února 2012 na Wayback Machine . Od kurzu Úvod do diofantických metod od Michela Waldschmidta.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), p/d032600 , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4