Modulární skupina

Modulární skupina je skupina všech Möbiových transformací formy $\Gamma$

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d)),

kde jsou celá čísla a . $abeceda$ $ad-bc=1$

Modulární skupina je identifikována se skupinou faktorů . Zde je skupina matic ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )=SL(2,\;\mathbb {Z} )/\{I,\;-I\))$ $SL(2,\;\mathbb {Z} )$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix)),

kde jsou celá čísla , . $abeceda$ $ad-bc=1$

Modulární grupa je diskrétní grupou transformací horní komplexní poloroviny ( Lobačevského rovina ) a připouští reprezentaci pomocí generátorů $H=\{z:\mathrm {Im} \,z>0\}$

S:z\mapsto -1/z,

T:z\mapsto z+1

a vztahy , to znamená, že je volným součinem cyklické skupiny řádu 2 generované , a cyklické skupiny 3. řádu generované . $S^{2}=(ST)^{3}=1$ $S$ $SVATÝ$

Pro libovolnou transformaci z modulární skupiny platí následující rovnost: $g(z)={\frac {az+b}{cz+d))$

\mathrm {Im} \,g(z)={\frac {\mathrm {Im} \,z}{|cz+d|^{2}}}.\qquad \qquad (1)

Protože imaginární část je nenulová a čísla a jsou zároveň celá čísla rovna nule, je hodnota oddělena od nuly (nemůže být libovolně malá). To znamená, že na oběžné dráze libovolného bodu existuje jeden, na kterém imaginární část dosahuje svého maxima. $z$ $C$ $d$ $|cz+d|^{2}$

Základní doménou (kanonickou) modulární skupiny je uzavřená doména

D=\{z\in H:|z|\geqslant 1,\;|\mathrm {Re} \,z|\leqslant 1/2\}.

Je snadné zkontrolovat pomocí (1), že transformace modulární skupiny nezvětšují imaginární část bodů z . Z toho vyplývá, že aby dva body patřily , musí být jejich pomyslná část stejná: . Následující transformace a body splňují tyto podmínky: $D$ $z,\;g(z)$ $D$ $|cz+d|^{2}=1$

$g(z)=z,\;z$ - jakýkoli bod;
$g(z)=z-1,\;\mathrm {Re} \,z=1/2;$
$g(z)=z+1,\;\mathrm {Re} \,z=-1/2;$
$g(z)=-1/z,\;|z|=1.$

Zejména všechny body v regionu mají triviální stabilizátor kromě tří: $D$

$\mathrm {St} (i)=\{1,\;S\};$
$\mathrm {St} (e^{2\pi i/3})=\{1,\;ST,\;(ST)^{2}\};$
$\mathrm {St} (-e^{-2\pi i/3})=\{1,\;TS,\;(TS)^{2}\}.$

Navíc z toho plyne, že při faktorizaci horní poloroviny působením modulární skupiny jsou vnitřní body zobrazeny injektivně, zatímco hraniční jsou přilepeny k bodům „zrcadlově“ k nim vzhledem k přímce. . $D$ $\mathrm {Re} \,z=0$

Abychom ukázali, že jakýkoli bod z je shodný s nějakým bodem z , uvažujeme na jeho oběžné dráze generované transformacemi a bod s maximální imaginární částí a pomocí celočíselného posunu posuneme tak, že skutečná část jeho obrazu nebude žádná. více než 1/2 v absolutní hodnotě. Pak patří obrázek (jinak, pokud by byl jeho modul menší než 1, bylo by možné pomocí transformace striktně zvětšit imaginární část). $H$ $D$ $S$ $T$ $D$ $S$

Je také snadné ukázat, že transformace a generovat celou modulární skupinu. Dovolit být libovolná modulární transformace a být vnitřním bodem . Jak je popsáno výše, najdeme transformaci, která se přenese do oblasti . Body a leží v , A je vnitřní, proto . Pak transformace spočívá v bodovém stabilizátoru , což je triviální. Proto leží ve skupině generované transformacemi a . $S$ $T$ $G$ $z$ $D$ $G'$ $g(z)$ $D$ $z$ $g'g(z)$ $D$ $z$ $g'g(z)=z$ $g'g$ $z$ ${\displaystyle g=(g')^{-1))$ $S$ $T$

Zájem o modulární skupinu je spojen se studiem modulárních funkcí , jejichž Riemannův povrch je podílový prostor , identifikovaný se základní doménou modulární skupiny. Fundamentální obor má konečnou oblast (ve smyslu Lobačevského geometrie), to znamená, že modulární grupa je fuchsovská grupa prvního druhu. $H/\,\Gamma$ $G$ $G$