Fuchsova skupina

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. ledna 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Fuchsova grupa je diskrétní podgrupou grupy PSL(2, R ) . Skupinu lze považovat za skupinu pohybů hyperbolické roviny nebo konformní zobrazení disku jednotky nebo konformní zobrazení horní poloroviny . V souladu s tím lze fuchsovskou grupu považovat za skupinu působící na kterémkoli z těchto prostorů. V jiných interpretacích je fuchsovská grupa definována jako grupa s konečným počtem generátorů , nebo jako podgrupa obsahující prvky zachovávající orientaci. Je také přijatelné definovat fuchsovskou skupinu jako kleiniánskou $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {R} )$ (diskrétní skupina PSL(2, C ) ), která je konjugovaná s podskupinou skupiny . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$

Fuchsovské grupy se používají k vytvoření fuchsovského modelu Riemannových ploch . V tomto případě se grupa může nazývat fuchsovská povrchová grupa . V jistém smyslu fuchsovské grupy dělají pro neeuklidovskou geometrii to, co krystalografické grupy dělají pro euklidovskou geometrii . Některé Escherovy kresby jsou založeny na Fuchsových grupách (pro diskový model Lobačevského geometrie ).

Skupiny generála Fuchsiana jako první zkoumal Henri Poincaré [1] , kterého zaujal článek Lazara Fuchse [2] , a tento název pochází z jeho jména.

Fuchsovské grupy na horní polorovině

Nechť je horní polorovina . Pak je model hyperbolické roviny opatřený metrikou $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\mathrm {Im} (z)>0$ ${\mathbb {H}}$

ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.

Skupina PSL(2, R ) působí na frakční lineární transformaci (která je známá jako Möbiova transformace ): ${\mathbb {H}}$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d)).

Tato akce je účinná a ve skutečnosti izomorfní ke skupině všech pohybů zachovávajících orientaci . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ ${\mathbb {H}}$

Fuchsovu grupu lze definovat jako podgrupu grupy , která působí nespojitě na . To znamená $\Gamma$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ ${\mathbb {H}}$

Pro libovolné z nemají oběžné dráhy žádné limitní body v . ${\mathbb {H}}$ ${\displaystyle {\Gamma }z=\{{\gamma }z\colon \gamma \in \Gamma \))$ ${\mathbb {H}}$

Ekvivalentní definicí je fuchsovská grupa , když . Znamená to, že: $\Gamma$ $\Gamma$

Jakákoli sekvence prvků , která konverguje k prvku identity v obvyklé topologii bodové konvergence, je nakonec konstantní, to znamená, že existuje celé číslo N takové, že pro libovolné n > N , kde E je matice identity. $\{\gamma _{n}\}$ $\Gamma$ $\gamma _{n}=E$

Ačkoli diskontinuita a diskrétnost jsou v tomto případě ekvivalentní, neplatí to pro případ libovolných skupin konformních homeomorfismů působících na plnou Riemannovu sféru (na rozdíl od ). Navíc je Fuchsova grupa diskrétní, ale má limitní body na reálné přímce Im z = 0 - prvky budou mít z = 0 pro jakékoli racionální číslo a racionální čísla jsou hustá v . ${\mathbb {H}}$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$

Základní definice

Lineární-zlomková transformace, definovaná maticí , zachovává Riemannovu kouli , ale posílá horní polorovinu na nějaký otevřený disk . Transformace konjugovaná s takovou transformací posílá diskrétní podskupinu do samostatné podskupiny skupiny při zachování . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \cup \infty$ ${\mathbb {H}}$ $\Delta$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\Delta$

Toto dá svah následující definici fuchsovské skupiny . Let působí invariantně na svém vlastním otevřeném disku , tedy . Potom je fuchsovská právě tehdy a jen tehdy, když platí některá z následujících ekvivalentních vlastností: $\Gamma \subset \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\Delta \subset \mathbb {C} \cup \infty$ $\Gamma (\Delta )=\Delta$ $\Gamma$

$\Gamma$ je diskrétní skupina (s přihlédnutím ke standardní topologii na ). $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$
$\Gamma$ působí správně nespojitě v každém bodě . $z\in \Delta$
množina je podmnožinou oblasti diskontinuity . $\Delta$ $\Omega (\Gamma )$ $\Gamma$

To znamená, že kteroukoli z těchto tří vlastností lze použít jako definici fuchsovské grupy, ostatní vyplývají ze zvolené definice jako věta. Pojem vlastní invariantní nespojité podmnožiny je důležitý. Takzvaná Picardova skupina je diskrétní, ale nezachovává žádný disk v Riemannově sféře. Navíc ani modulární skupina , což je fuchsovská skupina, nepůsobí na reálné lince diskontinuálně. Má limitní body v racionálních číslech . Stejně tak je důležitá myšlenka, co je správná podmnožina oblasti diskontinuity. Pokud toto není přítomno, podskupina se nazývá kleinovská skupina . $\Delta$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} [i])$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\Delta$

Obvykle se jako invariantní oblast bere buď otevřený jednotkový disk nebo horní polorovina . $\Delta$

Limitní sady

S ohledem na diskrétnost působení nemá dráha bodu z v horní polorovině pod působením žádné body kondenzace v horní polorovině. Na reálné ose však mohou být limitní body. Dovolit být limit soubor skupiny , To je soubor limitních bodů pro . Pak . Množina limitů může být prázdná nebo sestávat z jednoho nebo dvou bodů nebo se může skládat z nekonečného počtu. V druhém případě existují dvě možnosti: ${\Gamma }z$ $\Gamma$ $\Lambda (\Gamma )$ $\Gamma$ ${\Gamma }z$ $z\in \mathbb {H}$ $\Lambda (\Gamma )\subseteq \mathbb {R} \cup \infty$

Fuchsova grupa prvního typu je grupa, pro kterou je limitní množina uzavřená reálná čára . K tomu dochází, když má podílový prostor konečný objem, ale existují fuchsovské grupy prvního druhu s nekonečným kovolutem. $\mathbb {R} \cup \infty$ $\mathbb {H} /\Gamma$

Jinak se říká, že fuchsovská skupina je druhého typu . Ekvivalentně je to skupina, pro kterou je limitní množina dokonalá množina , tedy nikde hustá množina na . Protože nikde není hustá, vyplývá z toho, že jakýkoli limitní bod je libovolně blízko nějaké otevřené množině, která do limitní množiny nepatří. Jinými slovy, množinou limitů je Cantorova množina . $\mathbb {R} \cup \infty$

Typ fuchsovské grupy nemusí být stejný, pokud je považována za kleiniánskou grupu – ve skutečnosti jsou všechny fuchsovské grupy kleinovské grupy druhého typu, protože jejich limitní množiny (jako kleinovské grupy) jsou vlastními podmnožinami Riemannovy sféry. obsažené v nějakém kruhu.

Příklady

Příkladem fuchsovské skupiny je modulární skupina . Je to podskupina skupiny skládající se z lineárně zlomkových transformací $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,R)$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}

kde a , b , c , d jsou celá čísla. Podílový prostor je modulový prostor eliptických křivek . $\mathbb {H} /\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$

Mezi fuchsovské grupy patří i grupy pro každé n > 0. Zde se skládá z lineárně zlomkových transformací výše uvedeného tvaru, kde prvky matice $\Gamma (n)$ $\Gamma (n)$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

jsou srovnatelné s prvky matice identity s ohledem na submodul n .

Kokompaktní příklad je (obvyklá) Triangle Group (2,3,7) (podle rotací), obsahující všechny fuchsovské grupy Kleinova kvartického a McBeathových povrchů , jako jiné Hurwitzovy grupy . Obecněji řečeno, jakákoli hyperbolická von Dyckova grupa (podskupina trojúhelníkové grupy s indexem 2 odpovídajícím pohybům zachovávajícím orientaci) je fuchsovská grupa.

Všechny z nich jsou fuchsovské skupiny prvního druhu .

Všechny hyperbolické a parabolické cyklické podskupiny skupiny jsou fuchsovské. $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$
Jakákoli eliptická cyklická podgrupa je fuchsovská právě tehdy, když je konečná.
Jakákoli abelovská fuchsovská skupina je cyklická.
Žádná fuchsovská grupa není izomorfní . $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$
Nechť je neabelovská fuchsovská skupina. Pak je normalizátorem skupiny Fuchsian. $\Gamma$ $\Gamma$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$

Metrické vlastnosti

Je-li h hyperbolický prvek, je délka translace L skupinové akce v horní polorovině vztažena ke stopě h jako matice vztahem $2\times 2$

|\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2)).

Podobná vlastnost platí pro systolu příslušné Riemannovy plochy, pokud je fuchsovská grupa bez torze a kokompaktní.

Viz také

Kvazi-fuchsovská skupina
Neeuklidovská krystalografická skupina
Schottkyho skupina

Literatura

Lazara Fuchse . Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variablen, welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der linearen Differentialgleichungen mit odůvodnění Coeffizienten entstehen // J. Reine Angew. Matematika.. - 1880. - T. 89 . — S. 151–169 .
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Viz část 1.6 // Theta Constants, Riemann Surfaces and the Modular Group. — Providence R.I.: American Mathematical Society . — ISBN 978-0-8218-1392-8 .
Henryk Iwaniec . Viz kapitola 2. // Spectral Methods of Automorphic Forms, druhé vydání. - Providence, RI: America Mathematical Society, 2002. - V. 53. - ( Graduate Studies in Mathematics ). - ISBN 978-0-8218-3160-1 .
Světlana Katok . Fuchsovské skupiny. - Chicago: University of Chicago Press, 1992. - ISBN 978-0-226-42583-2 .
David Mumford , Caroline Series, David Wright. Indrovy perly: Vize Felixe Kleina . - Cambridge University Press, 2002. - ISBN 978-0-521-35253-6 . .
Peter J. Nicholls. Ergodická teorie diskrétních skupin. - Cambridge: Cambridge University Press, 1989. - V. 143. - (London Mathematical Society Lecture Note Series). - ISBN 978-0-521-37674-7 .
Henri Poincare . Théorie des groupes fuchsiens // Acta Mathematica . - Springer Nizozemsko, 1882. - T. 1 . — S. 1–62 . — ISSN 0001-5962 . - doi : 10.1007/BF02592124 .
Ernest B. Winberg . Matematická encyklopedie / šéfredaktor I.M. Vinogradov. - Sovětská encyklopedie, 1977. - V. 5.