Pohyb (matematika)

Pohyb je transformace metrického prostoru , která zachovává vzdálenost mezi odpovídajícími body, tedy pokud a jsou obrazy bodů a , pak . Jinými slovy, pohyb je izometrií prostoru do sebe. $A'$ $B'$ $A$ $B$ $A'B'=AB$

Ačkoli pohyb je definován na všech metrických prostorech, termín je běžnější v euklidovské geometrii a příbuzných oborech. V metrické geometrii (zvláště v Riemannově geometrii ) se častěji říká: izometrie prostoru do sebe . V obecném případě metrického prostoru (například pro neplochou Riemannovu varietu ), pohyby nemusí vždy existovat.

Někdy je pohyb chápán jako transformace euklidovského prostoru, která zachovává orientaci. Zejména osová symetrie roviny není považována za pohyb, zatímco rotace a paralelní posun jsou považovány za pohyby. Podobně pro obecné metrické prostory je pohyb prvkem izometrické skupiny z připojené komponenty mapování identity .

V euklidovském (nebo pseudoeuklidovském ) prostoru pohyb automaticky zachovává také úhly, takže jsou zachovány všechny tečkové produkty .

Dále v tomto článku jsou zvažovány izometrie pouze euklidovského bodového prostoru.

Správné a nevhodné pohyby

Dovolit být pohyb euklidovského bodového prostoru a být prostorem volných vektorů pro prostor . Lineární operátor spojený s afinní transformací je ortogonální operátor , a tak jeho determinant může být buď ( správný ortogonální operátor ) nebo ( nepravý ortogonální operátor ). V souladu s tím a pohyby jsou rozděleny do dvou tříd: vlastní (pokud ) a nevlastní (pokud ) [1] . $f\colon E\rightarrow E$ $E,$ $V$ $E$ $Df\colon V\rightarrow V,$ $f,$ $1$ $-1$ $\det Df=1$ $\det Df=-1$

Správné pohyby zachovávají orientaci prostoru , nesprávné - nahraďte je opačným [2] . Někdy se správné a nesprávné pohyby nazývají posunutí a protipohyby [3] . $E,$

Jakýkoli pohyb n - rozměrného euklidovského bodového prostoru lze jednoznačně určit určením ortonormálního rámce , do kterého během daného pohybu projde ortonormální rámec předem vybraný v prostoru . V tomto případě, v případě správného pohybu, nový rám je orientován stejně jako původní a v případě nesprávného pohybu je nový rám orientován opačně. Pohyby vždy zachovávají vzdálenosti mezi body v prostoru (tj. jsou to izometrie ) a neexistují žádné jiné izometrie, kromě správných a nesprávných pohybů [4] . $E$ $(O';e'_{1},\ldots ,e'_{n}),$ $E$ $(O;e_{1},\ldots ,e_{n}).$ $E$

V mechanice má pojem „pohyb“ jiný význam; zvláště, to je vždy považováno za nepřetržitý proces nastávající přes časové období ( viz mechanický pohyb ). Pokud v návaznosti na P. S. Aleksandrova nazýváme spojitým pohybem takový pohyb prostoru , který spojitě závisí na parametru (protože v mechanice to odpovídá pohybu absolutně tuhého tělesa ), pak lze ortonormální rám získat spojitým pohybem z ortonormálního rám právě tehdy, když jsou oba benchmarky orientovány stejným způsobem [5] . $E,$ $t\in [t_{0},t_{1}]$ $n=3$ $(O';e'_{1},\ldots ,e'_{n})$ $(O;e_{1},\ldots ,e_{n})$

Jednotlivé typy izometrií

Rovné

Jakýkoli pohyb přímky je buď rovnoběžný posun (redukovaný na posunutí všech bodů přímky stejným vektorem ležícím na téže přímce), nebo odraz kolem nějakého bodu na dané přímce. V prvním případě je pohyb vlastní, ve druhém - nevlastní [6] .

V letadle

Jakýkoli pohyb letadla patří do jednoho z následujících typů [2] :

Paralelní přenos ;
Turn ;
Osová souměrnost ( odraz );
Posuvná symetrie je superpozice posunu vektorem rovnoběžným s přímkou a symetrie kolem této přímky.

Pohyby prvních dvou typů jsou vlastní, poslední dva jsou nesprávné [7] .

Ve 3D prostoru

Jakýkoli pohyb trojrozměrného prostoru patří k jednomu z následujících typů [2] :

Paralelní přenos;
Otočit se;
Pohyb šroubu je superpozice rotace kolem určité přímky a posunutí vektorem rovnoběžným s touto přímkou;
Zrcadlová symetrie (odraz) kolem roviny ;
Posuvná symetrie je superpozice translace vektorem rovnoběžným s rovinou a symetrie kolem této roviny;
Zrcadlová rotace je superpozice rotace kolem nějaké přímky a odraz kolem roviny kolmé k ose rotace.

Pohyby prvních tří typů vyčerpávají třídu vlastních pohybů trojrozměrného prostoru ( Challův teorém ) a pohyby posledních tří typů jsou nevlastní [7] .

V n-rozměrném prostoru

V -rozměrném prostoru jsou pohyby redukovány na ortogonální transformace , paralelní translace a superpozice obou. $n$

Na druhé straně, ortogonální transformace mohou být reprezentovány jako superpozice (správných) rotací a zrcadlových odrazů (tj. symetrie vzhledem k nadrovinám ).

Pohyby jako superpozice symetrií

Jakákoli izometrie v -rozměrném euklidovském prostoru může být reprezentována jako superpozice nejvýše n+1 zrcadlových odrazů [8] . $n$

Takže paralelní posun a rotace jsou superpozice dvou odrazů, posuvný odraz a rotace zrcadla jsou tři a pohyb šroubu jsou čtyři.

Obecné vlastnosti izometrií

Superpozice izometrií je také izometrií [9] .
Izometrie euklidovského prostoru E s ohledem na operaci superpozice tvoří grupu Iso( E ) , což je Lieova grupa .
Izometrie je speciální případ afinní transformace (takže Iso( E ) je podgrupou další Lieovy grupy, afinní grupou Aff( E ) prostoru E ) [10] .
Grupa Iso( E ) se skládá ze dvou spojených složek : množiny Iso + ( E ) vlastních pohybů (která je sama o sobě Lieovou grupou) a množiny Iso - ( E ) nevlastních pohybů; každá z těchto součástí je propojena cestou [3] .
Izometrie, která je afinní transformací , vždy transformuje segment zpět na segment.

Poznámky

↑ Kostrikin a Manin, 1986 , s. 201-204.
↑ 1 2 3 Egorov I.P. . Pohyb // Matematická encyklopedie. svazek 2 / kap. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie , 1979. - 1104 stb. - Stb. 20-22.
↑ 1 2 Berger, 1984 , str. 249.
↑ Aleksandrov, 1968 , s. 259-262.
↑ Aleksandrov, 1968 , s. 210, 214.
↑ Aleksandrov, 1968 , s. 284.
↑ 1 2 Kostrikin a Manin, 1986 , str. 204.
↑ Berger, 1984 , str. 255.
↑ Aleksandrov, 1968 , s. 267.
↑ Kostrikin a Manin, 1986 , s. 202.

Literatura

Alexandrov P.S. Přednášky z analytické geometrie. — M .: Nauka , 1968. — 912 s.
Berge M. Geometrie. T. 1. - M. : Mir , 1984. - 560 s.
Kostrikin A.I. , Manin Yu.I. Lineární algebra a geometrie. 2. vyd. — M .: Nauka , 1986. — 304 s.