Nikde hustá sada

Nikde hustá množina je množina topologického prostoru, jehož vnitřní uzávěr je prázdný ( ), jinými slovy množina, která není hustá v žádném sousedství prostoru . $A$ $(X,\tau)$ $\operatorname{Int} \bar A = \varnothing$ $X$

Ekvivalentně není množina nikde hustá tehdy a jen tehdy, když v každé neprázdné otevřené množině lze najít neprázdnou otevřenou množinu , která se neprotíná s (tj. ). $A\subseteq X$ $X$ $U$ $PROTI$ $A$ $V \subseteq U \setminus A$

Vlastnosti

Rodina všech nikde hustých množin prostoru tvoří ideál podmnožin , tj. ${\rm NWD} (X)$ $X$ $X$ pokud , tak , $A, B \in {\rm NWD} (X)$ $A \cup B \in {\rm NWD} (X)$ pokud a , pak , $A \in {\rm NWD} (X)$ $B\subseteq A$ $B \in {\rm NWD} (X)$ $X \notin {\rm NWD} (X)$ .
Jestliže a není nikde husté v ( kde je indukována topologie in ), pak . $A \subseteq Y \subseteq X$ $A$ $Y$ $A \in {\rm NWD} (Y)$ $Y$ $X$ $A \in {\rm NWD} (X)$
Nechat a být hustou podmnožinou v . Pak tehdy a jen tehdy, když . $A \subseteq Y \subseteq X$ $Y$ $X$ $A \in {\rm NWD} (X)$ $A \in {\rm NWD} (Y)$
Sada není nikde hustá právě tehdy, když její uzavření není nikde husté. Každá nikde hustá množina je tedy obsažena v nějaké uzavřené nikde husté množině. $A$
Uzavřená nikde hustá množina je hranicí otevřené množiny.

Viz také

Sada první kategorie

Literatura

Kelly, J. L. Obecná topologie. — M .: Nauka, 1968.
O. Viro. Elementární topologie. 2010.