Hustá sada

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. dubna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Hustá množina je podmnožina prostoru, jejíž body se mohou libovolně dobře aproximovat libovolnému bodu uzavírajícího prostoru. Formálně řečeno, je hustý v případě, že jakékoli okolí libovolného bodu z obsahuje prvek z . $A$ $X$ $X$ $X$ $A$

Definice

Nechť je dán topologický prostor a dvě podmnožiny Pak se množina v množině nazývá hustou, jestliže libovolné okolí libovolného bodu obsahuje alespoň jeden bod z , tzn. $(X, {\mathcal {T}})$ $A,B\subset X.$ $A$ $B$ $B$ $A$

\forall x\in B\;\forall U\in {\mathcal {T))\quad {\bigl (}x\in U{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}U\cap A \neq \varnothing {\bigr )}.

Říká se, že sada je všude hustá , pokud je hustá uvnitř $A$ $X.$

Poznámka

Výše uvedená definice hustoty sady je ekvivalentní kterékoli z následujících:

Sada je hustá tehdy a jen tehdy, když uzávěr obsahuje , tedy . Zejména je všude hustý, pokud . $A$ $B$ $A$ $B$ ${\bar {A}}\supset B$ $A$ ${\bar {A}}=B$
Množina je hustá tehdy a jen tehdy, když se vnitřek doplňku k neprotíná s , tedy . Zejména je všude hustý, pokud . $A$ $B$ $A$ $B$ $\left(A^{\complement }\right)^{0}\cap B=\emptyset$ $A$ $\left(A^{\complement }\right)^{0}=\emptyset$

Příklady

Množina racionálních čísel je hustá v prostoru reálných čísel . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$

Viz také

Literatura

R. A. Aleksandryan, E. A. Mirzakhanyan . Obecná topologie - M: Vyšší škola, 1979.
Kelly J. L. Obecná topologie - M .: Nauka, 1968
Engelking R. Obecná topologie - M .: Mir, 1986
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Elementary topology Archived 19. února 2012 na Wayback Machine . Tutoriál v úlohách (rus., angl.)