Podmnožina

Podmnožina v teorii množin je koncept části množiny.

Definice

Množina se nazývá podmnožina množiny , pokud všechny prvky , které do ní patří, patří také do [1] . Formální definice: $A$ $B$ $A$ $B$

(A\podmnožina B)\Leftrightarrow \left(\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)\right)\,

Existují dva systémy symbolické notace pro podmnožiny:

" je podmnožinou (nepřísné)" je označeno $A$ $B$	" je striktní podmnožina " je označeno $A$ $B$	Poznámka
$A\subseteq B$	$A\podmnožina B$	Symbol je analogový , tedy v případě, že je povolena rovnost množin; $\subseteq$ $\leq$ $A\subseteq B$ $A=B$ znak je analogem , to znamená, že v případě v existují prvky, které nejsou v . $\podmnožina$ $<$ $A\podmnožina B$ $B$ $A$
$A\podmnožina B$	$A\subsetneq B$	Jednodušší symbol se používá pro „(nepřísnou) podmnožinu“, protože je považován za „základnější“.

Oba systémy zápisu jsou poskytovány normou ISO 31-11 , ale používají symbol v různých významech, což může vést k záměně. V tomto článku budeme používat nejnovější notaci. $\podmnožina$

Množina se nazývá nadmnožina množiny , pokud je podmnožinou množiny . $B$ $A$ $A$ $B$

To, co je nadmnožinou množiny , se zapíše , tzn. $B$ $A$ $B\supset A$ $(A\subset B)\Leftrightarrow (B\supset A)\,.$

Množina všech podmnožin množiny se označuje a nazývá se booleovská . $A$ ${\mathcal {P}}(A)$

Sady a se nazývají rovné pouze tehdy, když se skládají ze stejných prvků, tedy a . [2] $A$ $B$ $A=B$ $A\subseteq B$ $B\subseteq A$

Vlastní a nesprávná podmnožina

Jakákoli množina mezi jejími podmnožinami obsahuje sebe a prázdnou množinu . Samotná množina a prázdná množina se nazývají nevlastní podmnožiny , zbývající podmnožiny se nazývají vlastní [3] . $B$ $B$

To znamená, že pokud chceme z uvažování vyloučit sebe a prázdnou množinu, použijeme koncept vlastní podmnožiny, který je definován takto: $B$

množina je vlastní podmnožinou množiny pouze tehdy , když a , .

A

B

A\podmnožina B

A\neq B

A\neq \varnothing

Zahraniční literatura

V zahraniční literatuře se nevlastní podmnožiny ve výše uvedeném smyslu (samotná množina B a prázdná množina) nazývají triviální a vlastní podmnožiny se nazývají netriviální a výraz „ vlastní podmnožina “ se používá ve smyslu „přísného zahrnutí A do B “ nebo „podmnožina A , striktně zahrnutá do množiny B , tedy taková, která nepatří alespoň do jednoho prvku množiny B “, tedy zde již pojem „ vlastní podmnožina “, naopak , zahrnuje prázdnou sadu.

V tomto případě, pokud má být navíc prázdná množina vyloučena z úvahy, musí být použit pojem netriviální podmnožiny, který je definován takto:

množina je netriviální podmnožinou množiny , pokud je její vlastní podmnožinou (správnou podmnožinou) a .

A

B

A

B

A\neq \varnothing

Příklady

Množiny jsou podmnožiny množiny ${\displaystyle \varnothing ,~\{0\},~\{1,3,4\},~\{0,1,2,3,4,5\))$ $\{0,1,2,3,4,5\}.$
Množiny jsou triviální (nevlastní) podmnožiny množiny , všechny ostatní podmnožiny prvků množiny jsou netriviální nebo vlastní. $\varnothing ,~\{0,1,2,3,4,5\}$ $\{0,1,2,3,4,5\},$
Množiny jsou podmnožiny množiny $\{\varnothing ,\uparrow ,{\mbox{oca))\},~\{\$,\%,*,\uparrow \},~\{\varnothing \},~\varnothing$ $\{\$,\%,\varnothing ,\uparrow ,*,{\mbox{oca))\}.$
Nechte Pak $A=\{a,b\}.$ ${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}.$
Nechte _ Pak a také (to znamená, že C není ani striktní, ani nestriktivní podmnožina A ). ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\;B=\{1,2,3\},\;C=\{4,5,6,7\))$ $B\subset A,\;C\ne \subset A,$ $\neg (C\subsetneq A)$

Vlastnosti

Relace podmnožiny má řadu vlastností [4] .

Relace podmnožiny je relace částečného řádu :
- Vztah podmnožiny je reflexivní : $B\subset B$
- Vztah podmnožiny je antisymetrický : $(A\subset B\;\land \;B\subset A)\Leftrightarrow (A=B)$
- Vztah podmnožiny je tranzitivní : $(A\podmnožina B\;\land \;B\podmnožina C)\Rightarrow (A\podmnožina C)$
Prázdná množina je podmnožinou jakékoli jiné, takže je to nejmenší množina s ohledem na vztah podmnožiny: $\varnothing \subset B$
Pro libovolné tři množiny a takové, že všechny příkazy: $A,$ $B$ $X$ $A,B\subset X,$
- $A\subset B;$
- $A\cap B=A;$
- $A\cup B=B;$
- $X\setminus B\subset X\setminus A;$
- $(A\cap X)\setminus B=\varnothing ;$
- $A\cap (X\setminus B)=\varnothing ;$
- $(X\setminus A)\cup B=X;$
- $B^{\complement }\subset A^{\complement }$

jsou ekvivalentní [5] .

Podmnožiny konečných množin

Pokud je původní množina konečná, pak má konečný počet podmnožin. Konkrétně sada -prvků má podmnožiny (včetně prázdné ). Abychom to ověřili, stačí poznamenat, že každý prvek může být zahrnut nebo nezahrnut do podmnožiny, což znamená, že celkový počet podmnožin bude násobkem součinu dvojek. Uvažujeme -li pouze podmnožiny -prvkové množiny prvků, pak je jejich počet vyjádřen binomickým koeficientem . Chcete-li tuto skutečnost ověřit, můžete prvky podmnožiny vybrat postupně. První prvek lze volit způsoby, druhý způsobem a tak dále a nakonec lze určitým způsobem volit tý prvek. Dostaneme tedy posloupnost prvků a takovým posloupnostem odpovídá právě jedna podmnožina. Celkem tedy existují takové podmnožiny. $n$ $2^{n}$ $n$ $n$ $k\leq n$ $\textstyle {\binom {n}{k))$ $n$ $n-1$ $k$ $n-k+1$ $k$ $k!$ $\textstyle {\frac {n(n-1)\tečky (n-k+1)}{k!)}={\binom {n}{k))$

Poznámky

↑ Birkhoff, 1976 , s. deset.
↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N., Romankov V. A. Obecná algebra. Svazek 1. - M., Nauka, 1990. - str. jedenáct
↑ Podmnožina. // Matematický encyklopedický slovník. / ed. Yu V. Prochorov . - M., Sovětská encyklopedie, 1988. - str. 465
↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Kapitola 2. Reálná čísla // Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 65. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Kelly J. Obecná topologie. - M., Nauka, 1981. - str. 16

Literatura

Vereshchagin N.K., Shen A. Přednášky o matematické logice a teorii algoritmů. Část 1. Počátky teorie množin - 3. vydání, stereotyp. - M. : MTSNMO, 2008. - 128 s. - ISBN 978-5-94057-321-0 .
Birkhoff G. , Barty T. Moderní aplikovaná algebra. — M .: Mir, 1976. — 400 s.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Subset (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Logika

Filosofie • Sémantika • Syntaxe • Historie

Logické skupiny

klasická logika	Aristotelská logika výroková logika Logika prvního řádu Logika druhého řádu logika vyššího řádu
matematická logika	teorie množin Teorie modelu Teorie vyčíslitelnosti Důkazová teorie a konstruktivní matematika Lineární logika formální systém přirozený závěr Sekvenční počet Algebra logiky Relevantní logika Deontická logika intuicionistická logika Lambekův počet
Neklasická logika	intuicionismus fuzzy logika Substrukturální logika logika Popisná logika Vícehodnotová logika Logická syntéza Závazná logika Temporální logika Modální logika ( Hybrid logic ) epistemická logika
Filosofická logika	Kritické myšlení neformální logika deduktivní uvažování

Komponenty

Seznam booleovských symbolů