Oddělitelný prostor
Oddělitelný prostor (z latinského separabilis - oddělitelný) je topologický prostor , ve kterém lze rozlišit spočetnou všude hustou podmnožinu [1] .
Mnoho prostorů, které vznikají v kalkulu a geometrii , je oddělitelných. Oddělitelné prostory mají některé vlastnosti, které jsou pro matematiky přitažlivé, pramenící ze schopnosti reprezentovat každý prvek prostoru jako limitu posloupnosti prvků z počitatelné množiny, stejně jako jakékoli reálné číslo může být reprezentováno jako limita posloupnosti racionální čísla .
Mnoho teorémů lze konstruktivně dokázat pouze pro separovatelné prostory. Typickým příkladem takového teorému je Hahn-Banachova věta , kterou lze konstruktivně dokázat v případě oddělitelných prostorů, ale jinak k tomu používá axiom výběru .
Vlastnosti
- Souvislý obraz oddělitelného prostoru je oddělitelný.
- Každý otevřený topologický podprostor separovatelného prostoru je separovatelný.
- Nanejvýš spočetný součin oddělitelných prostorů je oddělitelný. (Navíc již není nutné, aby byl součin libovolného počtu oddělitelných mezer oddělitelný).
- Množina všech spojitých funkcí s reálnou hodnotou na oddělitelném prostoru má mohutnost nanejvýš kontinuum (protože spojitá funkce je jednoznačně definována svými hodnotami na husté podmnožině).
- Oddělitelnost v případě metrického prostoru je ekvivalentní mít spočetný základ topologie. Kompaktní metrický prostor je oddělitelný.
- Pokud metrický prostor obsahuje nespočetné množství prvků, jejichž párová vzdálenost je větší než nějaká kladná konstanta, pak prostor není oddělitelný.
Příklady
- Diskrétní topologický prostor je oddělitelný právě tehdy, když je nanejvýš spočetný.
- Prostor reálných čísel je oddělitelný: zde jsou racionální čísla spočetná všude hustá množina . Obecněji řečeno, mezery a jsou oddělitelné.
- Prostor spojitých funkcí na segmentu s metrikou rovnoměrné konvergence (tedy prostor ) je oddělitelný. Podle Weierstrassovy aproximační věty je prostor polynomů s racionálními koeficienty na stejném intervalu jeho spočetný všude hustý podprostor. Banach-Mazurův teorém říká, že jakýkoli oddělitelný Banachův prostor je izomorfní k nějakému uzavřenému podprostoru .
- Hilbertův prostor je oddělitelný právě tehdy, když má spočetný ortonormální základ .
- Prostor není oddělitelný, protože obsahuje nespočetnou množinu s párovými vzdálenostmi rovnými jedné (množina všech posloupností nul a jedniček).
- Hölderovy prostory nejsou oddělitelné. [2]
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![C[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e160d783783c799aae07cf78d250747461af0ff9)
Poznámky
- ↑ J. Kelly Obecná topologie. - M .: Nauka, 1968 - str. 75
- ↑ Prostory spojitých funkcí s indexem zlomkové hladkosti. . Získáno 26. března 2013. Archivováno z originálu dne 23. března 2017.