Rovnoměrná konvergence

Dovolit být libovolná množina , být metrický prostor a být posloupnost funkcí. Říká se, že posloupnost konverguje rovnoměrně [1] k funkci , pokud pro kteroukoli existuje takové číslo , že pro všechna čísla a všechny body je nerovnost $X$ $Y=(Y,d)$ $f_{n}\dvojtečka X\to Y,\ n=1,2,\tečky$ $f_n$ $f\dvojtečka X\to Y$ $\varepsilon >0$ $N_\varepsilon$ $n>N_{\varepsilon }$ $x\in X$

\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon

Obvykle se označuje . $f_{n}\rightrightarrows f$

Tato podmínka je ekvivalentní

\lim _{{n\to \infty }}\sup _{{x\in X}}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0.

Vlastnosti

Jestliže je lineární normovaný prostor a posloupnosti zobrazení a konvergují rovnoměrně na množině , pak posloupnosti a pro libovolné také konvergují rovnoměrně na . $Y$ $f_{n}\dvojtečka X\to Y$ $g_{n}\dvojtečka X\to Y$ $n=1,2,\tečky$ $X$ $\{f_{n}+g_{n}\}$ $\{\alpha f_{n}\}$ $\alpha \in \mathbb{R}$ $X$

Pro funkce s reálnou hodnotou (nebo obecněji, pokud je lineární normovaný kruh ), posloupnost zobrazení konverguje rovnoměrně na množině a ohraničeném zobrazení, pak posloupnost také konverguje jednotně na . $Y$ $f_{n}\dvojtečka X\to \mathbb{R}$ $X$ $g\colon X\to \mathbb{R}$ $\{gf_{n}\}$ $X$

Jestliže je topologický prostor , je metrickým prostorem a posloupnost zobrazení spojitých v bodě konverguje rovnoměrně na množině k zobrazení , pak je toto zobrazení také spojité v bodě . $X$ $Y$ $x_{0}\v X$ $f_{n}\dvojtečka X\to Y$ $X$ $f\dvojtečka X\to Y$ $x_{0}$

Jestliže posloupnost Riemannových ( Lebesgueových ) integrovatelných funkcí konverguje rovnoměrně na intervalu k funkci , pak je tato funkce také Riemannově (respektive Lebesgueova) integrovatelná a rovnost platí pro libovolnou a konvergenci posloupnosti funkcí na intervalu k a funkce je jednotná. $f_{n}\dvojtečka [a,b]\to \mathbb{R}$ $[a,b]$ $f\dvojtečka [a,b]\to \mathbb{R}$ $x\in[a,b]$
     $\lim _{{n\to \infty }}\int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

     $x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt$
$[a,b]$
     $x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

Jestliže posloupnost spojitě diferencovatelných funkcí na segmentu , konverguje v určitém bodě a posloupnost jejich derivací konverguje rovnoměrně k , pak posloupnost také konverguje rovnoměrně na , a její limita je funkce spojitě diferencovatelná na tomto segmentu. $[a,b]$ $f_{n}\dvojtečka [a,b]\to \mathbb{R}$ $x_{0}$ $[a,b]$ $\{f_{n}\}$ $[a,b]$

Poznámky

↑ Kudryavtsev L. D. Jednotná konvergence // Mathematical Encyclopedia : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie, 1984. - T. 4: Dobře - Slo. - S. 787-789. - 1216 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.

Literatura

Aleksandrov P. S. Úvod do teorie množin a obecné topologie, M., 1977.
Kolmogorov A. N., Fomin S. B. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. 5. vydání, M., 1981.
Kelly J. L. Obecná topologie. 2. vydání, M., 1951.
Medveděv F. A. K historii konceptu jednotné konvergence řad. // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka , 1974. - č. 19 . - S. 75-93 .