Riemannův integrál

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. dubna 2022; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Riemannův integrál je nejrozšířenější formou určitého integrálu . Velmi často se termín „určitý integrál“ vztahuje k Riemannovu integrálu a je studován jako vůbec první ze všech určitých integrálů ve všech kurzech matematické analýzy. [1] Představený Bernhardem Riemannem v roce 1854 a je jednou z prvních formalizací konceptu integrálu . [2]

Neformální popis

Riemannův integrál je formalizací konceptu plochy pod grafem. Rozdělme segment, nad kterým hledáme oblast, na konečný počet podsegmentů. Na každém z podsegmentů vybereme určitý bod grafu a sestrojíme svislý obdélník s podsegmentem jako základnou právě k tomuto bodu grafu. Uvažujme číslo získané z takových obdélníků. Plocha S takového obrazce se specifickým rozdělením na segmenty s délkami bude dána součtem: $\Delta x_{i}$

{\displaystyle \sigma =\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i))

Je intuitivně jasné, že pokud zmenšíme délky těchto subsegmentů, pak se plocha takového obrazce bude stále více blížit ploše pod grafem. Právě tato poznámka vede k definici Riemannova integrálu. [3]

Definice

Klasická definice

Nechť je na intervalu definována funkce s reálnou hodnotou . Budeme počítat . $[a,b]$ $F$ $a<b$

Pro definování integrálu je nejprve nutné definovat pojem dělení segmentu a další definice s ním související.

Oddíl (neoznačený) segmentu je konečná množina bodů segmentu , která zahrnuje body a . Jak je patrné z definice, oddíl obsahuje vždy alespoň dva body. Dělicí body mohou být uspořádány vzestupně: . Množina všech oddílů segmentu bude označena . $[a,b]$ $[a,b]$ $A$ $b$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\tečky <x_{{n-1}}<x_{n}=b$ $[a;b]$ $T[a;b]$

Dělící body, mezi kterými nejsou žádné jiné dělící body, se nazývají sousední . Segment, jehož konce jsou sousedními dělicími body, se nazývá částečný dělený segment . Takové segmenty označujeme jako . Délka dílčího segmentu oddílu je označena . Délka největšího segmentu se nazývá průměr přepážky . Pro rozdělení bude jeho průměr označen jako . $\Delta _{i}=[x_{i-1};x_{i}]$ $\Delta _{i}$ $\Delta x_{i}$ $\tau$ $d(\tau )$

Značení oddílu je konečná uspořádaná množina tak, že . Sada všech označení oddílu bude označena jako . $(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ ${\displaystyle \xi _{i}\in \Delta _{i))$ $\tau$ $\Xi (\tau )$

Označený oddíl je uspořádaný pár , kde je neoznačený oddíl a je nějaké označení . Množina všech označených oddílů segmentu bude označena jako . $(\tau ,\xi )$ $\tau$ $\xi$ $\tau$ $[a;b]$ $T'[a;b]$

Po všech těchto definicích můžeme přistoupit k přímé definici Riemannova integrálu.

Nechť je uveden nějaký označený oddíl . Riemannův integrální součet funkce na označeném oddílu se nazývá . Riemannův integrál bude limitem těchto součtů, protože průměr přepážky má tendenci k nule. Je zde však jedna jemnost: jedná se o limitu funkce s označenými oddíly jako argumenty, nikoli čísla, a obvyklý pojem limity při přiblížení k bodu zde neplatí. Je nutné uvést formální popis toho, co máme na mysli slovním spojením „mez při průměru přepážky klesající k nule“ $(\tau ,\xi )$ $F$ $(\tau ,\xi )$ ${\displaystyle \sigma (f,\tau ,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i))$

Dovolit je funkce přidělující nějaké číslo označenému oddílu. Číslo se nazývá limit funkce , když průměr přepážky má tendenci k nule $g:T'[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $C$ $G$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ,\xi )\in T'[a;b],d(\tau )<\delta :|g(\tau ,\xi )-c|<\varepsilon

Označení: $c=\lim _{d(\tau )\to 0}g(\tau ,\xi )$

Takový limit je speciálním případem základního limitu . Ve skutečnosti označujeme množinu všech označených oddílů s průměrem menším než . Pak je množina základem množiny a výše definovaná limita není nic jiného než limita nad touto bází. Pro takové limity jsou tedy splněny všechny vlastnosti vlastní základním limitům. $\delta$ ${\displaystyle D'_{\delta ))$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{D'_{\delta }|\delta >0\))$ $T'[a;b]$

Nakonec můžeme definovat Riemannův integrál. Riemannův integrál funkce v rozsahu od do $F$ $A$ $b$ je limita integrálních Riemannových součtů funkce na označených přepážkách segmentu s průměrem přepážky inklinujícím k nule. Pomocí integrálního zápisu je to zapsáno takto: $F$ $[a;b]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau,\xi )

Pro případ je také definován Riemannův integrál . Neboť je definován jako $a\geq b$ $a>b$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx

Za jak $a=b$

\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0

[čtyři]

Prostřednictvím Darbouxových integrálů

Riemannův integrál lze definovat alternativním způsobem pomocí Darbouxových integrálů. Obvykle se taková definice dokazuje jako vlastnost a věta o jejich ekvivalenci se nazývá Darbouxova věta . Výhodou takové definice je, že nám umožňuje obejít se bez pojmu označeného oddílu, hranice oddílu, a poskytuje jasnější pohled na pojem integrovatelnosti.

Pro neoznačený oddíl označujeme nejmenší infimum funkce na segmentu a označme největší supremum. $\tau$ $m_i$ $F$ $\Delta _{i}$ $M_{i}$

Nižší Darbouxův součet se nazývá . ${\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))$

Horní součet Darboux se nazývá . [5] ${\displaystyle S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i))$

Nižší Darbouxův integrál se nazývá . $I_{*}=\sup _{\tau \in T[a;b]}s(f,\tau )$

Horní Darbouxův integrál se nazývá . [6] $I^{*}=\inf _{\tau \in T[a;b]}S(f,\tau )$

Darbouxovy integrály existují pro jakoukoli funkci omezenou na interval integrace. Pokud se Darbouxovy integrály shodují a jsou konečné, pak se funkce nazývá Riemann integrovatelná na intervalu a toto číslo samotné se nazývá Riemannův integrál. [7] $F$ $[a;b]$

Darbouxův integrál lze také definovat jako limit pro neoznačené přepážky, přičemž průměr přepážky má tendenci k nule. Limit pro neoznačené diskové oddíly je definován podobně jako limit pro neoznačené diskové oddíly, ale i tento pojem formalizujeme. Dovolit je funkce přidělující nějaké číslo neoznačené oblasti. Číslo se nazývá limit funkce , když průměr přepážky má tendenci k nule $g:T[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $C$ $G$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall \tau \in T[a;b],d(\tau )<\delta :|g(\tau )-c|<\ varepsilon

Označení: [8] $c=\lim _{d(\tau )\to 0}g(\tau )$

Takový limit je také speciálním případem základního limitu. Základem zde bude sestava , kde . [9] Potom: ${\mathfrak {B}}=\{D_{\delta }|\delta >0\}$ ${\displaystyle D_{\delta }=\{\tau \in T[a;b]|d(\tau )<\delta \))$

Nižší Darbouxův integrál se nazývá . $I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )$

Horní Darbouxův integrál se nazývá . [deset] $I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )$

Integrovatelné funkce

Funkce, pro kterou Riemannův integrál existuje v mezích od do (je-li limita rovna nekonečnu, pak se má za to, že integrál neexistuje), se nazývá Riemannův integrovatelný na segmentu [a;b] . [11] Množina funkcí integrovatelných na interval se nazývá množina funkcí integrovatelných na intervalu a značí se . $A$ $b$ $f:[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $[a;b]$ $[a;b]$ $R[a;b]$

Hlavní a nejpříhodnější podmínkou integrability je Lebesgueovo kritérium: množina funkcí integrovatelných na intervalu je přesně ta množina funkcí, které jsou ohraničené a spojité téměř všude na tomto intervalu. Toto kritérium umožňuje téměř okamžitě získat většinu dostatečných podmínek pro integrovatelnost. Důkaz tohoto tvrzení je však značně komplikovaný, proto bývá v metodické prezentaci často opomíjen a další důkazy jsou založeny na Riemannově kritériu. Prokázat existenci Riemannova integrálu na základě Riemannova kritéria je obtížnější než na základě Lebesgueova kritéria.

Kritéria integrovatelnosti

Cauchyho kritérium . Funkce je Riemannově integrovatelná na segmentuif $[a,b]$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ',\xi '),(\tau '',\xi '')\in T'[a;b], d(\tau ')<\delta ,d(\tau '')<\delta :|\sigma (f,\tau ',\xi ')-\sigma (f,\tau '',\xi '' )|<\varepsilon

[12] Toto kritérium není nic jiného než záznam Cauchyho kritéria konvergence v bázi pro případ Riemannova integrálu.

Darbouxovo kritérium. Funkce je Riemannově integrovatelná na intervalu právě tehdy, když se horní Darbouxův integrál shoduje s dolním a je konečný. [13] $[a,b]$

Na tomto kritériu je založena alternativní definice Riemannova integrálu.

Riemannovo kritérium . Oscilaci funkce na množině definujeme jako . [čtrnáct] $f(x)$ $E$ $\omega (f,G)=\sup _{x\in E}f(x)-\inf _{x\in E}f(x)=\sup _{x,y\in E} |f(x)-f(y)|$

Potom se -součet funkce na oddílu nazývá . [15] [16]

\Omega

F

\tau

\Omega (f,\tau )=\součet _{i=1}^{n}\omega (f,\Delta _{i})=S(f,\tau )-s(f,\ tau)

Funkce je Riemannově integrovatelná právě tehdy, když je omezená a limita -součtů, protože průměr přepážky má tendenci k nule, je rovna . [17]

\Omega

0

Riemannovo kritérium infinum. Existuje také varianta Riemannova kritéria využívajícího pojem přesné hrany spíše než limity: funkce je integrovatelná tehdy a pouze tehdy, když . [18] [19] $\inf _{\tau \in T[a;b]}\Omega (f,\tau )=0$
Speciální Riemannovo kritérium. Ve skutečnosti mohou být v Riemannově kritériu požadovány slabší podmínky.

Označte rozdělením segmentu na stejné segmenty. Funkce je integrovatelná na tento segment právě tehdy, když má posloupnost tendenci k nule. [dvacet]

\tau_n

n

\Omega (f,\tau _{n})

Riemannovo speciální kritérium infinum. Funkce je integrovatelná na segment tehdy a pouze tehdy, když . [21] $\inf _{n\in \mathbb {N} }\Omega (f,\tau _{n})=0$
Dubois-Reymondovo kritérium. Definujme fluktuaci funkce v bodě jako přesnou dolní hranici hodnoty fluktuací funkce v okolí tohoto bodu (pokud definiční obor funkce nezahrnuje úplné okolí bodu, pak pouze jsou uvažovány ty body okolí, které jsou zahrnuty v definiční oblasti).

\omega (f,x_{0})=\inf _{U(x_{0})}\omega (f,U(x_{0})\cap X)

[čtrnáct] Ve skutečnosti je oscilace funkce v bodě rozdílem mezi funkcí a spojitou funkcí. V bodě spojitosti je roven , v bodě nespojitosti je větší než .

0

0

Funkce je Riemannově integrovatelná právě tehdy, když je omezená a pro libovolnou množinu všech bodů , v nichž má nulovou Jordanovu míru (tj. pro libovolnou ji lze pokrýt konečnou množinou intervalů s celkovou délkou menší než ). [22]

\varepsilon

x\in[a;b]

\omega (f,x)\geq \varepsilon

\delta>0

\delta

Lebesgueovo kritérium. Funkce je Riemannově integrovatelná na segmentu právě tehdy, je-li omezena na tento segment a množina bodů, kde je nespojitá , má nulovou Lebesgueovu míru (to znamená, že pro všechny může být pokryta spočetnou rodinou intervalů s celková délka menší než ). [23] $[a,b]$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

Dostatečné podmínky pro integrovatelnost

Všechny níže uvedené dostatečné podmínky integrovatelnosti vyplývají téměř okamžitě z Lebesgueova kritéria.

Funkce spojitá na intervalu je na něj integrovatelná [24]
Funkce omezená na interval, nespojitá v konečném počtu svých bodů, je integrovatelná na tomto intervalu [25]
Monotónní funkce na intervalu, do něj integrovatelná [26]
Součin integrovatelné funkce a čísla je integrovatelný [27]
Součet integrovatelných funkcí je integrovatelný [27]
Součin integrovatelných funkcí je integrovatelný [28]
Pokud je poměr dvou integrovatelných funkcí omezený, pak je integrovatelný. Zvláštní případ je, pokud množina hodnot jmenovatele nemá mezní bod. [čtrnáct] $0$
Modul integrovatelné funkce je integrovatelný. [29]
Složení funkcí , kde je spojité na segmentu a je integrovatelné na , integrovatelné na . [třicet] $f(g(x))$ $F$ $[\inf g(x),\sup g(x)]$ $G$ $[a;b]$ $[a;b]$
Pokud je funkce integrovatelná na nějakém intervalu, pak je integrovatelná na kterémkoli z jeho podsegmentů. [31]
Nechť a být funkce integrovatelné na a . Pak je integrovatelný na . [32] $a<b<c$ $F$ $[a;b]$ $[b;c]$ $[a;c]$

Vlastnosti

Další vlastnosti platí pouze tehdy, existují-li odpovídající integrály.

Nezbytná podmínka integrovatelnosti. Funkce integrovatelná na segment je na něj omezena. [33] $[a;b]$
Nezápornost. Pro nezápornou funkci na intervalu $[a;b]$ $a<b$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$ [34]
Pozitivita. Pro nezápornou a spojitou funkci na segmentu , , která je nenulová alespoň v jednom bodě $[a;b]$ $a<b$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx>0$ [35]
Linearita. $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a }^{b}g(x)\,dx$ [27]

Pro existenci všech těchto tří integrálů stačí existence dvou z nich. Pro každého

\lambda \in \mathbb {R}

\int _{a}^{b}\lambda f(x)\,dx=\lambda \int _{a}^{b}f(x)\,dx

[27] Existence pravého integrálu implikuje existenci levého integrálu. Jestliže , pak existence levice implikuje existenci pravice.

\lambda \neq 0

Aditivitu. Pro libovolná čísla $a,b,c$ $\int _{a}^{c}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f( x)\,dx$ [32]

K existenci všech těchto tří integrálů stačí mít integrál nad větším segmentem nebo nad dvěma menšími.

Monotónní. Nechat a dál . Pak $a<b$ $f(x)\leq g(x)$ $[a;b]$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$ [34]
Školní známka. Nech , , . Pak $a<b$ $m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)$ $M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)$

m(ba)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(ba)

[36]

Hodnocení modulu. Nechte _ $a<b$ $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\, dx$ [29]

Aby tyto dva integrály existovaly, stačí existence levého integrálu. Existuje variace této vlastnosti pro libovolné a .

A

b

\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \left|\int _{a}^{b}\left|f(x)\right |\,dx\right|

[37]

Věta o střední hodnotě . Pro lepší pochopení nejprve formulujeme větu o střední hodnotě v mírně zjednodušené formulaci.

Průměrná hodnota funkce na segmentu se nazývá .

F

[a;b]

{\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Věta o střední hodnotě říká, že funkce spojitá na segmentu nabývá střední hodnoty v určitém bodě na tomto segmentu.

\exists c\in [a;b]:f(c)={\frac {1}{ba))\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Tuto podmínku můžete napsat bez dělení, abyste pokryli případ, kdy .

ba

a=b

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(ba)

V takovém zápisu platí věta o střední hodnotě pro všechny hodnoty a .

A

b

Ve skutečnosti platí mnohem obecnější podmínka. Nechť být integrovatelný na , , . Pak

F

[a;b]

m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)

M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)

\exists \mu \in [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\mu (ba)

[36] Tato věta se také někdy nazývá integrální věta o střední hodnotě, aby se odlišila od následujících. [38]

Zobecněná věta o střední hodnotě . Nechť je funkceintegrovatelná na segmentu,,, a funkce jeintegrovatelná a má konstantní znaménko. Pak $F$ $[a;b]$ $m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)$ $M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)$ $G$

\exists \mu \in [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\mu \int _{a}^{b}g (x)\,dx

[39] Věta opět platí pro všechny a .

A

b

Pro tento teorém lze také dát variaci v případě spojitosti . [40]

F

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b} g(x)\,dx

Někdy se tato věta, a ne ta předchozí, nazývá věta o střední hodnotě. Abychom ji odlišili od další, nazývá se tato věta první věta o střední hodnotě . [41]

Druhá věta o střední hodnotě . Nechť je funkceintegrovatelná na intervalua funkce jemonotónní. Pak $F$ $[a;b]$ $G$

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c} f(x)\,dx+g(b)\int _{c}^{b}f(x)\,dx

[42] Druhá věta o střední hodnotě má variace pro nezáporné funkce . Nechť je funkce integrovatelná na segmentu a funkce je nezáporná a neroste. Pak

G

F

[a;b]

G

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c} f(x)\,dx

[43] Nechť je funkce integrovatelná na intervalu a funkce je nezáporná a neklesající. Pak

F

[a;b]

G

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(b)\int _{c}^{b} f(x)\,dx

[43]

Nezávislost na množinách míry nula. Pokud jsou dvě funkce integrovatelné na interval a jsou stejné téměř všude na něm, pak jsou jejich integrály také stejné. Hodnota Riemannova integrálu tedy nezávisí na hodnotě funkce na množině nulové míry. Jeho existence však závisí: například nula a Dirichletova funkce jsou si téměř všude rovny, ale integrál první funkce existuje, ale ne druhé.

Integrál s horním limitem proměnné

Funkce definovaná pomocí integrálu následovně $h(x)$

h(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt

se nazývá integrál s horní proměnnou mez . [38]

Vlastnosti:

Definiční obor je interval, do kterého bod vstupuje. $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ $A$
Integrál s horní mez proměnné je spojitý. [38] $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$
Navíc integrál s horní proměnnou limitou je Lipschitzova funkce
V bodech , kde je spojitý, je integrál s horní limitou proměnné diferencovatelný a hodnota jeho derivace je rovna . [44] $X$ $f(x)$ $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ $f(x)$

Poslední vlastnost umožňuje použít integrál s horním limitem proměnné k zápisu primitivní funkce. Vztahuje tedy neurčitý integrál a integrál definovaný následujícím vztahem:

\int f(x)\,dx=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+C

Tato rovnost je také pravdivá, pokud je integrovatelná a má primitivní prvek na . [45] $F$ $[a;b]$

Výpočet

Pro výpočet Riemannových integrálů v nejjednodušších případech se používá Newton-Leibnizův vzorec, který je důsledkem vlastností integrálu s horní proměnnou limitou.

Newtonův-Leibnizův vzorec . Nechť jespojitá na,jeho primitivní na,. Pak $f(x)$ $[a;b]$ $F(x)$ $[a;b]$ $a \neq b$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

[46]

V praktických výpočtech se také používají následující metody:

Variabilní substituce . Nechť je potřeba vypočítat integrál

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Provede se výměna , po které se přepočítají meze integrace a diferenciál:

x=\varphi (t)

a=\varphi (\alpha ),b=\varphi (\beta ),dx=\varphi '(t)\,dt

Pak

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\varphi '(t)\,dt

Aby takové nahrazení bylo legální, je nutná kontinuita a průběžná diferencovatelnost a přísná monotónnost . [47]

F

\varphi

Integrace po částech . Metoda integrace po částech spočívá v použití následujícího vzorce:

\int _{a}^{b}u\,dv=(uv){\bigr |}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,du

Vzorec je legální, pokud a jsou průběžně diferencovatelné. [48]

u

proti

Ve skutečnosti jsou mnohé ze specifikovaných podmínek pro Newton-Leibnizův vzorec a výše uvedené dvě metody nadbytečné a mohou být výrazně oslabeny. [49] [48] [50] Takové podmínky však budou složitější, navíc pro většinu praktických případů tyto podmínky postačují. Navíc v redukované formě tyto podmínky také zaručují existenci všech integrálů, což nám umožňuje omezit se pouze na kontrolu těchto jednoduchých podmínek před aplikací příslušných metod.

Integrace liché funkce . Nechte lichou funkci integrovatelnou na segment. Pak $F$ $[-a;a]$

\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0

[51]

Integrace sudé funkce . Nechť je sudá funkce integrovatelná na intervalu. Pak $F$ $[-a;a]$

\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int _{0}^{a}f(x)\,dx

[51]

Integrace periodické funkce . Nechte to mít období a být integrovatelné na . Pak je integrovatelný na jakýkoli interval a pro jakýkoli $F$ $T$ $[0;T]$ $A$

\int _{a}^{a+T}f(x)\,dx=\int _{0}^{T}f(x)\,dx

[51]

Historie

Výše uvedenou definici integrálu podal Cauchy [52] a byla aplikována pouze na spojité funkce.

Riemann v roce 1854 (publikován v roce 1868 [2] , v ruštině poprvé v roce 1914 [53] [54] ) uvedl stejnou definici bez předpokladu kontinuity. Moderní podobu Riemannovy teorie podal Darboux (1879).

Variace a zobecnění

Riemannův integrál částečně daných funkcí. Někdy má smysl definovat Riemannův integrál pro funkce částečně definované na intervalu . Určuje se, zda při jakémkoli rozšíření funkce na zcela danou je její integrál roven stejné hodnotě. V tomto případě je tato hodnota považována za Riemannův integrál částečně dané funkce. Například: můžete uvažovat funkce, které nejsou definovány v konečném počtu bodů. Pokud jsou navíc ve všech ostatních bodech téměř všude spojité, pak je jakékoli rozšíření na zcela danou funkci integrovatelné a jejich hodnoty jsou stejné, protože hodnota integrálu nezávisí na hodnotě na množině měření. nula. Pro takové funkce dokonce existuje zobecnění Newton-Leibnizova vzorce. [55] Avšak ani u počitatelné množiny tomu tak vždy není. Vezměme si funkci definovanou pouze na množině iracionálních čísel. Lze jej různými způsoby rozšířit až k funkci Dirichlet. V jednom případě je integrovatelný, v druhém ne. Na druhou stranu, pokud vezmeme v úvahu , které je na Cantorově množině neurčité , pak každé dokončení takové funkce bude integrovatelné. $[a;b]$ $0$ $0$ $0$
Riemannův integrál vektorových funkcí. Riemannův integrál lze definovat pro funkce s hodnotami v libovolném topologickém vektorovém prostoru nad . Například můžeme uvažovat integrál vektorových funkcí (funkce s hodnotami v euklidovském prostoru ). Tyto funkce jsou integrovány souřadnicově, a proto jsou do nich také přeneseny téměř všechny vlastnosti. [56] $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
Riemannův nesprávný integrál . Někdy je potřeba uvažovat integrál přes nekonečný interval nebo z neomezené funkce. Nevlastní integrál je zobecněním Riemannova integrálu pro takové případy. Pro nekonečné intervaly je nevlastní integrál definován následovně:

\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\lim _{y\to +\infty }\int _{a}^{y}f(x)\, dx

Pro konečné intervaly s neomezenou funkcí v blízkosti horní meze je definován takto:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{y\to b-}\int _{a}^{y}f(x)\,dx

Zbývající případy jsou definovány podobně. Pokud jsou v intervalu nekonečné body nespojitosti nebo jsou obě limity nekonečné, pak se integrál aditivity rozdělí na několik. Klíčovým rysem této definice je, že pro integrovatelné funkce se takové limity shodují s obvyklými (nazývanými vlastními, abychom je mohli odlišit od nevlastních) integrálů. Nevlastní Riemannův integrál je tedy jen vlastním zobecněním.

Vícenásobný Riemannův integrál . Vícenásobný integrál je vzat z funkcí mnoha proměnných přes nějakou podmnožinu. Uvažuje se o rozdělení těchto souborů na Jordanově měřitelné podmnožiny . Označují se v nich body a sestavují se integrální součty (místo délek intervalů se berou Jordanovy míry odpovídajících podmnožin). Průměr podmnožiny takové přepážky je supremum všech vzdáleností mezi body. Samotný průměr přepážky je minimální průměr podmnožinových přepážek. Limit integrálních součtů, protože průměr přepážek má tendenci k nule, se nazývá vícenásobný integrál. $\mathbb {R} ^{n}$

Mnoho vlastností vícenásobných integrálů se shoduje s těmi obvyklými, ale některé ne (například změna vzorce proměnných). Na rozdíl od populární mylné představy nejsou přesným zobecněním Riemannova integrálu, protože vícenásobný integrál je převzat z neorientované množiny a obvyklý vyžaduje nastavení směru segmentu.

Křivočarý integrál . Podobně jako u vícenásobného integrálu se bere z funkce několika proměnných, ale již podél křivky. Křivka je také rozdělena na podkřivky, hodnoty funkce se vynásobí délkami odpovídajících podkřivek a sečtou.
Plošný integrál . Téměř podobný křivočarému integrálu, s tím rozdílem, že je převzat po povrchu a hodnoty funkcí ve vyznačených bodech jsou vynásobeny plochou odpovídajících sekcí.
Lebesgueův integrál . Alternativní přístup k definici integrálu. Zde se místo rozdělení domény definice integrovatelné funkce rozdělí doména hodnot, načež se body rozdělení vynásobí mírami inverzních obrázků těchto segmentů a sečtou se mezi sebou. Jak se horní bod předělu zvětšuje, dolní se zmenšuje a jeho průměr se blíží nule, takové součty mají sklon k Lebesgueovu integrálu.

Viz také

Lebesgueův integrál a ekvivalentní Danielův integrál , Youngův integrál
Stieltjesův integrál
Vícenásobný Riemannův integrál
Nevlastní integrál

Poznámky

↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 107.
↑ 1 2 Riemann (článek), 1868 , str. 101-103.
↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 104.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 218.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 190.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 204-205.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 208.
↑ Ilyin, 1985 , str. 337.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 189.
↑ Ilyin, 1985 , str. 338.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 186-188.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 539.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 553.
↑ 1 2 3 Kudryavtsev, 2003 , str. 556.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 224.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 181.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 180.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 185.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 205.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 186.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 187.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 563.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 567.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 548.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 549.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 198.
↑ 1 2 3 4 Kudryavtsev, 2003 , str. 573.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 574.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , str. 578.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 203.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 571.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , str. 572.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 179.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , str. 576.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 577.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 2003 , str. 125.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 579.
↑ 1 2 3 Kudryavtsev, 2003 , str. 587.
↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 126.
↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 127.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 583.
↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 132.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , s. 215.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 588.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 590.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 591.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 596.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , str. 600.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 593.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 601.
↑ 1 2 3 Vilenkin, 1979 , str. 72.
↑ Cauchy, 1831 .
↑ Riemann (kniha), 1914 .
↑ Arkhipov, 1999 , s. 196.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 595.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 607.

Literatura

V.A. Ilyin , V.A. Sadovnichy , Bl. H. Sendov . Matematická analýza. Počáteční kurz. - 2., revidováno. - M . : Nakladatelství Moskevské univerzity, 1985. - T. 1. - 660 s.
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu ve třech svazcích. - Ed. 8. - M. : Nauka, 2003. - T. 2. - 864 s.
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Přednášky o matematické analýze / Ed. V. A. Sadovnichy. - 1. vyd. - M . : Vyšší škola , 1999. - 695 s. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Kurz matematické analýzy. Ve 3 svazcích. T. 1. Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné - M. : Drofa, 2003. - 704 s.
Vilenkin N.Ya., Kunitskaya E.S., Mordkovich A.G. Matematická analýza. Integrální počet. - M .: Prosveschenie, 1979. - 176 s.
Cauchy AL Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites. — Turín, 1831.
Riemann B. Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1868. - Sv. 13. - S. 87-132.
Riemann B. O možnosti vyjádření funkce pomocí goniometrické řady // Dekompozice funkcí v goniometrických řadách / Lejeune-Diriclet, Riemann, Lipschitz; Za. G. A. Gruzintsev a S. N. Bernstein. - Charkov: Charkov Mathematical Society, 1914. - (Kharkovská matematická knihovna. Řada B; č. 2).

Odkazy

Tabulky neurčitých a určitých integrálů - EqWorld: Svět matematických rovnic.
Přesná definice Riemannova integrálu .

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Velký Rus
V bibliografických katalozích	NKC : ph135430

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů