Kontinuální funkce

Spojitá funkce - funkce , která se mění bez okamžitých "skoků" (tzv. breaks ), tedy taková, jejíž malé změny v argumentu vedou k malým změnám hodnoty funkce. Grafem spojité funkce je spojitá čára .

Spojitá funkce je obecně synonymem pro pojem spojité zobrazení , nejčastěji se však tento termín používá v užším slova smyslu - pro zobrazení mezi číselnými prostory, např. na reálné čáře . Tento článek je věnován spojitým funkcím definovaným na podmnožině reálných čísel a nabývajícím reálných hodnot. Obměnu tohoto konceptu pro funkce komplexní proměnné naleznete v článku Komplexní analýza .

Definice

Nechte a . Existuje několik ekvivalentních definic pro spojitost funkce v bodě . $D\subset \mathbb {R}$ $f:D\to \mathbb {R}$ $x_{0}\v D$

Definice z hlediska limity : funkce je spojitá v limitním bodě pro množinu , pokud má limitu v bodě , a tato limita se shoduje s hodnotou funkce : $F$ $x_{0}$ $D$ $F$ $x_{0}$ $f(x_{0})$ $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
Definice pomocí ε-δ formalismu : Funkce je spojitá v bodě , pokud pro jakýkoli existuje taková, že pro jakýkoli , $F$ $x_{0}\v D$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\v D$ $|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$

Komentář: Ve srovnání s definicí limity funkce podle Cauchyho neexistuje v definici spojitosti žádný požadavek, který by zavazoval všechny hodnoty argumentu ke splnění podmínky , tedy být odlišný od a.

X

0<\left\vert xa\right\vert

Definice pomocí o-symbolů : funkce je spojitá v bodě , jestliže $F$ $x_{0}$ $f(x_{0}+\delta )=f(x_{0})+o(1)$ , v . $\delta \to 0$
Definice prostřednictvím fluktuací : funkce je spojitá v bodě, pokud je její fluktuace v daném bodě nulová.

Funkce je spojitá na množině , pokud je spojitá v každém bodě dané množiny. $F$ $E$

V tomto případě říkají, že funkce třídy a napište: nebo podrobněji . $F$ $C^{0}$ $f\in C^{0}(E)$ $f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )$

Body zlomu

Pokud je v určitém bodě porušena podmínka zahrnutá v definici spojitosti funkce, pak říkají, že uvažovaná funkce v tomto bodě trpí diskontinuitou . Jinými slovy, jestliže je hodnota funkce v bodě , pak limita takové funkce (pokud existuje) se neshoduje s . V řeči sousedství se podmínka nespojitosti pro funkci v bodě získá negací podmínky spojitosti pro uvažovanou funkci v daném bodě, totiž: existuje takové okolí bodu rozsahu funkce , že bez ohledu na to, jak blízko se dostaneme k bodu definičního oboru funkce , vždy budou body, jejichž obrazy budou mimo okolí bodu . $A$ $F$ $A$ $A$ $F$ $A$ $A$ $F$ $A$ $F$ $A$

Klasifikace bodů nespojitosti v R¹

Klasifikace nespojitostí funkcí závisí na tom, jak jsou uspořádány množiny X a Y. Zde je klasifikace pro nejjednodušší případ - . Singulární body (body, kde funkce není definována) jsou klasifikovány stejným způsobem . Stojí za zmínku, že klasifikace v se liší od autora k autorovi. $f:X\to Y$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Pokud má funkce v daném bodě diskontinuitu (tj. limita funkce v daném bodě chybí nebo neodpovídá hodnotě funkce v daném bodě), pak pro numerické funkce existují dvě možné možnosti spojené s existencí jednostranných limit pro numerické funkce :

jestliže obě jednostranné limity existují a jsou konečné, pak se takový bod nazývá bod nespojitosti prvního druhu . Mezi body diskontinuity prvního druhu patří odstranitelné diskontinuity a skoky .
pokud alespoň jedna z jednostranných limit neexistuje nebo není konečnou hodnotou, pak se takový bod nazývá bod nespojitosti druhého druhu . Mezi body diskontinuity druhého druhu patří póly a základní body diskontinuity .

Opravitelná mezera
Typ přestávky "skok"
Singulární bod typu "pól". Pokud předefinujeme funkci pro x=2, dostaneme „pólovou“ diskontinuitu.
Významný bod zlomu

Odnímatelný bod přerušení

Pokud limita funkce existuje a je konečná , ale funkce není v tomto bodě definována nebo limita neodpovídá hodnotě funkce v tomto bodě:

\lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a)

pak se bod nazývá bod disponibilní diskontinuity funkce (v komplexní analýze je to disponibilní singulární bod ). $A$ $F$

Pokud funkci „opravíme“ v bodě odstranitelné diskontinuity a dáme , pak dostaneme funkci, která je v tomto bodě spojitá. Taková operace s funkcí se nazývá rozšíření definice funkce na spojitou nebo rozšíření definice funkce o spojitost , což odůvodňuje název bodu jako bod odstranitelné diskontinuity. $F$ $f(a)=\lim \limits _{x\to a}f(x)$

Bod zlomu "skok"

Ke "skoku" diskontinuity dojde, pokud

\lim \limits _{x\to a-0}f(x)\neq \lim \limits _{x\to a+0}f(x)

. Bod zlomu "pól"

K "pólové" diskontinuitě dochází, pokud je jedna z jednostranných limit nekonečná.

\lim \limits _{x\to-0}f(x)=\pm \infty

nebo .

\lim \limits _{x\to a+0}f(x)=\pm \infty

Základní bod zlomu

V místě výrazné diskontinuity alespoň jedna z jednostranných mezí zcela chybí.

Klasifikace izolovaných singulárních bodů v R n , n>1

U funkcí a není potřeba pracovat s body přerušení, ale často je třeba pracovat se singulárními body (body, kde funkce není definována). Klasifikace izolovaných singulárních bodů (tedy těch, kde v nějakém okolí nejsou žádné jiné singulární body) je podobná. $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

Pokud , pak je to odstranitelný singulární bod (podobně jako funkce skutečných argumentů). $\exists \lim \limits _{x\to a}f(x)$
Pól je definován jako . Pokud ve vícerozměrných prostorech roste modul čísla, má se za to, že bez ohledu na to, jak roste. $\lim \limits _{x\to a}f(x)=\infty$ $f(x)\to \infty$
Pokud limita vůbec neexistuje, je to podstatný singulární bod .

Chybí pojem „skok“. To, co je považováno za skok v prostorech vyšších dimenzí, je podstatným singulárním bodem. $\mathbb {R}$

Vlastnosti

Místní

Funkce spojitá v bodě je ohraničena v nějakém okolí tohoto bodu. $A$
Pokud je funkce spojitá v bodě a (nebo ), pak (nebo ) pro všechny dostatečně blízko k . $F$ $A$ $f(a)>0$ $f(a)<0$ $f(x)>0$ $f(x)<0$ $X$ $A$
Jestliže funkce a jsou spojité v bodě , pak funkce a jsou také spojité v bodě . $F$ $G$ $A$ $f+g$ $f\cdot g$ $A$
Pokud jsou funkce a spojité v bodě a , pak je funkce také spojitá v bodě . $F$ $G$ $A$ $g(a)\neq 0$ $f/g$ $A$
Jestliže funkce je spojitá v bodě a funkce je spojitá v bodě , pak jejich složení je spojité v bodě . $F$ $A$ $G$ $b=f(a)$ $h=g\circ f$ $A$

Globální

Věta o jednotné spojitosti : Funkce, která je spojitá na segmentu (nebo jakékoli jiné kompaktní množině ), je na něm rovnoměrně spojitá .
Weierstrassova věta o funkci na kompaktu : funkce, která je spojitá na segmentu (nebo jakékoli jiné kompaktní množině ), je omezená a dosahuje na něm své maximální a minimální hodnoty.
Rozsah funkce , která je souvislá na intervalu, je interval , kde jsou v intervalu vzata minimum a maximum . $F$ $[a,b]$ $[\min f,\ \max f],$ $[a,b]$
Pokud je funkce spojitá na intervalu a pak existuje bod, ve kterém . $F$ $[a,b]$ $f(a)\cdot f(b)<0,$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=0$
Věta o střední hodnotě : pokud je funkce spojitá na intervalu a číslo splňuje nerovnost nebo nerovnost, pak existuje bod, ve kterém . $F$ $[a,b]$ $\varphi$ $f(a)<\varphi <f(b)$ $f(a)>\varphi >f(b),$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=\varphi$
Spojité zobrazení ze segmentu na reálnou čáru je injektivní právě tehdy, když je daná funkce na segmentu přísně monotónní .
Monotónní funkce na segmentu je spojitá právě tehdy, když je jejím rozsahem segment s koncovými body a . $[a,b]$ $f(a)$ $f(b)$
Jestliže funkce a jsou spojité na segmentu , a pak existuje bod , ve kterém zejména z toho vyplývá, že jakékoli spojité mapování segmentu do sebe má alespoň jeden pevný bod . $F$ $G$ $[a,b]$ $f(a)<g(a)$ $f(b)>g(b),$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=g(\xi ).$

Příklady

Elementární funkce

Libovolné polynomy , racionální funkce , exponenciální funkce , logaritmy , goniometrické funkce (přímé a inverzní) jsou spojité všude ve své definiční oblasti.

Funkce odnímatelné přerušení

Funkce daná vzorcem $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$

f(x)={\begin{case}{\frac {\sin x}{x)),&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases))

je spojitý v libovolném bodě Bod je bodem nespojitosti, protože limita funkce $x\neq 0.$ $x=0$

\lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq f(0).

Funkce podepsat

Funkce

f(x)=\název operátora {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

se nazývá znaková funkce .

Tato funkce je spojitá v každém bodě . $x\neq 0$

Bod je bodem diskontinuity prvního druhu a $x=0$

\lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)

zatímco funkce mizí v bodě samotném.

Funkce Heaviside

Heavisideova funkce definovaná jako

f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

je spojitá všude, kromě bodu , kde funkce trpí diskontinuitou prvního druhu. V bodě však existuje pravostranná limita, která je stejná jako hodnota funkce v daném bodě. Tato funkce je tedy příkladem pravoběžné funkce v celém oboru definice . $x=0$ $x=0$

Podobně funkce kroku definovaná jako

f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

je příklad funkce vlevo spojité přes celou doménu .

Funkce Dirichlet

Funkce

f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases))

se nazývá Dirichletova funkce . V podstatě je Dirichletova funkce charakteristickou funkcí množiny racionálních čísel . Tato funkce je v každém bodě nespojitá , protože v libovolně malém okolí jakéhokoli bodu jsou jak racionální, tak iracionální čísla.

Riemannova funkce

Funkce

f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n)),&x={\frac {m}{n))\in \mathbb {Q} ,\ {\text{ gcd}}(m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}

se nazývá Riemannova funkce nebo "Thomasova funkce".

Tato funkce je spojitá na množině iracionálních čísel ( ), protože limita funkce v každém iracionálním bodě je rovna nule (pokud je posloupnost , pak s nutností ). Ve všech racionálních bodech je nespojitý. $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $x_{k}=m_{k}/n_{k}\to x\notin \mathbb {Q}$ $n_{k}\to \infty$

Variace a zobecnění

Jednotná kontinuita

Funkce se nazývá stejnoměrně spojitá na , pokud pro jakýkoli existuje taková, že pro libovolné dva body a taková, že , . $F$ $E$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x_{1}$ $x_{2}$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$

Každá funkce rovnoměrně spojitá na množině je na množině zjevně také spojitá. Opak obecně neplatí. Je-li však definiční obor kompaktní, pak se spojitá funkce také ukáže jako rovnoměrně spojitá na daném segmentu. $E$

Polokontinuita

Existují dvě vlastnosti, které jsou navzájem symetrické - spodní polospojitost a horní polospojitost :

o funkci se říká , že je nižší polospojitá v bodě , jestliže pro jakýkoli existuje okolí takové, že pro jakýkoli ; $F$ $A$ $\varepsilon >0$ $U_{E}(a)$ $f(x)>f(a)-\varepsilon$ $x\in U_{E}(a)$
o funkci se říká , že je horní polospojitá v bodě , pokud pro jakýkoli existuje okolí takové, že pro jakýkoli . $F$ $A$ $\varepsilon >0$ $U_{E}(a)$ $f(x)<f(a)+\varepsilon$ $x\in U_{E}(a)$

Mezi kontinuitou a semikontinuitou existuje následující vztah:

pokud vezmeme funkci , která je v bodě spojitá a snížíme hodnotu (o konečnou hodnotu), pak dostaneme funkci, která je v bodě nižší polospojitá ; $F$ $A$ $f(a)$ $A$
pokud vezmeme funkci , která je v bodě spojitá a zvýšíme hodnotu (o konečnou hodnotu), pak dostaneme funkci, která je v bodě horní polospojitá . $F$ $A$ $f(a)$ $A$

V souladu s tím můžeme připustit nekonečné hodnoty pro semispojité funkce:

if , pak předpokládáme , že taková funkce je v bodě nižší polospojitá ; $f(a)=-\infty$ $A$
if , pak předpokládáme , že taková funkce je v bodě horní polospojitá . $f(a)=+\infty$ $A$

Jednosměrná spojitost

Funkce se nazývá spojitá vlevo (vpravo) v bodě své definiční oblasti, pokud pro jednostrannou limitu platí následující rovnost : $F$ $x_{0}$ $f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)$ $(f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)).$

Kontinuita téměř všude

Na reálném řádku se obvykle uvažuje jednoduchá lineární Lebesgueova míra . Je-li funkce taková, že je spojitá všude , snad kromě množiny nulové míry, pak se o takové funkci říká , že je spojitá téměř všude . $F$ $E$

V případě, že množina bodů nespojitosti funkce je maximálně spočetná, získáme třídu Riemannových integrovatelných funkcí (viz Riemannovo kritérium integrability pro funkci).

Poznámky

Literatura

Zorich V. A. Matematická analýza, část I. - M . : Fizmatlit, 1984. - 544 s.