Graf funkcí

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. března 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Funkční graf je geometrický koncept v matematice , který poskytuje představu o geometrickém obrazu funkce .

Nejnázornější jsou grafy reálně hodnotných funkcí reálné proměnné jedné proměnné.

Pro spojitou funkci dvou proměnných jsou jejich grafy plochy v trojrozměrném prostoru , které jsou těžištěm bodů , Tyto plochy lze zobrazit na rovině v libovolné izometrické projekci (viz obrázek). $z=f(x,\ y)$ $z,\ x,\ y.$

Obvykle jsou grafy sestaveny v pravoúhlém souřadnicovém systému , na rovině se tento souřadnicový systém nazývá kartézský souřadnicový systém . Grafy jsou také často zabudovány do jiných souřadnicových systémů, aby se zvýšila přehlednost, například v polárním souřadnicovém systému nebo jiných šikmých souřadnicových systémech .

V případě použití pravoúhlého souřadnicového systému je grafem funkce těžiště bodů v rovině, úsečka ( x ) a pořadnice ( y ), které se vztahují k zobrazené funkci:

bod se nachází (nebo se nachází) na grafu funkce právě tehdy, když .

(x,y)

y=f(x)

y=f(x)

Funkci lze tedy adekvátně popsat jejím grafem .

Z definice grafu funkce vyplývá, že ne každá množina bodů v rovině může být grafem nějaké funkce, např. z požadavku, aby funkce byla jednoznačná, vyplývá, že žádná přímka rovnoběžná s osou y může protínat funkční graf ve více než jednom bodě. Pokud je funkce reverzibilní, pak se graf inverzní funkce (jako podmnožina roviny) bude shodovat s grafem funkce samotné (je to jednoduše stejná podmnožina roviny).

Některé funkce jsou definovány pouze v konečné diskrétní množině argumentu, zatímco graf takových funkcí je množina bodů, například graf funkce definované jako:

f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&x=1\\b,&x=2\\c,&x=3\end{matrix}}\right.

je soubor tří bodů $(1,\ a);~(2,\ b);~(3,\ c).$

Graf hladké (požadovaný počet opakovatelných funkcí ) je rovinná křivka se stejným stupněm hladkosti.

Některé grafy mají nezávislé názvy, například:

Grafem lineární funkce je přímka .
Graf funkce čtverce je parabola .
Grafem zlomkové funkce je hyperbola .
Graf exponenciální funkce - exponenciála
Sinusový graf - sinusová vlna , kosinusový graf - kosinusová vlna, tečna - tangensoid atd.

Definice grafu

Když uvažujeme o zobrazení libovolného tvaru , jednajícího z množiny na množinu , je grafem funkce následující množina uspořádaných dvojic: $f:X\to Y$ $X$ $Y$

\Gamma _{f}=\{\,(x,f(x))\in X\krát Y\mid x\in X\,\}.

Zejména při zvažování dynamických systémů je reprezentativním bodem graf řešení odpovídající diferenciální rovnice s danými počátečními podmínkami , takový graf se často nazývá fázová trajektorie systému. $(t,f(t))$

Příklady

Funkce	Graf funkcí	Popis
$f(x)={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases))$		Funkce V bodě $y=\jméno operátora {sgn}(x).$ $x=0~~y=0.$
$f(x)={\begin{cases}0,&x=1\\8,&x=2\\15,&x=3\end{cases))$		Příklad grafu funkce definované pouze ve třech bodech a obsahující pouze tři body se souřadnicemi , a $\{1,2,3\}$ $(1,0)$ $(2,8)$ $(3,15).$
$f(x)=\sin(x)$ $f(x)=\cos(x)$ $f(x)=\jméno operátora {tg} (x)$ $f(x)=\jméno operátora {ctg} (x)$ $f(x)=\sec(x)$ $f(x)=\název operátora {cosec} (x)$		Grafy goniometrických funkcí: sinus, kosinus, tečna, kotangens, sečna, kosekant
$f(x)={\frac {1}{x}}$		Hyperbola graf. At prochází diskontinuitou 2. druhu a není v bodě definován. $x=0$ $x=0$
${\displaystyle f(x)=b^{x))$		Grafy funkcí s různými bázemi : ${\displaystyle y=b^{x))$ $b$ základ: 10 základ: e základ: 2 základna: jeden2 Každá křivka prochází bodem (0, 1) .
$f(x)=x^{3}-9x$		Graf kubického polynomu reálné proměnné, to je množina . $f(x)=x^{3}-9x$ $\{(x,x^{3}-9x)\in \mathbb{R} ^{2}\ \|x\in \mathbb{R} \}$