Číselná funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. dubna 2020; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Číselná funkce (v matematice ) je funkce , která působí z jednoho číselného prostoru (množiny) do jiného číselného prostoru (množiny) [1] . Numerické množiny jsou množiny přirozených ( ), celých čísel ( ), racionálních ( ), reálných ( ) a komplexních čísel ( ) spolu s algebraickými operacemi definovanými pro odpovídající množiny . Pro všechny uvedené číselné množiny, kromě komplexních čísel, je také definován vztah lineárního řádu , který umožňuje porovnávat čísla ve velikosti. Číselné prostory jsou číselné množiny spolu s funkcí vzdálenosti definovanou na odpovídající množině. $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

V nejobecnějším případě je numerická funkce funkce, která nabývá hodnot v oboru reálných čísel a je definována na libovolném (nejčastěji) metrickém prostoru . Takový je například indikátor nebo charakteristická funkce sady . Dalším příkladem numerické funkce je funkce vzdálenosti (nebo ekvivalentně metrika).

Číselné funkce dané na množině reálných nebo komplexních čísel se nazývají funkce reálné nebo komplexní proměnné a jsou předmětem úvah v analýze :

funkce reálné hodnoty reálné proměnné jsou uvažovány v počtu ,
komplexní-oceněné funkce komplexní proměnné jsou zvažovány v komplexní analýze .

Nejdůležitějším předmětem úvah při analýze je reprezentace numerických funkcí ve formě systému aproximací (číselné a funkční řady).

Numerické funkce mají jak obecné vlastnosti, které mohou mít zobrazení libovolných metrických prostorů (například spojitost), tak řadu vlastností přímo souvisejících s povahou numerických prostorů. Toto jsou vlastnosti

diferencovatelnost , integrovatelnost , sčítatelnost , měřitelnost (pro libovolné numerické funkce);

a také vlastnosti

parita ( lichost ), monotónnost (pro funkce reálné proměnné reálné hodnoty);
analyticita , multiplicita (pro komplexní funkce komplexní proměnné).

Číselné funkce jsou v praxi široce využívány při řešení aplikovaných úloh.

Vlastnosti

Vlastnosti spojené s relací objednávky

Nechť je dána funkce Potom $f\colon M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

funkce se nazývá rostoucí o if $F$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Šipka doprava f(x)\geq f(y);

funkce se nazývá striktně rostoucí na if $F$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Šipka doprava f(x)>f(y);

funkce se nazývá klesající o if $F$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Šipka doprava f(x)\leq f(y);

funkce se nazývá striktně klesající na if $F$ $M$

\forall x,y\v M,\;x>y\Šipka doprava f(x)<f(y).

O (striktně) rostoucí nebo klesající funkci se říká, že je (striktně) monotónní.

Periodicita

Funkce se nazývá periodická s tečkou , pokud je pravdivá $f\dvojtečka M\to N$ $T\ne=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M

Pokud tato rovnost není splněna pro žádnou , pak se funkce nazývá aperiodická . $T\in M,\,T\není =0$ $F$

Parita

Funkce se nazývá lichá, pokud je rovnost $f\dvojtečka X\to \mathbb {R}$

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.

Funkce je volána, i když je rovnost $F$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.

Funkce extrémy

Nechť funkci a být vnitřním bodem definičního oboru $f\colon M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x_{0}\v M^{0}$ $F.$

$x_{0}$ se nazývá absolutní (globální) maximální bod, jestliže $\forall x\in M\quad f(x)\leq f(x_{0});$
$x_{0}$ se nazývá bod absolutního minima, jestliže $\forall x\in M\quad f(x)\geq f(x_{0}).$

Graf funkcí

Nechť je dáno mapování . Pak jeho grafem je množina , kde označuje kartézský součin množin a . $F:X\to Y$ $\Gamma$
$\Gamma =\{(x,F(x))\mid x\in X\}\podmnožina X\krát Y$
$X \krát Y$ $X$ $Y$
- Grafem spojité funkce je křivka na dvourozměrné rovině. $F:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$
- Grafem spojité funkce je plocha v trojrozměrném prostoru. $F:{\mathbb {R}}^{2}\to {\mathbb {R}}$

Příklady

Dirichletova funkce
- Vrátí jedničku , pokud je argument racionální číslo , pokud je iracionální , vrátí nulu . $D(x)={\begin{cases}1,&x\in {\mathbb {Q}}\\0,&x\not \in {\mathbb {Q}}\end{cases}}$
- Oblast definice: (celá číselná osa ). $\mathbb {R}$
- Rozsah hodnot: . $\left\{0,1\right\}$

funkce sgn(x).
- Vrátí znaménko argumentu. $\operatorname{sgn} x={\begin{cases}+1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}$
- Definiční doména: . $\mathbb {R}$
- Rozsah hodnot: . $\left\{-1,0,+1\right\}$

$y={\sqrt {1-x^{2}}}$
- Definiční doména: . $\left[-1,+1\right]$
- Rozsah hodnot: . $\left[0,+1\right]$

Faktorový
- Vrátí součin všech přirozených čísel, které nejsou větší než zadané. Kromě toho . $0! = 1$ $n!={\begin{cases}1,&n=0\\n\cdot \left(n-1\right)!,&n\neq 0\end{cases}}$
- Definiční obor: (množina přirozených čísel s nulou). $\mathbb{N} _{0}$
- Rozsah hodnot: $\left\{1,2,6,24,120,\ldots\right\}$

Antje (pohlaví)
- Vrátí celočíselnou část čísla. $\lfloor x\rfloor =\max \left\{q\in \mathbb{Z } \mid q\leqslant x\right\}$
- Definiční doména: . $\mathbb {R}$
- Rozsah hodnot: . $\mathbb {Z}$

Způsoby definování funkce

Slovní

Používání přirozeného jazyka

Y se rovná celé části x.

Analytický

Použití vzorce a standardního zápisu

f(x)=x!

Grafický

S pomocí grafu

Tabelární

Pomocí tabulky hodnot

X	0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9
y	jeden	jeden	2	3	5	osm	13	21	34	55

Analytická metoda

analytickým způsobem. Zákon, který zakládá vztah mezi argumentem a funkcí, je nejčastěji specifikován pomocí vzorců. Tento způsob definování funkce se nazývá analytický. Tato metoda umožňuje pro každou číselnou hodnotu argumentu x najít odpovídající číselnou hodnotu funkce y přesně nebo s určitou přesností. Pokud je vztah mezi x a y dán vzorcem, který je vyřešen vzhledem k y, tzn. má tvar y = f(x), pak říkáme, že funkce x je dána explicitně. Pokud hodnoty x a y souvisí nějakou rovnicí ve tvaru F(x,y) = 0, tzn. vzorec není povolen vzhledem k y, což znamená, že funkce y = f(x) je implicitně definována. Funkce může být definována různými vzorci v různých částech její oblasti úkolů. Analytická metoda je nejběžnějším způsobem definování funkcí. Kompaktnost, stručnost, schopnost vypočítat hodnotu funkce pro libovolnou hodnotu argumentu z definičního oboru, schopnost aplikovat aparát matematické analýzy na danou funkci jsou hlavní výhody analytické metody definice a funkce. Mezi nevýhody patří nedostatečná viditelnost, která je kompenzována schopností sestavit graf a nutností provádět někdy velmi těžkopádné výpočty.

Příklady:

$f\left(x\right)=x^{2}$ ;
$f\left(x,y\right)=x\lor y$ ;
$f\left(A\right)=\left|A\right|$ ;
$f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x\leqslant 0;\\-x^{3},&x>0.\end{cases}}$

Tabulkový způsob

Funkci lze definovat seznamem všech jejích možných argumentů a jejich hodnot. Poté, pokud je to nutné, může být funkce rozšířena o argumenty, které nejsou v tabulce, interpolací nebo extrapolací . Příklady jsou programový průvodce, jízdní řád nebo tabulka hodnot booleovských funkcí :

$X$	$y$	$x\land y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$jeden$	$0$
$jeden$	$0$	$0$
$jeden$	$jeden$	$jeden$

Grafický způsob

Funkci lze určit graficky zobrazením sady bodů jejího grafu v rovině. Může to být hrubý náčrt toho, jak by funkce měla vypadat, nebo údaje získané z nástroje, jako je osciloskop . Tato specifikace může trpět nedostatečnou přesností , v některých případech však nelze jiné metody specifikace použít vůbec. Tento způsob nastavení je navíc jedním z nejreprezentativnějších, snadno pochopitelných a nejkvalitnějších heuristických analýz funkce.

Rekurzivní způsob

Funkce může být definována rekurzivně , to znamená přes sebe. V tomto případě jsou některé hodnoty funkce určeny prostřednictvím jejích jiných hodnot.

Příklady:

Verbální způsob

Funkce může být popsána slovy přirozeného jazyka nějakým jednoznačným způsobem, například popisem jejích vstupních a výstupních hodnot nebo algoritmu , kterým funkce přiřazuje korespondenci mezi těmito hodnotami. Spolu s grafickým způsobem je to někdy jediný způsob, jak popsat funkci, ačkoli přirozené jazyky nejsou tak deterministické jako formální.

Příklady:

funkce, která vrací číslici v zápisu pí svým číslem;
funkce, která vrací počet atomů ve vesmíru v určitém časovém bodě ;
funkce, která bere člověka jako argument a vrací počet lidí, kteří se po jeho narození narodí na svět.

Třídy numerických funkcí

Historický nástin

Vznik konceptu

Matematické modelování jevů a přírodních zákonů vede ke konceptu funkce, který se zpočátku omezuje na algebraické funkce ( polynomy ) a trigonometrii . Stejně jako ostatní matematické koncepty se obecný koncept funkce nevyvinul okamžitě, ale prošel dlouhou cestou vývoje. Samozřejmě, že ve starověku lidé při počítání nevědomě používali různé funkce (například odmocninu ) a dokonce i rovnice , nicméně jako samostatný matematický objekt umožňující obecné analytické studium se funkce mohla objevit až po vytvoření symbolického algebra podle Viety (XVI. století) [2] . Dokonce v 17. století , Napier , představovat logaritmickou funkci do použití, používal řešení - on určil to kinematicky.

Zpočátku se předmětem studia staly různé algebraické vzorce . Descartes považoval nealgebraické závislosti pouze za nejvzácnější výjimku. Pro něj a pro Fermata je vzorec chápán nejen jako výpočetní algoritmus, ale je považován za (geometricky reprezentovatelnou) transformaci jedné plynule se měnící veličiny na jinou [3] . V Barrow 's Lectures on Geometry, 1670 , je vzájemná reciprocita akcí diferenciace a integrace stanovena v geometrické formě (samozřejmě bez použití těchto termínů samotných). To již svědčí o zcela odlišném vlastnictví pojmu funkce jako integrálního objektu. V geometrické a mechanické formě najdeme také pojem funkce u Newtona .

Matematický termín „funkce“ se poprvé objevil v roce 1673 Leibnizem , a navíc ne zcela v jeho moderním smyslu: Leibniz nejprve nazýval různé segmenty spojené s křivkou (například úsečky jejích bodů) jako funkci. Později se však v korespondenci s Johannem Bernoullim ( 1694 ) obsah termínu rozšiřuje a nakonec se stává synonymem pro „analyticky danou závislost“.

V prvním tištěném kurzu "Analýza nekonečně malých pro znalost zakřivených čar" od Lopitala ( 1696 ) se termín "funkce" nepoužívá.

První pokusy o definování

Na počátku 18. století byla získána rozšíření všech standardních funkcí a mnoho dalších. Především díky Eulerovi ( 1748 ) byly jejich definice zpřesněny. Euler byl první, kdo jasně definoval exponenciální funkci , stejně jako logaritmickou funkci, jako její inverzní, a dal jejich expanze řady. Před Eulerem mnozí matematici považovali například tangens tupého úhlu za kladný; Euler dal moderní definice všech goniometrických funkcí (termín „trigonometrická funkce“ sám navrhl Klugel v roce 1770 ).

V analytických aplikacích se objevuje mnoho nových transcendentálních funkcí. Když se Goldbach a Bernoulli pokusili najít souvislou analogii faktoriálu, mladý Euler informoval v dopise Goldbachovi o vlastnostech funkce gama (1729, titul kvůli Legendrovi ). O rok později Euler objevil funkci beta a poté se k tomuto tématu opakovaně vracel. Funkce gama a související funkce (beta, zeta, cylindrická (Besselova)) mají četné aplikace v analýze i v teorii čísel a Riemannova funkce zeta se ukázala být nepostradatelným nástrojem pro studium distribuce prvočísel v přirozeném prostředí. série.

V roce 1757 Vincenzo Riccati při zkoumání sektorů hyperboly zavádí hyperbolické funkce ch, sh (s takovým zápisem) a uvádí jejich hlavní vlastnosti. V souvislosti s neintegrovatelností různých výrazů vzniklo mnoho nových funkcí. Euler definoval (1768) integrální logaritmus (název navrhl I. Zoldner , 1809), L. Mascheroni - integrální sinus a kosinus ( 1790 ). Brzy se také objeví nové odvětví matematiky: speciální funkce .

S touto pestrou sbírkou bylo třeba něco udělat a matematici učinili radikální rozhodnutí: všechny funkce, bez ohledu na jejich původ, byly prohlášeny za rovnocenné. Jediným požadavkem na funkci je jistota, a to neznamená jedinečnost funkce samotné (může být vícehodnotová ), ale jednoznačnost způsobu výpočtu jejích hodnot.

První obecnou definici funkce najdeme v Johann Bernoulli ( 1718 ): "Funkce je veličina složená z proměnné a konstanty." Tato ne zcela odlišná definice je založena na myšlence specifikace funkce pomocí analytického vzorce. Stejná myšlenka se objevuje v Eulerově definici , kterou uvedl v „Úvod do analýzy nekonečna“ ( 1748 ): „Funkce proměnné veličiny je analytický výraz, složený nějakým způsobem z této proměnné veličiny a čísel nebo konstantních veličin. "

Přesto v 18. století nebylo dostatečně jasné pochopení rozdílu mezi funkcí a jejím analytickým vyjádřením. To se odrazilo v kritice , kterou Euler podrobil Bernoulliho (1753) řešení problému vibrací strun . Bernoulliho řešení bylo založeno na tvrzení, že je možné rozšířit jakoukoli funkci do trigonometrické řady. Euler proti tomu namítal, že taková rozložitelnost by poskytla analytické vyjádření pro jakoukoli funkci, zatímco funkce jej mít nemusí (může být dáno grafem „nakresleným volným pohybem ruky“).

Tato kritika je přesvědčivá i z moderního hlediska, protože ne všechny funkce umožňují analytickou reprezentaci (ačkoliv Bernoulli mluví o spojité funkci, která, jak Weierstrass v roce 1885 stanovil , je vždy analyticky reprezentovatelná, ale nemusí se rozšířit do trigonometrické řady). Další Eulerovy argumenty jsou však již chybné [4] . Například se domníval, že expanze funkce do trigonometrické řady pro ni poskytuje jediný analytický výraz, zatímco to může být „smíšená“ funkce, reprezentovatelná na různých segmentech pomocí různých vzorců. Ve skutečnosti jedno není v rozporu s druhým, ale v té době se zdálo nemožné, že by se dva analytické výrazy, které se shodovaly na části segmentu, neshodovaly po celé jeho délce. Později, při studiu funkcí mnoha proměnných, si uvědomil omezení předchozí definice a rozpoznal nespojité funkce a poté, po prostudování komplexního logaritmu, i vícehodnotové funkce.

Pod vlivem teorie nekonečných řad, která poskytla algebraické znázornění téměř jakékoli hladké závislosti, přestala být přítomnost explicitního vzorce pro funkci postupně povinná. Logaritmus nebo exponenciální funkce, například, se vypočítá jako limity nekonečné řady; tento přístup se rozšířil i na další nestandardní funkce. S řadami začali zacházet jako s konečnými výrazy, zpočátku aniž by jakkoli dokládali správnost operací a dokonce ani nezaručovali konvergenci řad.

Počínaje "The Calculus of Differentials" ( 1755 ), Euler ve skutečnosti přijímá moderní definici numerické funkce jako libovolnou shodu čísel [4] :

Když určité veličiny závisejí na jiných tak, že když se ty druhé změní, ony samy projdou změnou, pak se první nazývají funkcemi druhých.

Obecná definice

Od počátku 19. století je pojem funkce stále častěji definován bez zmínky o její analytické reprezentaci. V "Pojednání o diferenciálním a integrálním počtu" ( 1797 - 1802 ) Lacroix říká: "Jakákoli veličina, jejíž hodnota závisí na jedné nebo mnoha jiných veličinách, se nazývá funkcí těchto veličin" bez ohledu na to, zda je metoda výpočtu jejích hodnot známý nebo neznámý [5] .

Ve Fourierově „Analytical Theory of Heat“ ( 1822 ) je fráze: „Funkce označuje zcela libovolnou funkci, to znamená posloupnost daných hodnot, ať už podléhají nebo nepodléhají obecnému zákonu a odpovídají všem hodnotám obsažené mezi a jakýmkoliv množstvím “. $fx$ $X$ $0$ $X$

Blízko moderně a definici Lobačevského :

... Obecný pojem funkce vyžaduje, aby se číslu říkalo funkce z, která je u každé daná a spolu s ní se postupně mění. Hodnota funkce může být dána buď analytickým výrazem, nebo podmínkou, která poskytuje prostředek pro testování všech čísel a výběr jednoho z nich, nebo nakonec může existovat závislost a zůstat neznámá... Široký pohled na teorie připouští existenci závislosti pouze v tom smyslu, že čísla jsou stejná s ostatními ve spojení chápat jakoby data dohromady. $X$ $X$ $X$

Tak, moderní definice funkce, osvobozená od odkazů na analytický úkol, obvykle přisuzovaný Dirichletovi , byl opakovaně navrhován před ním. Zde je Dirichletova definice ( 1837 ):

y je funkcí proměnné x (na segmentu ), pokud každá hodnota x (na tomto segmentu) odpovídá zcela určité hodnotě y a nezáleží na tom, jak je tato korespondence stanovena - analytickým vzorcem, grafem , tabulka, nebo dokonce jen slova. $a\leqslant x\leqslant b$

Koncem 19. století pojem funkce přerostl rámec numerických systémů. Jako první to dokázaly vektorové funkce , Frege brzy zavedl logické funkce ( 1879 ) a po příchodu teorie množin Dedekind ( 1887 ) a Peano ( 1911 ) formulovali moderní univerzální definici.

Příklady

Implicitní funkce

Funkce lze definovat pomocí jiných funkcí a rovnic.

Předpokládejme, že je dána funkce dvou proměnných, která splňuje speciální podmínky (podmínky věty o implicitní funkci), pak rovnice tvaru. $F$

F(x,y)=0

definuje implicitní funkci formuláře . $y=f(x)$

Obecné funkce

Viz také

Poznámky

↑ Definiční obor a obor hodnot numerické funkce jsou podmnožinou numerického prostoru.
↑ Yushkevich A.P., 1966 , s. 134-135.
↑ Yushkevich A.P., 1966 , s. 137-138.
↑ 1 2 Yushkevich A.P., 1966 , str. 144-148.
↑ Čítanka o dějinách matematiky. Matematická analýza. Teorie pravděpodobnosti / Ed. A. P. Juškevič . - M . : Vzdělávání, 1977. - S. 84. - 224 s.

Literatura

Dějiny matematiky, editoval A. P. Juškevič ve třech svazcích, M .: Nauka.

Svazek 1 Od starověku do počátku novověku. (1970)
2. díl Matematika 17. století. (1970)
3. díl Matematika 18. století. (1972)

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Základy matematické analýzy, část 1, 3. vydání, M., 1971;. Část 2, 2. vydání, M., 1980;
Kudryavtsev L. D. Mathematical analysis, 2nd ed., vol. 1-2, 1973,
Nikolsky S. M. Kurz matematické analýzy, 2. vyd., svazek 1-2, M., 1975;
Yushkevich A.P. O vývoji konceptu funkce // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka , 1966. - č. 17 . - S. 123-150 .