Diferencovatelná funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. února 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Diferencovatelná (v bodě) funkce je funkce , která má diferenciál (v daném bodě). Funkce diferencovatelná na nějaké množině je funkce diferencovatelná v každém bodě dané množiny. Diferenciabilita je jedním ze základních pojmů v matematice a má značné množství aplikací jak v matematice samotné, tak v jiných přírodních vědách.

Přírůstek funkce diferencovatelné v daném bodě může být reprezentován jako lineární funkce přírůstku argumentu až do hodnot vyššího řádu malosti. To znamená, že pro dostatečně malá okolí daného bodu lze funkci nahradit lineární (rychlost změny funkce lze považovat za nezměněnou). Lineární část přírůstku funkce se nazývá její diferenciál (v daném bodě).

Nezbytnou , ale ne postačující podmínkou diferencovatelnosti je spojitost funkce . V případě funkce jedné reálné proměnné je diferencovatelnost ekvivalentní existenci derivace . V případě funkce více reálných proměnných je nutnou (nikoli však postačující) podmínkou diferencovatelnosti existence parciálních derivací vzhledem ke všem proměnným. Aby funkce více proměnných byla diferencovatelná v bodě, stačí, aby parciální derivace existovaly v nějakém okolí uvažovaného bodu a byly v daném bodě spojité. [jeden]

V případě funkce komplexní proměnné se diferencovatelnost v bodě často nazývá monogenita a výrazně se liší od konceptu diferencovatelnosti v reálném případě. Klíčovou roli v tom hraje tzv. Cauchy-Riemannův stav . Funkce, která je monogenní v okolí bodu, se v tomto bodě nazývá holomorfní . [2] [3]

Ve funkcionální analýze dochází ke zobecnění pojmu diferenciace na případ zobrazení nekonečněrozměrných prostorů - deriváty Gateaua a Frécheta .

Zobecněním konceptu diferencovatelné funkce je koncept subdiferencovatelných , superdiferencovatelných a kvazidiferencovatelných funkcí.

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné je diferencovatelná v bodě svého oboru , pokud existuje konstanta taková, že $f\colon M\subset \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ $x_{0}$ $M$ $A$

f(x)=f(x_{0})+a(x-x_{0})+o(x-x_{0}),\ \quad x\to x_{0},

zatímco číslo se nevyhnutelně rovná derivaci $A$

a=f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{ 0}}}.

Funkce jedné proměnné je diferencovatelná v bodě právě tehdy, když má v tomto bodě konečnou derivaci. $x_{0}$

Grafem funkce je křivka v rovině , zatímco grafem lineární funkce $y=f(x)$ $Oxy$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})

dodá tečnu k této křivce nakreslené v bodě . $x_{0}$

Například funkce je definována a diferencovatelná v jakémkoli reálném bodě, protože může být reprezentována jako $f(x) = x^2$

{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+2x_{0}(x-x_{0})+(x-x_{0})^{2))

Přitom její derivace je a rovnice tečny nakreslené v bodě má tvar: . $f'(x_{0})=2x_{0}$ $x_{0}$ $y=x_{0}^{2}+2x_{0}(x-x_{0})$

Elementární funkce mohou být v určitém bodě spojité, ale ne v něm diferencovatelné. Například funkce je spojitá na celé reálné ose, ale její derivace zažije skok při průchodu bodem, ve kterém tato funkce není diferencovatelná. V tomto bodě je také nemožné nakreslit tečnu ke grafu funkce. Funkce je také spojitá na celé reálné ose a její graf má tečny ve všech bodech, nicméně tečna nakreslená v bodě je svislá čára, a proto je derivace funkce v bodě nekonečně velká a funkce samotná je v tuto chvíli nelze rozlišit. $f(x)=|x|$ $x=0$ $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $x=0$ $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $x=0$

Grafy elementárních funkcí učí, že libovolná funkce je diferencovatelná všude kromě výjimečných a izolovaných hodnot argumentu. První pokus o analytický důkaz tohoto tvrzení má na svědomí Ampère [4] , a proto se nazývá Ampérova domněnka. Toto tvrzení však neplatí ve třídě analyticky reprezentovatelných funkcí, například Dirichletova funkce není ani spojitá v žádném bodě [5] . Za diferencovatelnou také nelze považovat libovolnou spojitou funkci, např. Weierstrassova funkce je definovaná a spojitá na celé reálné ose, ale není derivovatelná v žádném z jejích bodů [6] . Konkrétně to znamená, že je nemožné nakreslit tečnu k jeho grafu v jakémkoli bodě. Ampereho domněnku však lze považovat za nepřísnou formulaci následujícího Lebesgueova teorému : jakákoli monotónní funkce má všude určitou konečnou derivaci, snad kromě nějaké sady hodnot nulové míry . [7] $f(x)$ $X$

Funkce více proměnných

Funkce proměnných je diferencovatelná v bodě ve svém oboru , pokud existují konstanty takové, že pro jakýkoli bod $f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $x=(x^{1},\ldots ,x^{n})$ $x_{0}=(x_{0}^{1},\ldots ,x_{0}^{n})$ $M$ $a=(a^{1},\ldots ,a^{n})$ $x=(x^{1},\ldots ,x^{n})\in M$

f(x)=f(x_{0})+\sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})+ o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0},

kde . $\|x-x_{0}\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x^{i}-x_{0}^{i})^{2}$

V tomto záznamu funkce

$A(x-x_{0})=\sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})$

je diferenciál funkce v bodě a čísla jsou parciální derivace funkce v bodě , tj. $f(x)$ $x_{0}$ ${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n))$ $f(x)$ $x_{0}$

a^{i}={\frac {\partial f}{\partial x^{i))}(x_{0})=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f (x_{0}+he_{i})-f(x_{0})}{h}},

kde je vektor, jehož všechny složky kromě -té jsou rovny nule a -tá složka je rovna 1. $e_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ $i$ $i$

Každá funkce, která je v bodě diferencovatelná, má v tomto bodě všechny parciální derivace, ale ne každá funkce, která má všechny parciální derivace, je derivovatelná. Navíc existence parciálních derivací v určitém bodě ani nezaručuje kontinuitu funkce v tomto bodě. Jako takový příklad můžeme uvažovat funkci dvou proměnných rovných for a for . Na počátku existují obě parciální derivace (rovné nule), ale funkce není spojitá. $f(x,y)$ $0$ $xy=0$ $jeden$ $xy\neq 0$

Tato okolnost by se mohla stát vážnou překážkou pro celý diferenciální počet funkcí více proměnných, pokud by nebylo jasné, že spojitost parciálních derivací v bodě je dostatečná k tomu, aby byla funkce v tomto bodě diferencovatelná. [jeden]

Příklady typů bodů, kde je funkce nediferencovatelná

Funkce bude v bodě nediferencovatelná , například v následujících případech: $f(x)$ $x_{0}$

Bod je bod nespojitosti , například funkce signum je nediferencovatelná v nule. $x_{0}$

Funkce má rohový bod v , například funkce je nediferencovatelná v nule. $x_{0}$ $|x|$

Funkce má vertikální tečnu, to znamená, že je například v nule nediferencovatelná. $\lim _{x\to x_{0}}f^{'}\left(x\right)=\pm \infty$ ${\sqrt[ {3}]{x}}$

Funkce ostří např. při nule je nediferencovatelná . $x_{0}$ $x^{\frac {2}{3}}$

Tyto případy však nevyčerpávají všechny situace, kdy je funkce nediferencovatelná. Funkce tedy například nepatří do žádného z těchto případů, ale přesto je v nule nediferencovatelná. $x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$

Displeje

O zobrazení se říká, že je diferencovatelné v bodě ve své doméně definice , pokud existuje lineární zobrazení v závislosti na bodu tak, že ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $x_{0}$ $M$ ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $x_{0}$

f(x)=f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0} ,

tedy rozšířením znaku "o" malé if

\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {\|f(x)-f(x_{0})-A(x-x_{0})\|}{\ |x-x_{0}\|}}=0

Lineární zobrazení je rozdílem zobrazení v bodě . ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $f(x)$ $x_{0}$

Pokud je mapování dáno množinou funkcí ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$

f_{i}\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ \quad i=1,\ldots ,m,

pak je jeho diferencovatelnost v bodě ekvivalentní diferencovatelnosti všech funkcí v daném bodě a maticí jeho diferenciálu je Jacobiho matice složená z parciálních derivací těchto funkcí v bodě . $x_{0}$ $A$ $x_{0}$

Viz také

Pompeyův příklad je příkladem diferencovatelné funkce, jejíž derivace mizí na husté množině. Derivace takové funkce je zejména nespojitá v jakémkoli bodě, kde se nerovná 0.

Poznámky

↑ 1 2 Zorich V. A., Matematická analýza - Libovolné vydání, svazek 1 kapitola VIII.
↑ Bitsadze A. V. Základy teorie analytických funkcí komplexní proměnné - M., Nauka, 1969.
↑ Shabat B.V., Úvod do komplexní analýzy - M., Nauka, 1969.
↑ Ampère, AM // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
↑ Pascal E. Esercizii kritiky di calcolo differentenziale e integrale. Ed. 2. Milano, 1909. S. 1-3.
↑ Weierstrass K. Werke. bd. 2. Berlín, 1895. Abh. 6.
↑ Obr. F., S.-Nagy B. Přednášky o funkcionální analýze. M.: Mir, 1979. S. 15.

Courant R. Průběh diferenciálního a integrálního počtu. - M. - L. : GNTI, 1931. - T. 2. - S. 60-69.
Zorich V. A. Matematická analýza. - M .: Fazis, 1997. - T. 1.