Monogenní funkce

O funkci se říká , že je monogenní (nebo diferencovatelná ve smyslu komplexní analýzy ) v bodě limitu $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$ $z_{0}\in {\mathbb {C}}$

\lim _{{z\to z_{0}}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}

existuje a je stejný pro přiblížení k bodu po libovolné dráze. Klíčovou roli v tom hraje tzv. Cauchy-Riemannův stav . Funkce, která je monogenní v okolí bodu , se v tomto bodě nazývá holomorfní . O funkci, která je monogenní ve všech bodech nějaké otevřené domény , se říká, že je v této doméně holomorfní. $z$ $z_{0}$ $z_{0}\in {\mathbb {C}}$ $D\subseteq \mathbb {C}$

Funkce se nazývá polygenní , pokud taková mez závisí na cestě a má nekonečně mnoho hodnot. Lze ukázat, že funkce s komplexní hodnotou může být buď monogenní, nebo polygenní a případ existence konečného počtu různých hodnot tohoto limitu je vyloučen.

Příklad. Funkce je při nule monogenní: $f(z)=z$

\lim _{{z\to 0}}{\frac {z-0}{z-0}}=1,

a funkce je polygenní: $f(z)=\overline z$

\lim _{z\to 0}{\frac ({\overline {z))-0}{z-0)))=\lim _{z\to 0}{\frac {|z|e ^{-i\phi }}{|z|e^{i\phi }}}=e^{-2i\phi },

nebo

\lim _{z\to 0}{\frac {{\overline {z}}-0}{z-0}}=\operatorname {sgn} ^{-2}z,

kde φ je argument čísla z − 0 a sgn je komplexní znaménková funkce , která nabývá hodnoty, jejíž modul je vždy jednotný.

Viz také

Literatura

Bitsadze A.V. Základy teorie analytických funkcí komplexní proměnné - M., Nauka, 1969.
Shabat B.V., Úvod do komplexní analýzy - M., Nauka, 1969.