Faktorový

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. ledna 2022; kontroly vyžadují 26 úprav .

Faktorial je funkce definovaná na množině nezáporných celých čísel . Název pochází z lat. factorialis - působící, produkující, množící se; označované , vyslovované jako faktoriál . Faktoriál přirozeného čísla je definován jako součin všech přirozených čísel od 1 do včetně: $n$ $n$ $n$

n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k

Například,

5 ! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

Neboť se bere jako dohoda, že $n=0$

0! = 1

. Faktoriály všech čísel tvoří posloupnost A000142 v OEIS ; hodnoty ve vědeckém zápisu jsou zaokrouhleny

n	n !
0	jeden
jeden	jeden
2	2
3	6
čtyři	24
5	120
6	720
7	5040 _
osm	40 320
9	362 880
deset	3 628 800
jedenáct	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800 [1]
čtrnáct	87 178 291 200 [2]
patnáct	1 307 674 368 000 [ 3 ] _ _
16	20 922 789 888 000 [ 4 ] _ _
17	355 687 428 096 000 [5]
osmnáct	6 402 373 705 728 000 [6]
19	121 645 100 408 832 000 [7]
dvacet	2 432 902 008 176 640 000 [8]
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000 [9]
padesáti	30 414 093 201 713 378 043 612 608 166 064 768 844 377 641 568 960 512 000 000 000 000 [10]
70	11 978 571 669 969 891 796 072 783 721 689 098 736 458 938 142 546 [11]
100	≈ 9,332621544⋅10 157
450	≈ 1,733368733⋅10 1000
1000	≈ 4,023872601⋅10 2567
3 249	≈ 6,412337688⋅10 10000
10 000 _	≈ 2,846259681⋅10 35659
25 206	≈ 1,205703438⋅10 100 000
100 000 _	≈ 2,824229408⋅10 456573
205 023	≈ 2,503898932⋅10 1000004
1 000 000 _ _	≈ 8,263931688⋅10 5565708
10 100	≈10 9,956570552⋅10 101
10 1000	≈10 10 1003
10 10 000	≈10 10 10 004
10 100 000	≈10 10 100 005
10 10 100	≈10 10 10 100

Faktoriál se aktivně používá v různých odvětvích matematiky: kombinatorika , matematická analýza , teorie čísel , funkcionální analýza atd.

Faktorial je extrémně rychle rostoucí funkce. Roste rychleji než jakákoli exponenciální funkce nebo jakákoli mocninná funkce a také rychleji než jakýkoli součet součinů těchto funkcí. Exponenciální funkce však roste rychleji než faktoriál, stejně jako většina dvojitých exponentů, jako je . $n^{n}$ $e^{{e^{n}}}$

Vlastnosti

Opakovaný vzorec

Faktoriál může být dán následujícím rekurzivním vzorcem :

n!= \begin{případy} 1 & n = 0,\\ n \cdot(n-1)! & n > 0. \end{cases}

Kombinační výklad

V kombinatorice je faktoriál přirozeného čísla n interpretován jako počet permutací (uspořádání) množiny n prvků .

Například pro množinu { A , B , C , D } 4 prvků jsou 4! = 24 permutací:

ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA

Kombinatorická interpretace faktoriálu potvrzuje účelnost dohody - počet permutací prázdné množiny je roven jedné. Navíc vzorec pro počet umístění prvků podle $0! = 1$ $n$ $m$

A_{n}^{m}={\frac {n!}{(nm)!}}

když se změní na vzorec pro počet permutací prvků (řádu ), který se rovná . $n=m$ $n$ $n$ $n$

Vztah s funkcí gama

Faktoriál souvisí s gama funkcí celočíselného argumentu vztahem

n!=\Gamma (n+1)

Stejný výraz se používá ke zobecnění pojmu faktoriál na množinu reálných čísel . Pomocí analytického pokračování funkce gama je definiční obor faktoriálu také rozšířen na celou komplexní rovinu , s výjimkou singulárních bodů v . $n=-1,-2,-3\ldots$

Přímým zobecněním faktoriálu na množiny reálných a komplexních čísel je funkce pí , kterou lze definovat jako $\Pi (z)=\Gamma (z+1)$ $\mathrm {Re} (z)>-1$

\Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{{z}}e^{{-t}}\,{\mathrm {d}}t

(integrální definice).

Funkce pi přirozeného čísla nebo nuly se shoduje s jeho faktoriálem: . Stejně jako faktoriál splňuje funkce pi rekurenci recidivy . $\Pi (n)=n!$ $\Pi (z)=z\Pi (z-1)$

Stirlingův vzorec

Stirlingův vzorec je asymptotický vzorec pro výpočet faktoriálu:

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{ \frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879} {209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{{-7}}\right)\right),

viz O-velký [12] .

V mnoha případech stačí pro přibližný výpočet faktoriálu uvažovat pouze hlavní člen Stirlingova vzorce:

n \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.

Přitom lze tvrdit, že

\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{1/(12n+1)}< n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{1/(12n)}.

Stirlingův vzorec umožňuje získat přibližné hodnoty faktoriálů velkých čísel bez přímého násobení posloupnosti přirozených čísel. Například pomocí Stirlingova vzorce je snadné to vypočítat

100! ≈ 9,33× 10157 ;
1000! ≈ 4,02×10 2567 ;
10 000! ≈ 2,85×10 35 659 .

Prvotní faktorizace

Každé prvočíslo p vstupuje do rozvoje n ! o prvočinitele na mocninu definovanou následujícím vzorcem:

\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \pravé\rpodlaží + \ldots.

Takto,

n = \prod_{p} p^{\lpatro \frac{n}{p}\rfloor + \lpatro \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots},

kde součin přebírá všechna prvočísla. Je vidět, že pro každé prvočíslo p větší než n je odpovídající faktor v součinu 1; proto lze součin převzít pouze prvočísla p nepřesahující n .

Spojení s derivací mocninné funkce

Pro nezáporné celé číslo n :

\left(x^{n}\right)^{{(n)}}=n!

Například:

\left( x^5 \right)^{(5)} = \left( 5 \cdot x^4 \right)^{(4)} = \left( 5 \cdot 4 \cdot x^3 \right) ''' = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot x^2 \right)'' = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x \right)' = {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5!

Další vlastnosti

Pro přirozené číslo :

n

n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n

Pro kohokoli :

n>1

n

není druhou mocninou celého čísla; Pro kohokoli :

n>4

n

končí 0; Pro kohokoli :

n>9

n

končí 00. Pokud je prvočíslo:

n

(n-1)!+1

je dělitelný ( Wilsonova věta )

n

Historie

Faktorové výrazy se objevily v raném výzkumu kombinatoriky , ačkoli francouzský matematik Christian Kramp navrhl kompaktní zápis až v roce 1808 [13] . Důležitým mezníkem byl objev Stirlingova vzorce , který James Stirling publikoval ve svém pojednání The Differential Method ( lat. Methodus Differentis , 1730). O něco dříve téměř stejný vzorec publikoval Stirlingův přítel Abraham de Moivre , ale v méně úplné podobě (místo koeficientu zde byla neurčitá konstanta) [14] . $n$ ${\sqrt {2\pi ))$

Stirling podrobně studoval vlastnosti faktoriálu, až po objasnění otázky, zda je možné rozšířit tento koncept na libovolná reálná čísla. Popsal několik možných způsobů, jak tuto myšlenku realizovat, a domníval se, že:

\left({1 \over 2}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}

Stirling nevěděl, že Leonhard Euler již našel řešení problému o rok dříve . V dopise Christianu Goldbachovi popsal Euler požadované zobecnění [15] :

x!=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{x}m!}{(x+1)(x+2)\tečky (x+m)))

Při rozvíjení této myšlenky Euler příští rok, 1730, představil koncept funkce gama ve formě klasického integrálu. Tyto výsledky publikoval v časopise Petrohradské akademie věd v letech 1729-1730.

Zobecnění

Dvojitý faktoriál

Dvojitý faktoriál čísla n se označuje n ‼ a je definován jako součin všech přirozených čísel v segmentu [1, n ], která mají stejnou paritu jako n .

Pro sudé n :

n!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n = \prod_{i=1}^{\frac{n}{2)) 2i = 2^{{\color{white}1}^{\ !\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!

Pro liché n :

n!!={1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n}=\prod _{{i=0}}^{{{\frac {n-1}{2}}}}(2i +1)={\frac {n!}{2^{{{\color {white}1}^{{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2))))} }\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}

Vztah mezi dvojitými faktoriály dvou sousedních nezáporných celých čísel a obyčejným faktoriálem jednoho z nich.

n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}

Odvozování vzorců

Vzorec pro sudé n :

n!! = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!

Odvození vzorce: $\begin{align}n!! & = {\color{Gray}\underbrace{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n}_{\color{Black}\tfrac{n}{2))} = { \color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n}{2))} \; \cdot\; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n \;}{\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color {Černý}\tfrac{n}{2}}} = \\ & = {2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2} \right )} = 2^{{\color{bílá} 1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )! \end{zarovnat}$

Příklad ilustrující odvození vzorce použitého výše:

\begin{align} 14!! & = 2^{\frac{14}{2}} \cdot \left ( \frac{14}{2} \right )! = 2^7 \cdot 7! = \\ & = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) = \\ & = (2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7) = \\ & = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14 = 645120 \end{align}

Vzorec pro liché n :

n!! = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right)!}

Odvození vzorce: $\begin{align}n!! & = {\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n}}_{\color{Black}\frac{n+1}{2} )) = \frac{{\color{Gray}\overbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}^{\color{Black}\frac{n -1}{2))} \cdot {\color{Gray}\overbrace{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot n}^ {\color{Black}\frac{n+1}{2}}}} {\color{Gray}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n- 1)))_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = \\ & = \frac{\color{Gray}\overbrace{\color{Black}1 \cdot {\color {OliveGreen}2} \cdot 3 \cdot {\color{OliveGreen}4} \cdot 5 \cdot {\color{OliveGreen}6} \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot {\color {OliveGreen}(n-1)} \cdot n}^{\color{Black}n}} {\color{Gray}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \ cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{(n-1 )!!} \end{zarovnat}$ Je tedy možné ukázat vztah mezi dvojitými faktoriály dvou sousedních nezáporných celých čísel prostřednictvím obvyklého faktoriálu jednoho z nich. Dále pokračujeme v odvozování vzorce pro dvojitý faktoriál lichého n . Vraťme se o krok zpět (před explicitním výskytem ( n -1)!! ) a proveďte několik identických algebraických transformací na jmenovateli: $\begin{align}& {\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)))_{\color{Black}\frac {n-1}{2))} = {\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{ n-1}{2}}} \; \cdot\; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1) \;}{\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2} _{\color{Black}\tfrac{n-1}{2}}} = \\ & = {2^({\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2))} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{2} \right )} = 2^{{\ barva{bílá}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )! \end{zarovnat}$ Výsledný výraz za jmenovatele dosadíme zpět do vzorce pro : $n!!$ $n!! = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right)!}$

Příklad ilustrující odvození vzorce použitého výše:

{\begin{aligned}15!!&={\frac {15!}{2^{({\color {white}1}^{{\!\!\!\!{\frac {15-1} {2))))))\cdot \left({\frac {15-1}{2}}\right)!}}={\frac {15!}{2^{({\color {bílá} 1}^{{\!\!\!7))))\cdot 7!))=\\&={\color {white}\overbrace {\color {Black}{\frac {1\cdot 2\ cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7)))))=\\&={\barva {bílá}\ overbrace {\color {Black}{\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 1)(2\cdot 2)(2\cdot 3)(2\cdot 4)(2\cdot 5)(2\cdot 6)(2\cdot 7)}} }}=\\&={\color {bílá}\overbrace {\color {Černá}{\frac {1\cdot {\color {OliveGreen}2}\cdot 3\cdot {\color {OliveGreen}4}\ cdot 5\cdot {\color {OliveGreen}6}\cdot 7\cdot {\color {OliveGreen}8}\cdot 9\cdot {\color {OliveGreen}10}\cdot 11\cdot {\color {OliveGreen}12 }\cdot 13\cdot {\color {OliveGreen}14}\cdot 15}{\color {Ol iveGreen}2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12\cdot 14))))=\\&={\color {white}\overbrace {\color {Black}1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}=2027025\end{aligned}}

Po substituci za sudé n a za liché n , kde je nezáporné celé číslo, dostaneme: $n=2k$ $n=2k+1$ $k$

pro sudé číslo:

(2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2k=\prod _{{i=1}}^{{k}}2i=2^{k}\cdot k!

pro liché číslo:

(2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k+1)=\prod _{{i=0}}^{{k}}(2i+1)={ \frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}

Po dohodě : Také tato rovnost přirozeně platí: $0!! = 1$

0!! = 2^0 \cdot 0! = 1 \cdot 1 = 1

Dvojitý faktoriál, stejně jako běžný faktoriál, je definován pouze pro nezáporná celá čísla.

Posloupnost hodnot n !! začíná takto [16] :

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080, 135135, 645120, 2027025, 10321920, 34459425, 185794560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 753.

Vícenásobný faktoriál

M -násobný faktoriálčísla n je označena definován následovně. Nechť číslo n je reprezentováno jakokdePak [17] $\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m$ $n=mk-r,$ $k\in {\mathbb {Z}),$ $r \in \{0,1,\ldots ,m-1\}.$

n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r)

Obyčejný a dvojitý faktoriál jsou speciální případy m - násobného faktoriálu pro m = 1 a m = 2 .

Vícenásobný faktoriál souvisí s funkcí gama následujícím vztahem [18] :

n\underbrace {!!\ldots !}_{m}=\prod _{{i=1}}^{{k}}(mi-r)=m^{k}\cdot {\frac {\Gamma \left(k-{\frac {r}{m}}+1\right)}{\Gamma \left(1-{\frac {r}{m}}\right))).

Je také možné psát násobný faktoriál ve zkrácené formě . $\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m$ ${\displaystyle n!_{(m)))$

Neúplný faktoriál

Klesající faktoriál

Klesající faktoriál je výraz

(n)_k = n^{\podtržení{k)) = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n! }{(nk)!} = \prod_{i=n-k+1}^ni

Například:

n = 7; k = 4 ( n − k ) + 1 = 4, nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Klesající faktoriál udává počet umístění od n do k .

Zvýšení faktoriálu

Rostoucí faktoriál je výraz

n^{(k)} = n^{\overline{k)) = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1) !}{(n-1)!}=\prod_{i=n}^{(n+k)-1} i.

Prvotní nebo prvotní

Prvočíslo nebo primorial ( eng. primorial ) čísla n se značí p n # a je definováno jako součin prvních n prvočísel. Například,

p_{5}\#=2\krát 3\krát 5\krát 7\krát 11=2310

Někdy je primorial číslo definované jako součin všech prvočísel nepřesahujících dané n . $n\#$

Posloupnost primorial (včetně ) začíná takto [19] : ${\textstyle{1\# \equiv 1}}$

1 , 2 , 6 , 30 , 210 , 2310 , 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 212 080 …

Fibonorial nebo Fibonaccial

Součin několika prvních Fibonacciho čísel. Napsáno n ! F. _

Například: 6! F = . $1\krát 1\krát 2\krát 3\krát 5\krát 8=240$

Superfaktoriály

Neil Sloane a Simon Plouffet v roce 1995 definovali superfaktoriál jako součin prvních n faktoriálů. Podle této definice se superfaktoriál čtyř rovná

\operatorname {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288

(jelikož není zavedené označení, používá se funkční).

Celkově vzato

\operatorname{sf}(n) =\prod_{k=1}^nk! =\prod_{k=1}^nk^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n ^1.

Posloupnost superfaktoriálů čísel začíná takto [20] : $n \geqslant 0$

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 737 000 000 000 000, 265, 265 , 265 790 267 296 391 960 000 000 000 000 000 000

Myšlenku zobecnil v roce 2000 Henry Bottomley , což vedlo k hyperfaktoriálům ( eng. Hyperfactorial ), které jsou produktem prvních n superfaktoriálů. Posloupnost hyperfaktoriálů čísel začíná takto [21] : $n \geqslant 0$

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …

Pokračujeme -li opakovaně , lze definovat víceúrovňový faktoriál nebo m -úrovňový faktoriál n jako součin ( m − 1)-úrovňových faktoriálů čísel 1 až n , tj.

\operatorname {mf}(n,m)=\operatorname {mf}(n-1,m)\operatorname {mf}(n,m-1)=\prod _{{k=1}}^{n} k^{{n-k+m-1 \vyberte nk}},

kde pro a $\operatorname{mf}(n,0)=n$ $n>0$ $\operatorname{mf}(0,m)=1.$

Subfaktoriální

Subfaktoriální ! n je definováno jako počet permutací řádu n , tj. permutací n - prvkové množiny bez pevných bodů .

Viz také

Faktorion

Poznámky

↑ Šest miliard dvě stě dvacet sedm milionů dvacet tisíc osm set
↑ Osmdesát sedm miliard sto sedmdesát osm milionů dvě stě devadesát jedna tisíc dvě stě
↑ Jeden bilion tři sta sedm miliard šest set sedmdesát čtyři milionů tři sta šedesát osm tisíc
↑ Dvacet bilionů devět set dvacet dva miliard sedm set osmdesát devět milionů osm set osmdesát osm tisíc
↑ Tři sta padesát pět bilionů šest set osmdesát sedm miliard čtyři sta dvacet osm milionů devadesát šest tisíc
↑ Šest kvadrilionů čtyři sta dva biliony tři sta sedmdesát tři miliardy sedm set pět milionů sedm set dvacet osm tisíc
↑ Sto dvacet jedna kvadrilion šest set čtyřicet pět bilionů sto miliard čtyři sta osm milionů osm set třicet dva tisíce
↑ Dva kvintiliony čtyři sta třicet dva kvadriliony devět set dva biliony osm miliard sto sedmdesát šest milionů šest set čtyřicet tisíc
↑ Patnáct septilionů pět set jedenáct sextilionů dvě stě deset kvintilionů čtyřicet tři kvadrilionů tři sta třicet bilionů devět set osmdesát pět miliard devět set osmdesát čtyři milionů
↑ Тридцать вигинтиллионов четыреста четырнадцать новемдециллионов девяносто три октодециллиона двести один септдециллион семьсот тринадцать седециллионов триста семьдесят восемь квиндециллионов сорок три кваттуордециллиона шестьсот двенадцать тредециллионов шестьсот восемь додециллионов сто шестьдесят шесть ундециллионов шестьдесят четыре дециллиона семьсот шестьдесят восемь нониллионов восемьсот сорок четыре октиллиона триста семьдесят семь септиллионов шестьсот сорок один sextilion pět set šedesát osm kvintilion devět set šedesát kvadrilion pět set dvanáct bilionů
↑ Одиннадцать дуотригинтиллионов девятьсот семьдесят восемь антригинтиллионов пятьсот семьдесят один тригинтиллион шестьсот шестьдесят девять новемвигинтиллионов девятьсот шестьдесят девять октовигинтиллионов восемьсот девяносто один септемвигинтиллион семьсот девяносто шесть сексвигинтиллионов семьдесят два квинвигинтиллиона семьсот восемьдесят три кватторвигинтиллиона семьсот двадцать один тревигинтиллион шестьсот восемьдесят девять дуовигинтиллионов девяносто восемь анвигинтиллионов семьсот тридцать шесть вигинтиллионов четыреста padesát osm novemdecillion devět set třicet osm oktodecilion sto čtyřicet dva septdecillion pět set čtyřicet šest cedecillion čtyři sta dvacet pět quindecillion osm set padesát sedm quattuordecillion pět set padesát pět tredecillion tři sta šedesát -dva dodeciliony osm set šedesát čtyři undecillion šest set dvacet osm decilionů devět nonilionů pět set osmdesát dva oktiliony sedm set osmdesát devět septi milion osm set čtyřicet pět sextilionů tři sta devatenáct kvintilionů šest set osmdesát kvadrilionů
↑ Koeficienty tohoto rozšíření dávají A001163 (čitatele) a A001164 (jmenovatele)
↑ Crump, Christiane . Získáno 19. září 2016. Archivováno z originálu 19. září 2016. (neurčitý)
↑ Pearson, Karl (1924), Historická poznámka ke vzniku normální křivky chyb , Biometrika vol . 16: 402–404 [s. 403] , DOI 10.2307/2331714 : „Stirling pouze ukázal, že aritmetická konstanta v De Moivreově vzorci je . Věřím, že to z něj nedělá autora věty.“ ${\sqrt {2\pi ))$
↑ Donald Knuth . Umění programování, svazek I. Základní algoritmy. - M .: Mir , 1976. - S. 79-81. — 736 s.
↑ OEIS sekvence A006882 _
↑ "Encyklopedie pro děti" Avanta +. Matematika.
↑ wolframalpha.com Archivováno 1. listopadu 2013 na Wayback Machine .
↑ Sekvence A002110 v OEIS
↑ OEIS sekvence A000178 _
↑ OEIS sekvence A055462 _

Matematické znaky

Plus ( + )
mínus ( - )
Znaménko násobení ( · nebo × )
Znak dělení ( : nebo / )
Obelus ( ÷ )
kořenový znak ( √ )
Faktorový ( ! )
Integrální znak ( ∫ )
nabla ( ∇ )
Rovnítko ( = , ≈ , ≡ atd. )
Značky nerovnosti ( ≠ , > , < atd. )
Proporcionalita ( ∝ )
Závorky ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Svislý pruh ( | )
Lomítko, lomítko ( / )
Zpětné lomítko, zpětné lomítko ( \ )
Znak nekonečna ( ∞ )
Znak stupně ( ° )
Mrtvice ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Hvězdička ( * )
Procento ( % )
str./min ( ‰ )
Vlnovka ( ~ )
Karet ( ^ )
Circumflex ( ˆ)
Plus-mínus ( ± )
Znaménko mínus plus ( ∓ )
Oddělovač desetinných míst ( , nebo . )
Znak konce důkazu ( ∎ )