Faktorion
Faktor je přirozené číslo , které se rovná součtu faktoriálů jeho cifer.
Úplný seznam faktorů
Horní vazba
Po určení horní hranice pro činitele je snadné (například vyčerpávajícím hledáním) ukázat, že existují přesně 4 taková čísla.
Jakékoli n-místné číslo, které není menší než . Součet faktoriálů jeho číslic však nepřesahuje , kde . Protože první číslo roste rychleji než druhé (první závisí na n exponenciálně a druhé - lineárně ) a již . Proto všechny faktory sestávají z ne více než 7 číslic.
Podobné argumenty pomáhají dokázat konečnost počtu mnoha zobecněných činitelů (viz níže).
Zobecnění
V jiných číselných soustavách
Tabulka faktoru v číselných soustavách až do šestnáctkové soustavy :
| Základna | Maximální počet číslic | výrobní závody |
|---|---|---|
| 2 | 2 | 1, 10 |
| 3 | 2 | 12 |
| čtyři | 3 | 1, 2, 13 |
| 5 | 3 | 1, 2, 144 |
| 6 | čtyři | 1, 2, 41, 42 |
| 7 | 5 | 12 |
| osm | 5 | 12 |
| 9 | 6 | 1, 2, 62558 |
| deset | 7 | 1, 2, 145, 40585 |
| jedenáct | osm | 1, 2, 24, 44, 28453 |
| 12 | osm | 12 |
| 13 | 9 | 1, 2, 83790C5B |
| čtrnáct | deset | 1, 2, 8B0DD409C |
| patnáct | jedenáct | 1, 2, 661, 662 |
| 16 | jedenáct | 1, 2, 260F3B66BF9 |
k-faktory
k-faktor - číslo rovné součtu faktoriálů jeho cifer, vynásobené k. Pak jsou obvyklé 1-faktory.
Kompletní seznam k-faktorů:
- k=2: 817926
- k=3: 138267, 1103790
- k=4: 12, 32, 104, 23076
- k=5:10
Zobecnění Pickovera
Clifford A. Pickover ( 1995 ) ve své knize Keys to Infinity navrhl následující zobecnění:
- Faktor druhého druhu se rovná součinu faktoriálů jeho cifer, například: abc = a !⋅ b !⋅ c !
- Faktor třetího druhu je roven součtu faktoriálů čísel tvořených skupinami číslic, například: abc = ( ab )! + c !
Obě definice generují mnohem větší čísla než obvyklá definice. Ačkoli jsou činitele druhého druhu v desítkové soustavě pouze degenerované (1 a 2), existuje několik činitelů třetího druhu (skupiny čísel jsou vyznačeny tučně):
- 2 432 90 2 0 08 177 819 519
- 51 090 94 2 1 71 710 544 079
- 51 090 94 2 1 71 710 982 398
- 403 291 461 1 26 605 635 584 809 043
- 403 291 461 1 26 605 635 584 814 796
Pro zobecnění obou typů není známo, zda je počet odpovídajících činitelů konečný.
Literatura
- Gardner, M. "Factorial Oddities." Ch. 4 v Mathematical Magic Show: Více hádanek, her, odboček, iluzí a dalších matematických triků od Scientific American. New York: Vintage, str. 61 a 64, 1978.
- Madachy, J. S. Madachyho matematické rekreace. New York: Dover, s. 167, 1979.
- Pickover, CA "Osamělost faktorů." Ch. 22 v Keys to Infinity. New York: W. H. Freeman, str. 169-171 a 319-320, 1995.
- S. L. Vasilenko. Číselné shody . — 2012.