Historie matematického zápisu

Historie matematického zápisu je historií vývoje symbolů používaných ke kompaktnímu psaní matematických rovnic a vzorců . Kromě hinduisticko-arabských číslic a písmen různých abeced ( latina , včetně gotiky , řečtiny a hebrejštiny ), matematický jazyk používá mnoho speciálních symbolů vynalezených během několika posledních staletí.

Promyšlená označení, která odrážejí vlastnosti zkoumaných objektů, pomáhají vyvarovat se chyb či dezinterpretací, přenášejí část studie na technickou úroveň a často „navrhnou“ správný způsob řešení problému. Podle Alfreda Whiteheada dobrá notace osvobozuje mozek od zbytečné práce, a tím mu umožňuje soustředit se na důležitější úkoly [1] .

Zpočátku (například v Euklidově Principia ) byly matematické výroky formulovány slovně. Takový záznam byl těžkopádný, často nejednoznačný a algebraické transformace vyžadovaly mimořádnou kvalifikaci. Velký příspěvek k rozvoji notace učinil François Viet (XVI. století); zejména začal používat písmenná označení místo konkrétních čísel. Postupně byla téměř všechna slova v matematických vzorcích (označení operací , srovnávací vztahy atd.) nahrazena speciálními symboly - matematika získala svůj vlastní jazyk, který nevyžadoval překlad, jazyk s jasně definovaným významem "slov" a přísnou gramatikou , což umožňuje odvodit pravdivé ostatní výroky jsou pravdivé.

Role symbolů v matematice

Výhody symbolických označení jsou kompaktnost, jednoznačný výklad, snadnost transformace. Leibniz v dopise Tschirnhausovi (1678) napsal [2] :

Je třeba dbát na to, aby byl zápis vhodný pro objevy. Toho je dosaženo v největší míře, když znaky stručně vyjadřují a jakoby odrážejí nejhlubší povahu věci; přitom se překvapivě snižuje práce myšlení.

Německý historik Josef Peter Treutlein ( 1845-1912 ) si o symbolismu povšiml, že nikde není intelektuální obsah spojen s formou jeho zobrazení tak úzce jako v matematice, takže pro rozvoj a prohloubení obsahu je často nutné zdokonalovat formulář [3] .

Další historik matematiky, Moritz Cantor , specifikuje požadavky na matematický zápis [4] :

Měl by jasně a jednoznačně odrážet koncept nebo provoz, pro který je určen.
Mělo by být krátké a pohodlné (snadné psaní a tisk).
Mělo by být dostatečně flexibilní, aby v případě potřeby umožnilo rozšíření jeho významu do širších oblastí.

Tato tvrzení vysvětlují směr, kterým se systém matematického zápisu historicky vyvíjel.

Starověké číselné soustavy a původ matematické symboliky

V každé civilizaci je nejstarší matematickou notací číslování (záznam čísel) . Podle způsobu tvoření čísel ze základních znaků (čísel) se starověké číselné systémy dělí na tři typy [5]

Aditivum (z lat. additio - sčítání ). Příklad: římská číslice XXX, která se skládá ze tří římských znaků „deset“ a představuje hodnotu 30.
Subtraktivní (z lat. subtractio - odčítání ). Příklad: římské číslo IX, kde symbol jednotky je nalevo od desítky, a proto se od ní odečítá.
Multiplikativní (z lat. multiplicatio - násobení ). Příkladem je čínský systém zápisu čísel (viz níže ).

Později se objevila poziční číselná soustava , ve které číselná hodnota číslice nezávisí pouze na číslici samotné, ale také na její pozici v číselném záznamu. Operační znaky , vztahy a další symbolická označení se objevila i později, zpočátku byly algoritmy a vzorce uváděny slovně.

Starověký Egypt

Staroegyptské číslování bylo zpočátku podobné pozdějšímu římskému : mělo samostatná znaménka pro 1, 10, 100, ... 10 000 000, kombinovaná aditivně (sčítání). Egypťané psali zprava doleva, ale nejdříve se psaly nejméně významné číslice čísla, takže pořadí čísel nakonec odpovídalo tomu modernímu. Hieratické písmo má již samostatná označení pro každou číslici od 1 do 9 a zkratky pro různé desítky, stovky a tisíce [6] .

Zvláštní znaky označovaly zlomky formy , stejně jako prakticky důležité zlomky . Neměli obecný koncept zlomku a všechny nekanonické zlomky byly reprezentovány jako součet alikvotních zlomků . Typická rozšíření byla shrnuta v těžkopádných tabulkách [6] . ${\frac {1}{n}}$ ${\frac {2}{3))$ ${\frac {m}{n}}$

Příklady obrázků běžných zlomků

1/2

1/3

2/3

1/4

1/5

Příklad zápisu zlomků z Rhindského papyru [7] :

5 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 7 + 1 ⁄ 14 (hodnota: 5 5 ⁄ 7 )

K označení operací sčítání a odčítání byl použit jeden z hieroglyfů:

nebo

Pokud se směr „noh“ tohoto znaku shodoval se směrem psaní, pak to znamenalo „sčítání“, v jiných případech to znamenalo „odčítání“. Pro násobení a dělení neexistovaly žádné speciální zápisy [8] .

Babylon

Sumerové a Babyloňané používali šestinásobný poziční číselný systém . Psali jako Evropané zleva doprava. Svérázný byl však zápis požadovaných 60 číslic klínovým písmem. U čísel byly jen dvě znaménka, označme je jako E (jednotky) a D (desítky); později tam byla ikona pro nulu. Čísla od 1 do 9 byla znázorněna jako E, EE, ... EEEEEEEEE. Dále následovalo D, DE, ... DDDDDEEEEEEEE (59). Číslo tedy bylo reprezentováno v polohové šestileté soustavě a její šestinásobné číslice - v aditivní desítkové soustavě. Zlomky byly zapsány stejným způsobem. Pro oblíbené zlomky 1/2, 1/3 a 2/3 existovaly speciální znaky [9] .

Při popisu algoritmů pro řešení rovnic byly znaky pro neznámé sumerské, z čehož můžeme usoudit, že tyto algoritmy jsou prastaré; tato znamení byla používána jako zkratka pro neznámé v moderní algebře [10] .

Čína

Čínské číslice byly označeny speciálními hieroglyfy, které se objevily ve 2. tisíciletí před naším letopočtem. e. a jejich značka byla nakonec založena ve III století před naším letopočtem. E. Tyto hieroglyfy se dodnes používají. Čínský způsob psaní čísel byl původně multiplikativní . Například číslo 1946 bylo napsáno jako一千九百四十六 - „jeden-tisíc-devět-jedna-sto-čtyři-deset-šest“. V praxi se však výpočty prováděly na suanpanské počítací tabuli , kde byl zápis čísel jiný – poziční, jako v Indii, a na rozdíl od Babyloňanů desetinný. Nula byla poprvé označena prázdným místem, zvláštní hieroglyf零se objevil kolem 12. století našeho letopočtu. E. Pro násobení a dělení na počítací desce byly vyvinuty účinné algoritmy, které jsou slovně popsány v manuálech [11] .

Ve 3. století našeho letopočtu. E. pod vlivem desetinné soustavy měr tradiční v Číně se objevily i desetinné zlomky . V písemných pramenech byly nějakou dobu desetinné zlomky zobrazovány v tradičním (nepozičním) formátu, postupně však tradiční nahradila poziční soustava [12] .

Starověké Řecko

Řecké číslování , stejně jako egyptské a římské, bylo aditivní, to znamená, že číselné hodnoty znaků byly sečteny. Jeho první verze ( Attic , nebo Herodian ) obsahovala abecední znaky pro 1, 5, 10, 50, 100 a 1000. Podle toho byla uspořádána počítací deska ( abacus ) s oblázky. Speciální děrovaný oblázek označený jako nula. Později (od 5. století před naším letopočtem) bylo místo attického číslování přijato abecední číslování - z 24 písmen řecké abecedy prvních 9 označovalo čísla od 1 do 9, dalších 9 písmen byly desítky, zbytek byl stovky. Aby nedošlo k záměně čísel a písmen, byla nad čísly nakreslena pomlčka. Čísla větší než 1000 se psala pozičně, další číslice se označovaly speciálním tahem (vlevo dole). Speciální značky umožnily zobrazit čísla větší než 10 000 [13] . Starověcí řečtí vědci jako první zapisovali zlomky svisle – jejich čitatel však nebyl vyšší, ale nižší než jmenovatel a na zlomku nebyla žádná čára [14] .

Zpočátku Řekové neměli algebraickou symboliku. Jedinou výjimkou mohou být krátká písmena geometrických bodů , stejně jako úsečky nebo kruhové oblouky na jejich koncových bodech.

Vrcholem starověké algebry bylo dílo Diofanta Alexandrijského (3. století n. l.). Daleko předběhl svou dobu zavedl písmennou symboliku - zatím jen pro neznámou veličinu, kterou označuje písmenem ( zeta ). Diophantus také používal zvláštní symboly pro síly neznáma, až do šestého, a jejich reciproční. Speciální symbol (obrácené písmeno ) znamenal odečtení čísla následujícího za ním. Písmeno ( iota , z řeckého ἴσος 'rovný') hrálo roli rovnítka. Všechny tyto novinky umožnily napsat v obecné podobě například pravidla pro násobení mocnin (včetně záporných), pravidlo znamének při násobení záporným číslem a metody řešení neurčitých rovnic v celých číslech [15] [ 16] . $\zeta$ $\psi$ $\jota$

Indie

Již ve staroindických textech v sanskrtu byly poskytovány prostředky pro pojmenování čísel v desítkové soustavě čísel [17] , až . $10^{53}$

Indické číslování vešlo do historie ze dvou důvodů. Kolem 6. století př. Kr E. v Indii se objevily samostatné znaky pro čísla od 1 do 9, které se staly prototypem moderních evropských čísel; jejich autor není znám, ale první tři označení se shodují s čínskými. Přibližně 500 nl. E. Indičtí vědci vynalezli desítkový poziční systém pro zápis čísel. V novém systému se ukázalo provádění aritmetických operací nezměrně snadněji než ve starých, s neohrabanými písmennými kódy nebo šestinásobnými čísly. Pro účely nového systému bylo požadováno zavedení nového čísla, nuly . Učenci se neshodnou na tom, zda tento nápad přišel do Indie od Řeků, z Číny, nebo zda Indové tento důležitý symbol vymysleli sami [18] .

Indičtí matematici pokračovali ve vývoji matematické symboliky, i když se vydali vlastní cestou. Poté, co redukovali odpovídající sanskrtské termíny na jednu slabiku, použili je jako symboly neznámých, jejich síly a volné termíny rovnic. Například násobení se označovalo znakem gu (od slova gunita , násobil). Odečítání bylo označeno tečkou nad subtrahendem nebo znaménkem plus napravo od něj. Pokud bylo neznámých několik, byly jim pro jednoznačnost přiřazeny podmíněné barvy. Druhá odmocnina se označovala slabikou " mu ", zkratkou mula (kořen). Pro pojmenování stupňů byly použity zkratky výrazů „ varga “ (čtverec) a „ ghava “ (krychle) [19] :

Stupeň	$x^{2}$	$x^{3}$	$x^{4}$	$x^{5}$	$x^{6}$	$x^{7}$	$x^{8}$	$x^{9}$
název	wa	gha	wah wah	va gha ghata	wa gha	wa va gha ghata	wah wah wah	gha gha

Záznam zlomků byl na rozdíl od Řeků koncipován podle moderních pravidel: čitatel nad jmenovatelem, i když bylo obvyklé psát celou část smíšeného zlomku ne vlevo, ale nad čitatelem. Sčítání a násobení zlomků se označovalo stejně – oba zlomky se prostě psaly vedle sebe; typ operace musel být rozpoznán z textových vysvětlení. Neexistovalo žádné rovnítko , pravá strana rovnice byla zapsána pod levou stranou, oříznutí monočlenů o stejné mocniny neznámé [20] .

Rusko

Cyrilický číselný systém („slovanské číslování“) v Rusku se objevil spolu s azbukou (IX. století) a přijal řecký zvyk označovat čísla písmeny označenými speciální ikonou . Používala se písmena podobná řečtině, ale konkrétně slovanská ( b , zh , w atd.) nedostala číselné hodnoty. Výjimkou byla písmena h a ts , která přijala číselné hodnoty archaických řeckých písmen „koppa“ a „ sampi “. Čísla se psala jako v římsko-řeckém systému - aditivně: například mg znamenalo 40 + 3. Pro velká čísla (od 1000) byly použity speciální značky [21] . Cyrilická číselná soustava se u východních Slovanů používala až do 18. století, poté byla všude, s výjimkou církevní literatury, nahrazena moderní.

Jiné národy

Články jsou věnovány systémům číslování jiných národů:

Historický vývoj symbolismu

Středověk

K rozvoji starověkého a indického vědění přispěli matematici arabských zemí v období zhruba od 7. do 13. století. Mimo jiné přijali indické desetinné poziční číslování a zvládli (zřejmě nezávisle na Číňanech) desetinné zlomky . Al-Uklidisi jako první popsal pravidla pro práci s desetinnými zlomky v 10. století , celá část zlomku byla oddělena od zlomku apostrofem . Podrobný popis desítkové aritmetiky publikoval al-Kashi v 15. století, ale ani tehdy nebyly desetinné zlomky v islámském světě široce používány. K oddělení zlomkové části čísla použil al-Kashi svislou čáru nebo inkoust jiné barvy. Ačkoli termín „ algebra “ je arabského původu, v islámských zemích žádná symbolická algebra neexistovala, všechny vzorce byly uvedeny slovně; výjimkou byly práce španělsko-maurského matematika al-Kalasadiho (1486) a jeho žáků. Al-Kalasadi vynalezl znaky pro neznámo, jeho druhou mocninu, druhou odmocninu a rovnítko, ale nedostalo se jim distribuce [22] .

Od 12. století začala do Evropy pronikat starověká a arabská díla, která byla překládána do latiny . Zejména v obchodním prostředí se přitom rychle šíří indické figurky a pravidla pro nakládání s nimi. V prvních spisech evropských matematiků jsou všechny vzorce stále uváděny slovně. První (nepříliš vhodný) náčrt algebraické symboliky podal Luca Pacioli , největší algebraista 15. století. Do obecného užívání zavedl notaci pro operaci sčítání a pro odčítání (z italštiny piu, meno ), docela podobnou pozdějšímu plus a mínus . Pro druhou odmocninu použil Pacioli stylizovaná písmena navržená Fibonaccim , ze slova Radix (kořen), s poznámkou pro kořeny o stupeň vyšší než druhý. Příklad záznamu Pacioli [23] : ${\tilda {p}}$ ${\tilda {m}}$ $R_{x}$

R_{x}.6.{\tilde {m}}.R_{x}.2.

současná notace:

{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}.

Pacioli navrhoval krátké slabiky pro neznámo a jeho stupně, připomínající indický systém, ale v roce 1484 Nicolas Chuquet publikoval pohodlnější návrh; například Schukeův moderní monomial byl napsán jednoduše jako Schukeovy další slibné nápady zahrnují použití mínus jako znaku záporných čísel a podtržení složitých výrazů namísto moderních hranatých závorek [24] [25] . $12x^{3}$ $12^{3}.$ ${\tilda {m}}$

Další důležitý krok učinila německá algebraická škola z 15. století, která se nazývala cosisty (Pacioli nazval neznámou veličinu cosa , věc). V učebnici aritmetiky Johanna Widmanna (1489) byly Pacioliho symboly sčítání a odčítání nahrazeny moderními plus a mínus. Cossists označoval stupně neznáma kombinací gotických písmen , tato „kosmická znamení“ si získala určitou oblibu (jejich vliv je patrný i v Magnitského „Arithmetic“ , 1703) [26] .

XVI století. Simon Stevin a François Viet

Století po al-Kashi vyšlo Desáté (1585) Simona Stevina , s nímž se v Evropě začalo široce používat desetinné zlomky. Pro názornost uvedl Stevin jejich čísla v kroužcích nad desetinnými místy (viz obrázek). Stejnými prostředky zapsal algebraické výrazy ; číslice v kroužku označovala číslo proměnné, před ní byl v případě potřeby uveden stupeň této proměnné: sec (čtverec) nebo ter (krychle). Stevin používal písmena M a D jako symboly pro násobení a dělení. Stevin volně používal zlomkové exponenty, také jím zakroužkované [27] .

Mezi další zavedené zápisy, které se objevily v 16. století, patří rovnítko (1557, Robert Record ) a desetinná čárka ( Giovanni Magini , 1592). Německý matematik Christoph Rudolf z Cossistické školy nahradil Pacioliho zápis pro druhou odmocninu moderním radikálním znakem (1525) [28] . Neobvyklý osud postihl komplexní čísla objevená v 16. století – zavedená nejprve jako podmíněné, nesmyslné symboly, o dvě století později nabyly jasného významu a prokázaly velké praktické využití jako právní matematický objekt .

Na konci 16. století byly publikovány práce francouzského matematika Françoise Viety , které způsobily revoluci v algebře. Viet si stanovil za cíl vyvinout nový jazyk, jakousi zobecněnou aritmetiku, která by umožnila provádět matematický výzkum s dříve nedosažitelnou hloubkou, obecností a průkazností. Viet ve svém výzkumu ihned řeší problémy v obecné podobě a teprve poté uvádí číselné příklady. Písmenem označil nejen neznámé, se kterými se již dříve setkal, ale i všechny ostatní parametry , pro které vymyslel termín " koeficienty " (doslova: přispívající ). Před Vietou se s označováním operandů algebraických zákonů a počátečních dat rovnic písmenovými symboly občas setkali Regiomontanus , Christoph Rudolf , Adam Rize , Gerolamo Cardano a Michael Stiefel , ale pouze Vieta dokázal správně posoudit možnosti takového přistoupit a dát to na základ jeho algebry [29] [30 ] .

Vieta používala pro pojmenování proměnných pouze velká písmena (jako v antické geometrii) - samohlásky pro neznámé, souhlásky pro koeficienty. Ze znaků operací použil tři: plus , mínus a zlomek pro dělení ; násobení se označovalo latinskou předložkou v . Místo závorek po Shukovi podtrhl zvýrazněný výraz nahoře (Viet v několika případech použil složené závorky ). Exponenty Viety jsou stále zaznamenány verbálně. Například v pojednání „ O analýze a zlepšování rovnic “ je napsána následující rovnice [29] :

A\ cubus+B\ plano\ 3\ in\ A\ aequari\ Z\ solido\ 2

V moderní notaci:

{\displaystyle x^{3}+3b^{2}x=2z^{3))

Nový systém i přes svou těžkopádnost a omezení umožnil jednoduše a jasně popsat obecné zákony aritmetických a výpočtových algoritmů, Viet s jeho pomocí učinil mnoho matematických objevů. Symboliku Viety okamžitě ocenili vědci z různých zemí, kteří ji začali vylepšovat; toto se primárně týkalo znaků operací , včetně zvýšení na moc a extrahování kořene .

17. století

Algebraická symbolika

V 17. století byl pokračovatelem vytvoření symbolické algebry po Vietovi anglický matematik Thomas Harriot , jeho hlavní dílo vyšlo posmrtně v roce 1631. Harriot zjednodušil Vietovu symboliku a zkrátil zápis vzorců - místo velkých písmen použil malá písmena, podpořil Recordův rovnítko , stupně nahradil násobením: místo moderního . Harriotovo zavedení srovnávacích znaků (dříve psaných slovy: méně, více ) bylo velkým úspěchem. Variantu nepřísných srovnávacích symbolů navrhl Wallis v roce 1670 [31] , ale byl to Pierre Bouguer (1734) [32] , kdo ji učinil široce používaným . Harriot odděloval koeficienty od písmen tečkou, takže tato tečka vlastně hrála roli znaku násobení, např.: (moderní zápis: Nutno podotknout, že jako první systematicky převáděl všechny výrazy na levou stranu rovnice [33] . $aaa$ $a^{3}$ $<\ \>$ $\leqslant \ \ \geqslant$ $aaa-3.baa+3.bba$ $a^{3}-3ba^{2}+3b^{2}a).$

Albert Girard (1626) a William Oughtred (1631) představili svá vylepšení . Girard přidal závorky a znaménko plus-minus . Odmocnina do této doby již měla obrysy podobné těm moderním; Girard navrhl zapsat exponent kubických a jiných kořenů vysokých stupňů nad znaménko radikálu a tato konstrukce zůstala v matematice [28] [34] [35] .

Othredovou zásluhou je zavedení následujících symbolů [36] [37] : znak násobení (lomítko křížek ), znak dělení (lomítko ) a paralelní symbol . Historici odhadují, že Otred použil asi 150 různých matematických zápisů, jeho vlastních i jiných. Většina z nich však neobstála - například konstrukce pro , respektive pro odmocninu byly nahrazeny zdařilejšími symboly [38] . $\krát$ $/$ $\|$ $Aq,Aqq$ $A^{2},A^{3}$ ${\sqrt {}}c$

V 17. století mnoho předních matematiků dospělo k závěru, že exponent by měl být vyjádřen jako explicitní číslo a neměl by být zakódován základním označením (jako u Cossists) nebo slovními zkratkami jako Q (čtverec) nebo C (krychle), protože jinak by bylo nemožné taková pravidla napsat.akce se stupni, jako je , a algebraické transformace vyžadují nadměrné duševní úsilí. Girard, Erigon a další matematici [39] navrhli možnosti návrhu pro záznam indikátoru . ${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n))$

Prakticky moderní podobu dostal algebraický jazyk v polovině 17. století od Descarta . Pro známé parametry navrhl používat počáteční písmena abecedy: a pro neznámé parametry poslední písmena: Descartes tvořil moderní záznam stupňů: s exponentem vpravo a nad proměnnou; ke konci století, Newton rozšířil tento zápis na zlomkové a záporné exponenty. F. Cajori charakterizuje kartézský zápis stupňů jako nejúspěšnější a nejflexibilnější symboliku v celé algebře - nejenže usnadňuje transformace, ale podnítil rozšíření konceptu umocňování na záporné, zlomkové a dokonce komplexní exponenty, stejně jako vzhled v matematice mocnin a exponenciálních funkcí ; všechny tyto úspěchy by bylo obtížné realizovat s použitím označení XVI. století [40] $a,b,c\tečky ,$ $x,y,z.$ $x^{3},$

Descartova algebraická symbolika byla téměř úplně přijata následujícími generacemi vědců, pouze neobvyklé kartézské rovnítko, které získalo určitou distribuci ve Francii a Holandsku, bylo nahrazeno úspěšnějším symbolem Robert Record . Kromě toho byla odstraněna omezení koeficientů, jejichž hodnoty Descartes ve výchozím nastavení považoval za vždy nezáporné, a symboly záporných hodnot označil vpředu znaménkem mínus. Pokud bylo znaménko koeficientu neznámé, Descartes před něj umístil elipsu [41] . Nizozemský matematik Johann Hudde již v roce 1657 dovolil doslovným proměnným nabývat hodnot libovolného znaménka [42] . Newtonova monografie „ Univerzální aritmetika “ (1707), která prošla pěti dotisky, nepočítaje překlady, používá Descartovu notaci a Recordův rovnítko. Sjednocení algebraické notace bylo v podstatě dokončeno koncem 17. století [41] .

Geometrie

Na počátku 17. století již v geometrii existovalo několik běžných symbolů: body byly označeny velkými latinskými písmeny, úsečky, oblouky křivek, trojúhelníky a další obrazce byly označeny písmeny hraničních bodů atd. Označoval se pravý úhel písmenem d (z francouzského droit 'rovný'). V roce 1634 zavedl Pierre Erigon symboly pro úhel a , což znamená „ kolmice “ [43] . Od starověku se také používal paralelní symbol , který se shodoval s moderním rovnítkem ; po objevení posledně jmenovaného, aby nedošlo k záměně, bylo znaménko rovnoběžnosti otočeno vertikálně [37] : . $AB,{\widehat {ab)),ABC$ $\úhel$ $\perp$ $\|$

Na přelomu 17.-18. století se objevilo několik dalších nových geometrických symbolů. Anglický matematik William Jones poprvé použil zápis čísla (1706). Tento zápis byl obecně přijímán Eulerem v 18. století [44] . Současně Leibniz vynalezl symboly , které označovaly podobnost nebo shodu geometrických obrazců [45] . $\pi$ $\sim \ \cong$

Matematická analýza

Když na konci 17. století Isaac Newton a Gottfried Leibniz vytvořili nové rozsáhlé odvětví matematiky – matematickou analýzu – vyvstala otázka, jak pro ni vyvinout vhodný zápis. Newton to téměř neudělal a ze zápisu, který navrhl v matematické analýze , zůstal pouze způsob označování časové derivace tečkou umístěnou nad funkčním symbolem, například: Tento zápis je nepohodlný pro derivace vyšších řádů (více než druhý). Newton také přispěl ke konsolidaci ve vědě infinitezimálních symbolů ( "O" velké a "o" malé ), které dříve navrhl skotský matematik James Gregory . V oblasti symboliky přišel Newton také s nápadem použít indexy k pojmenování jednotlivých objektů ze zadané množiny: [46] [47] . ${\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.$ $x_{1},x_{2}\dots$

Newton nenabízel symbol pro integrál , i když zkoušel různé možnosti: svislou čáru nad funkcí, stejně jako čtvercový symbol, který funkci předchází nebo ji ohraničuje. Ani v Anglii se tyto varianty nerozšířily, z významných matematiků je používala pouze Newtonova studentka Brooke Taylorová (1715). Ve svých „ Principech “ Newton na řadě míst označoval samotné funkce velkými písmeny a jejich deriváty ( rychlosti ) – stejné, ale malá [48] .

Leibniz byl více pozorný k vývoji notace. Několik let pečlivě a trpělivě promýšlel různé varianty termínů a označení, diskutoval s kolegy, poté vybral ty nejlepší, spojil je do jednotného systému a aktivně je popularizoval. Leibniz je autorem moderní notace pro diferenciální , derivační (včetně vyšších řádů) a integrál. Téměř všechny jeho inovace v této oblasti zapustily kořeny ve vědě, protože Leibnizova symbolika, na rozdíl od Newtonovy, jasně odrážela operační rysy analytických metod [49] [50] .

Příkladem je známý vzorec pro změnu proměnné v integrálu : $x=\varphi (t)$

\int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot {d\varphi (t) \over dt}dt

Jasně ukazuje, proč Leibniz pod integrálem neoznačuje integrační proměnnou samotnou, ale její diferenciál - pouze v tomto případě je správný vzorec získán čistě algebraicky, "bez jakéhokoli dalšího přemýšlení" [51] .

18. století

Leonhard Euler , přední matematik 18. století, významně přispěl k zápisu. Euler pojmenoval tři základní číselné objekty - e pro " Eulerovo číslo ", pro poměr obvodu kruhu k jeho průměru a i pro imaginární jednotku [52] . Zavedl také symbol dvojného integrálu na libovolné ploché ploše (1769), znaménko součtu (1755) [53] , znaménko („nerovná se“) [54] . $\pi$ ${\boldsymbol {\Sigma ))$ $\neq$

Simon Lhuillier v roce 1787 navrhl jeden z nejdůležitějších symbolů analýzy – označení limity , jejíž „leštění“ různými matematiky pokračovalo až do konce 19. století [55] .

19. století

Významný příspěvek k notaci měl na počátku 19. století Carl Friedrich Gauss . Je autorem obecně uznávaných symbolů funkce „ celočíselná část “: a Eulerovy funkce , znaku součinu: (1812) a symboliky modulo srovnání [56] . $[X]$ ${\tučný symbol {\Pi}}$

V 19. století pokračovalo formování symboliky matematické analýzy . Weierstrass zavedl symbol absolutní hodnoty v roce 1841 . Symbol ∂ začal označovat parciální derivaci [47] [57] . Byl zaveden moderní design pro hranice určitého integrálu ( Furier , 1816), stejně jako pro křivočaré , plošné a objemové integrály [58] . Do konce století byl v podstatě zaveden standardní zápis pro nejdůležitější funkce analýzy.

V 19. století se objevilo mnoho nových odvětví matematiky, které vyžadovaly vývoj specifických vhodných notací pro ně. Zejména v lineární algebře vznikl obecně přijímaný návrh matic , determinantů a operací s nimi. S touto činností souvisí vznik a počátek širokého používání vektorového počtu a vektorové analýzy , což způsobilo vznik bohaté symboliky pro označování vektorů, tenzorů a operací s nimi [59] .

V 19. století byl položen začátek dlouhé práce na formalizaci matematické logiky , která pokračovala ve 20. století. První symboly nahrazující spojení „proto“ a „protože“ navrhl Johann Rahn již v 17. století. Leibniz nenavrhoval ve svých dílech o základech matematické logiky žádnou novou symboliku [60] . Rozšířené systémy logického zápisu byly současně publikovány anglickými matematiky Augustem de Morganem a Georgem Booleem v roce 1847. De Morganova symbolika měla daleko k moderní, někdy těžkopádné a Boole se snažil nevymýšlet nové symboly (používal obvyklé aritmetické znaky operací, kterým dával logický význam), ale ve skutečnosti definoval symboly pro základní logické operace - konjunkce , disjunkce a negace . Tak vznikl první nástin algebry pro logické objekty (" Booleovská algebra ") a byla vyvinuta pravidla logických transformací [61] .

Na konci 19. století se první symboly teorie množin objevily v dílech Georga Cantora , zabývaly se především mohutností základních množin matematiky a operacemi s mocninnými znaky. Dvě monografie Gottloba Fregeho (1879 a 1893) se staly novou ideologickou etapou v matematické logice , ale logická symbolika vyvinutá Fregem byla neúspěšná a kromě obecných myšlenek a „znaku odvoditelnosti“ z ní ve vědě zůstalo jen málo. Téměř současně byla vydána díla Ernsta Schroedera (1877 a 1890) a Giuseppe Peana (1895 a 1897) s původními symboly, z nichž některé (zejména existenciální kvantifikátor ∃, symboly „obsahuje“ ∋ a „obsahuje“ ∈ ) zůstal ve vědě. $\vdash$

V dokumentu z roku 1895 Peano sebevědomě prohlásil: lze změnit formu symbolů, některé lze odstranit a jiné přidat, ale „nyní jsme schopni vyjádřit všechna matematická tvrzení malým počtem znaků, které mají přesný význam a dobře se řídí. -definovaná pravidla“ [62] .

20. století

Ve 20. století byl standardizován zápis intervalu reálných čísel: [63] . $(a,b),\ [a,b]$

Část axiomů logiky z Principia Mathematica v notaci 1. vydání (symbol ⊃ označovaný implikace , nyní častěji používaný symbol )

\šipka doprava

✸1.2 . ⊦ : p ∨ p . ⊃ . p .

✸1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q .

✸1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ p .

✸1.5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . q ∨ ( p ∨ r ).

✸1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p∨r . _ _

Jak již bylo zmíněno výše, dvě nová odvětví matematiky, která vznikla na přelomu 19. a 20. století – matematická logika a teorie množin – potřebovaly rozsáhlou sadu nových symbolů pro logické a množinové operace . Matematici navrhli více než tucet takových notačních systémů, z nichž doba vybrala ty nejjednodušší možnosti [64] . Klíčová Principia Mathematica od Whiteheada a Russella významně posunula teorii i symboliku matematické logiky; Jako základ byl vzat peano zápis ve vylepšeném stylu. Kromě logického zápisu Whitehead a Russell ve své knize používají symboliku teorie množin, která s ní do značné míry souvisí a byla částečně pokryta v dílech Peana. Autoři v této knize vyjmenovali cíle intenzivního používání formální symboliky [65] ;

Je nutné poskytnout čtenáři jednoznačné porozumění materiálu vysokého stupně abstrakce.
Promyšlený formalismus pomáhá lidské intuici pochopit tematické ideologické motivy a souvislosti.
Stručnost symbolického záznamu usnadňuje jeho vizuální vnímání.
Pomocí symboliky lze logické uvažování rozšířit do oblastí, které byly obvykle považovány za nepřístupné matematickým úvahám.

Ve druhé polovině 20. století bylo při vývoji programovacích jazyků zapotřebí rozsáhlé práce na vytváření nových symbolů . Problém je v tom, že abecedy těchto jazyků byly založeny na kódování znaků ASCII ( sedm nebo osm bitů), které neobsahuje mnoho designových prvků známých v matematice - zejména nemá znaky horního a dolního indexu, mnoho diakritiky , mnoho speciálních znaků (kořen, plus nebo mínus) atd. [66] Například kartézská reprezentace umocňování se z algebraického hlediska ukázala jako velmi úspěšná, ale absence explicitního znaku operace v nutí nás to implementovat tento důležitý nástroj v programovacím jazyce jiným způsobem, a to se v různých jazycích provádí odlišně (další podrobnosti viz článek Umocňování ). Například ve Fortranu je kódován jako v BASIC - as a některé jazyky (například C nebo Pascal ) vůbec neobsahují symbol operace umocňování a používají k tomuto účelu funkce knihovny [67] . $a^{b}$ a ** b,a^b

Obdobná je situace u dalších prakticky důležitých symbolů: indexy prvků pole (obvykle uzavřené ve čtvercích nebo závorkách), operace získávání zbytku z celočíselného dělení, logické a bitové operace atd. Chybějící sjednocení takových označení, navzdory vznik mezinárodních norem ISO 31-11 a ISO 80000-2 je stále běžnou praxí.

Historie jednotlivých postav

Algebra

Objekty

$0123456789$

K označení čísel v zemích s hieroglyfickým písmem (starověký Egypt, Čína) se používaly speciální hieroglyfy a v zemích s fonetickou abecedou se k tomu obvykle zpočátku používala písmena, často se speciální značkou. Takto konstruované římské číslice se někdy používají dodnes. V Indii od 6. století př. Kr. E. byly zavedeny speciální znaky pro každou číslici od 1 do 9. Po určité změně se tyto znaky staly moderními čísly [68] .

V souvislosti s vynálezem desítkové poziční soustavy pro zápis čísel (asi 500 n. l.) bylo potřeba nové znaménko pro nulu . První kód pro nulu, který vypadá jako nám známý kruh, byl nalezen v samotné Indii na nápisu 876 z Gwalioru [69] . Dřívější nápisy s obrázkem nuly byly nalezeny v jihovýchodní Asii : nápis na kamenné desce z ruin chrámu z roku 683 ze starověkého khmerského království Chenla (podle moderního správního členění - okres Sambour v kambodžské provincii Kratie ), a ze stejného (nebo dalšího) roku pochází nápis z okolí Palembangu (Sumatra, Indonésie), který byl v té době hlavním městem starověkého malajského království Srivijaya ; v prvním případě je nula znázorněna jako tlustá tečka, ve druhém jako malý kroužek [70] [71] .

Učenci a amatéři nabídli desítky vysvětlení, proč čísla nabyla této podoby; jednu z těchto hypotéz známe z expozice A. S. Puškina [72] . F. Cajori na základě analýzy těchto vysvětlení dospívá k závěru, že všechna jsou pseudovědecké fantazie [73] .

$\ {\frac {7}{12}}$

„Dvoupatrový“ záznam obyčejného zlomku používali starověcí řečtí matematici , i když jmenovatel zapsali nad čitatelem , ale nebyl tam žádný řádek zlomku. Indičtí matematici posunuli čitatel nahoru; přes Araby byl tento formát přijat v Evropě. Zlomková čára byla poprvé zavedena v Evropě Leonardem z Pisy (1202), ale začala se používat až s podporou Johanna Widmanna (1489) [14] .

$3{,}62$

S desetinnými zlomky se poprvé setkáváme v Číně zhruba od 3. století našeho letopočtu. E. při počítání na počítací tabuli ( suanpan ) [74] . Perský matematik Jamshid al-Kashi se prohlásil za vynálezce desetinných zlomků, ačkoli byly nalezeny v dílech Al-Uqlidisiho , který žil o 5 století dříve [75] . V Evropě byly desetinné zlomky původně psány jako celá čísla na nějaké dohodnuté stupnici. První desetinné zlomky v Evropě popsal Immanuel Bonfils kolem roku 1350, ale rozšířily se až po vydání Desátého (1585) Simona Stevina [76] . Pro přehlednost (a také kvůli absenci obecně uznávaného oddělovače desetinných míst ) Stevin výslovně uvedl číslo každého desetinného místa - například číslo znázornil v následujícím tvaru: . Takový komplexní návrh našel jen málo následovníků (například Ozanam ), většina matematiků jej považovala za nadbytečný [77] . $0{,}3759$ ${\displaystyle 3^{(1)}7^{(2)}5^{(3)}9^{(4)))$

Desetinnou čárku , oddělující zlomkovou část čísla od celého čísla, zavedli italský astronom G. A. Magini (1592) a Napier (1617, Napier však používal i tečku). Dříve se místo čárky používaly jiné symboly - Viet používal svislou čáru: 3 | 62 nebo psal zlomkovou část menšími čísly [78] ; další možnosti zahrnují nulu v závorkách: 3 (0) 62 nebo dvojtečku. Někteří autoři, po al-Kashi , používali inkoust různých barev [14] [79] . V Anglii místo čárky raději používali bod navržený Claviem v roce 1593, který byl umístěn uprostřed čáry; tato tradice byla přijata v USA, ale tečka byla posunuta dolů, aby nedošlo k záměně s Leibnizovým znakem násobení [80] . Absence sjednocení symbolu oddělovače desetinných míst způsobila, že se v 18. a 19. století objevilo mnoho nových návrhů, z nichž žádný se nestal obecně přijatelným [81] . Novým faktorem ve druhé polovině 20. století bylo, že zápis číselných konstant ve většině programovacích jazyků povoluje jako oddělovač pouze anglo-americké období.

$706.510.941{,}252$

Seskupení číslic dlouhých čísel je výhodné pro jejich rychlé vyhodnocení a porovnání. Leonardo z Pisy (Fibonacci) dal doporučení ohledně této partitury již v prvním vydání své Knihy počítadla (1202); radil označovat stovky, statisíce atd. tahem shora a zároveň označovat tisíce, miliony atd. tahem zdola. Ve druhém vydání Knihy počítadla (1228) dal Fibonacci další doporučení: označovat trojice číslic závorkou shora [82] , například: ${\widehat {678}}\ {\widehat {935}}\ {\widehat {784}}\ {\widehat {105}}\ 296.$

Ve 13. století navrhl Sacrobosco oddělit tisíce tečkami. Luca Pacioli a někteří němečtí matematici používali dolní indexy místo oddělovacích teček a počet teček odpovídal počtu skupiny číslic a Otred používal svislé čáry. Nakonec Sacroboscovo jednoduché schéma zvítězilo ve většině zemí, pouze ve Velké Británii a USA, kde je tečka oddělovačem desetinných míst, bylo nahrazeno čárkou [82] . V tištěných publikacích podle doporučení Mezinárodního úřadu pro váhy a míry a ISO [83] [84] převládá neutrální verze pocházející z dob Pacioli, ve které jsou trojice čísel odděleny pevnými mezerami : 678 935 784 105 296 .

$-273$

S uznáním praktické hodnoty záporných čísel vyvstala otázka, jak je zapsat. Nicolas Shuquet v roce 1484 navrhl předložit jim tehdy používané označení jako znak odčítání. S příchodem moderních symbolů plus a mínus (1489) začalo mnoho matematiků dávat mínus před záporná čísla, ale někteří matematici protestovali a poukazovali na to, že stejný symbol by neměl být používán současně jako znak čísla a jako znak čísla. operace odčítání, zejména proto, že mínus v roli znaku čísla lze snadno zaměnit s pomlčkou . Byly navrženy projekty dalších symbolů pro znak čísla, například rohy nebo obrázek ubývajícího / rostoucího měsíce (viz obrázek). Farkas Bolyai navrhl používat pro čísla znaménka plus a mínus, ale zvýraznit je zvláštním stylem (jeho plus bylo jako maltézský kříž ). Přesto je dvojí použití mínusu ve vědě zafixováno [85] [86] . ${\tilde {m)),$

$x,\y,\z$
$a,\ b,\ c$

Speciální znaky (pouze pro neznámé veličiny) používali také babylonští matematici a mezi starověkými Řeky - Diophantus . Vieta jako první navrhl sepsat zákony a vzorce aritmetiky v obecné, symbolické podobě a nahradit konkrétní čísla (nejen neznámé, ale i různé koeficienty) písmeny (1591). Viète označoval neznámé veličiny velkými písmeny samohlásek ( A, E, I, O, U, Y ), známé velkými souhláskami [87] .

Jiní matematici (zejména Johann Rahn ) navrhli používat rozdíl mezi velkými a malými písmeny pro stejný účel. V roce 1637 navrhl Descartes pohodlnější systém: pro neznámá množství se používají poslední písmena abecedy ( x, y, z ) a pro známá první ( a, b, c ... ) a ne velkými písmeny, ale malými písmeny. Descartes použil stejnou trojici jako souřadnicové symboly při vykreslování grafů; Sám Descartes se však omezil na ploché křivky, aktivní využívání prostorových souřadnic začalo později Clairaut . Tato konvence má kořeny ve vědě. O důvodech Descartovy volby písmen x, y, z pro neznámé bylo učiněno mnoho dohadů, nic se však nepotvrdilo [88] [89] . $x, y, z$

${\tučný symbol {i}}$

Písmeno i jako imaginární jednotkový kód : navrhl Euler v článku De formulis Differentibus secundi gradus, quae integrationem admittunt ; článek napsaný v roce 1777 byl publikován (posmrtně) v roce 1794. Podle obecného mínění vzal Euler za symbol imaginární jednotky první písmeno latinského slova imaginarius (imaginární) [52] . Symbol byl podporován Gaussem („ Aritmetické vyšetřování “, 1801) a rychle se stal obecně uznávaným, ačkoli mnoho matematiků pokračovalo v používání explicitního označení radikálu po dlouhou dobu: Když fyzici začali označovat velikost elektrické energie , došlo k určitému nedorozumění . proud s písmenem; brzy byla v elektrodynamice střídavého proudu objevena potřeba komplexních čísel (k popisu kmitů), a aby nedošlo k záměně, začali fyzici označovat imaginární jednotku písmenem [90] . $i={\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1)).$ $i$ $j$

0123456789ABCDEF

Potřeba zápisu hexadecimálních číslic vyvstala v padesátých letech, kdy se objevily počítače s osmibitovým výslovně adresovatelným bytem ; jeho obsah byl nejpohodlněji reprezentován jako dvě hexadecimální číslice. Pro označení čísel od 0 do 9 byly použity stejné znaky jako v desítkové soustavě a pro hexadecimální čísla od 10 do 15 byly nabízeny různé možnosti - čísla od 0 do 5 s pomlčkou ( makron ) nahoře, písmena od U do Z (počítače Bendix G-15, 1956); moderní kódování znaků od A do F se objevilo v sérii IBM System/360 (1964) [91] .

Operace

${\tučný symbol {+\;-}}$

Znaménka plus a mínus byla zřejmě vynalezena v německé matematické škole „kossistů“ (tedy algebraistů). Jsou použity v učebnici Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft , vydané v roce 1489 od Johanna Widmanna „Rychlý a příjemný účet pro všechny obchodníky“ . Předtím se sčítání označovalo písmenem p (plus) nebo latinským slovem et (spojka „a“) a odčítání písmenem m (mínus), tato písmena byla často označena vlnovkou nahoře . Ve Widmanovi symbol plus nahrazuje nejen sčítání, ale také spojení „a“. Původ těchto symbolů je nejasný, ale s největší pravděpodobností byly dříve používány v obchodě jako známky nákupu a prodeje. Někteří matematici 16. a 17. století používali latinský nebo maltézský kříž jako variace plus a místo mínus navrhovali tildu nebo obelus . Přesto se plus a mínus stalo v Evropě běžným – s výjimkou Itálie, která používala stará označení asi století, [92] [93] [94] .

${\boldsymbol {\times \;\cdot }}$

Násobící znak v podobě šikmého kříže zavedl v roce 1631 William Oughtred (Anglie). Před ním bylo nejčastěji používané písmeno M, navržené v roce 1545 Michaelem Stiefelem a podporované Stevinem . Později byla navržena další označení: latinské slovo v ( Francois Viet ), symbol obdélníku na začátku díla a čárka na konci ( Erigon , 1634), hvězdička ( Johann Rahn , 1659), písmeno x ( Wallis , 1655, možná se jedná o tiskovou chybu, protože Wallis má na stejné stránce písmeno x i křížek) [36] [79] [95] . $\Box$

Důvodem pro volbu diagonálního křížku jako znaku násobení bylo s největší pravděpodobností schéma křížového násobení krátkých čísel běžné v těchto letech [96] ; je to o to pravděpodobnější, že před Oughtred se lomítko používalo k označení dalších operací spojených s různými druhy cross-computingu [97] .

Leibniz , poté, co experimentoval s několika různými symboly, nakonec rozhodl se nahradit kříž s tečkou (konec 17. století), aby nedošlo k záměně s písmenem x ; před ním byla taková symbolika nalezena v Regiomontanus (15. století) a Thomas Harriot . Mnoho matematiků, počínaje Diophantem , místo znaménka násobení jednoduše psalo operandy za sebou: tento kompaktní zápis se ukázal být obzvláště vhodný pro převod doslovných výrazů [95] [36] . $ab=a\cdot b;$

${\tučný symbol {/\;:\;\div }}$

Heron , Diophantus a islámští autoři používali vodorovnou čáru zlomku jako znamení rozdělení . Ve středověké Evropě se dělení často označovalo písmenem D. Ootred preferoval lomítko nebo (někdy) pravou závorku, ta druhá se vyskytuje také u Stiefela : konstrukce nebo znamenalo dělení podle Colona začalo označovat dělení od roku 1684 Leibnizem [98]. . $8)24$ $8)24($ $24$ $8.$

V Anglii a USA se rozšířil symbol ( obelus ), který navrhl v roce 1659 Johann Rahn (možná za účasti Johna Pella , dříve Girard tento symbol používal jako synonymum pro mínus) [99] [100] . Pokus Amerického národního výboru pro matematické požadavky odstranit obelus z praxe (1923) byl neúspěšný [101] . $\div$

$([\{\}])$

Pro radikální výraz se závorky objevily v Tartaglii (1556) , později je podpořili Clavius a Girard [28] [102] . Bombelli (1560) použil roh ve tvaru písmene L jako počáteční závorku a jako koncovou závorku se odrážel vzhledem k vertikále (viz obrázek) [C 1] ; takový záznam se stal předkem hranatých závorek. Kudrnatá rovnátka navrhl Viet (1593) [28] .

Většina matematiků před 18. stoletím (včetně Newtona) dávala přednost podtržení (nebo podtržení) zvýrazněného výrazu místo závorek. Protože to ztěžovalo typografickou sazbu, objevily se další metody. Wallis (1655) používal dvojtečky nebo dvojtečku na začátku a tečku na konci výrazu místo závorek, například: místo modern , byly navrženy také různé omezující konstrukce teček nebo čárek, nepohodlné už proto, že tyto znaky byly široce rozšířené použit pro jiné účely. Závorky zavedly do obecného použití Leibniz (asi od roku 1708) a Euler [103] [104] . ${\sqrt {}}:ad-a^{2}:$ ${\sqrt {ad-a^{2))}.$

${\boldsymbol {\pm ))$

Znaménko plus-minus se objevilo u Girarda (1626) a Oughtreda. Girard vytvořil tento symbol následovně [34] : znaménko plus, pod ním slovo „nebo“ ( fr. ou ), a ještě nižší – mínus: Newton navrhl svůj vlastní symbol: („polovina plus“), který však rozdělení zisku [105] . ${\boldsymbol {{\underset {-}{\overset {+}{\operatorname {\scriptscriptstyle ou} }}}\ \ }}.$ $\perp$

${\displaystyle {\boldsymbol {a^{n))}\ {\boldsymbol {a^{x))))$

Umocňování . V Evropě se stupeň nejprve psal verbálními zkratkami (q nebo Q označovaly čtverec, c nebo C - krychle, bq nebo qq - bi-čtverec, tedy 4. stupeň atd.) nebo jako výrobek - např. byl vyobrazen tak, jak Otred napsal takto: (pokud je jen jeden neznámý, často mu nebyl přidělen písmenný odznak) [106] . Německá škola kosistů nabízela speciální gotický odznak pro každý stupeň neznáma. $x^{4}$ $xxxx.$ ${\displaystyle x^{5}-15x^{4))$ $1qc-15qq$

V 17. století se postupně začala prosazovat myšlenka explicitního uvádění exponentu. Girard (1629), pro zvýšení čísla na mocninu, dal před toto číslo indikátor do závorek , a pokud napravo od indikátoru nebylo žádné číslo, znamenalo to, že přítomnost neznámé v určeném stupni byla implikována. [100] ; například myslel . Pierre Erigon a skotský matematik James Hume navrhli možnosti umístění exponentu , napsali ve formě a [39 ] . $(2)2+1(2)$ $2^{2}+x^{2}$ $x^{4}$ $x4$ $x^{IV}$

Moderní záznam exponentu - vpravo a nad základnou - zavedl Descartes ve své " Geometrii " (1637), avšak pouze pro přirozené mocniny větší než 2 (kvadratura po dlouhou dobu byla označována starým způsobem, podle produktu). Později Wallis a Newton (1676) rozšířili kartézskou formu zápisu stupně na záporné a zlomkové exponenty, jejichž výklad do této doby byl již znám z děl Orema , Shuqueta , Stevina , Girarda a samotného Wallise. Začátkem 18. století byly alternativy pro psaní titulů „podle Descarta“, jak to vyjádřil Newton v „ Univerzální aritmetice “, „z módy “ . Exponenciální funkce , tj. zvýšení do různé míry, se objevila nejprve v dopisech a poté ve spisech Leibnize (1679). Povýšení na pomyslnou moc zdůvodnil Euler (1743) [39] [107] [108] .

${\boldsymbol {\sqrt {x}}}$

Středověcí matematici (například Pacioli a Cardano ) označovali odmocninu symbolem nebo stylizovanou kombinací (z latinského Radix , odmocnina) [109] . Určitý zmatek přinesla skutečnost, že v 16. století se zkratky a často označovaly nejen odmocnina, ale i odmocnina rovnice , tedy požadovaná hodnota neznámé; nicméně tyto zápisy používali někteří italští a španělští matematici až do konce 17. století [110] . $R$ $R_{x}$ $R$ $R_{x}$

Moderní označení kořenového znaku poprvé použil v roce 1525 německý matematik Christoph Rudolph z kossistické školy [28] . Tento znak pochází ze stylizovaného prvního písmene stejného slova radix . Řádek nad radikálním výrazem ( vinculum ) zpočátku chyběl; později jej zavedl Descartes (1637) za jiným účelem (místo hranatých závorek) a tento rys brzy splynul s kořenovým znakem [35] .

${\boldsymbol {\sqrt[{3}]{x}}}$

Krychlový kořen v 16. století by se dal označit takto: R x .u.cu (z latinského Radix universalis cubica ), byly i jiné možnosti [109] . S příchodem moderního znaku radikálu byly kořeny o stupeň vyšší než druhý po nějakou dobu označeny složitými klikatami sestávajícími z radikálních znaků „přilepených“ odpovídajícím počtem opakování nebo značkou za radikálem - např. mohl být označen , kde písmeno C znamenalo „kubický“, nebo Moderní označení kořene libovolného stupně s ukazatelem vlevo nahoře Albert Girard (1629) začal používat. Tento formát byl opraven díky Newtonovi a Leibnizovi [35] [111] . ${\sqrt[ {3}]{x}}$ ${\sqrt {Dx))$ ${\sqrt {3:x}}.$

${\boldsymbol {\Sigma ))$

Znak součtu zavedl Euler v roce 1755 [53] .

${\tučný symbol {\Pi}}$

Znak součinu zavedl Gauss v roce 1812 ve své práci na hypergeometrické řadě [56] .

$|x|$

Zápis pro absolutní hodnotu a pro modul komplexního čísla objevil Weierstrass v roce 1841. V roce 1903 použil Lorentz stejnou symboliku pro délku vektoru [112] .

Vztahy

${\bold symbol {=}}$

Jako znak rovná se, matematici navrhovali paletu označení: dolní index pomlčka, mezera, slovo est , zkratky pro slovo “se rovnat” ( aequantur, faciunt ), etc. Moderní symbol navrhl Robert Record v roce 1557; nápis symbolu byl mnohem delší než ten současný. Autor vysvětlil, že na světě není nic rovnějšího než dva paralelní segmenty stejné délky. Zpočátku byla velikost symbolu Záznamu proměnná - znaménko bylo možné prodloužit tak, aby výsledek zaznamenaný poté, co spadl do požadovaného sloupce na listu s výpočtem [57] [113] .

Šíření symbolu Záznamu nějakou dobu bránila skutečnost, že od starověku se stejný symbol používal k označení rovnoběžnosti čar; nakonec bylo rozhodnuto udělat symbol paralelismu vertikální. V Anglii ve 30. letech 17. století přijali téměř všichni hlavní matematici, od Harriota po Newtona , symbol záznamu, ale Viet a Girard používali stejný symbol místo mínus a Descartes ho používal jako znamení, že proměnná může mít jakékoli znaménko. Descartes navrhl další symbol pro rovnost, připomínající Wallisův symbol nekonečna , který se objevil ve stejném období : Poněkud exotické rovnítko ze tří symbolů: bráněné Erigonem (1644); navrhl i jinou verzi znaku: . To vše zdrželo sjednocení tak důležitého symbolu; přesto ve druhé polovině 17. století začal symbol rekordu vytlačovat konkurenty i v kontinentální Evropě [113] (určující byla podpora Leibnize a bratří Bernoulliů) a nakonec se prosadil v průběhu 18. století [114 ] . $\infty .$ $2|2$ ${\mathcal {t))$

Mnoho programovacích jazyků používá rovnítko jako symbol operátora přiřazení .

$\Cca$

Znak „přibližně stejný“ vynalezl německý matematik Sigmund Günther v roce 1882 [57] [115] . Významově i stylem podobný symbol skládající se ze znaménka rovná se a vlnovky nad ním již dříve (1777) použil I. Heseler [116] . $\cong ,$

$\neq$

Znak „nerovná se“ se poprvé setkává, pravděpodobně Euler; v každém případě toto označení aktivně používal [54] .

$\ekviv$

Autorem znaku „ stejně se rovná “ je Bernhard Riemann (1857). Stejný symbol se podle Gaussova návrhu používá v teorii čísel jako znak porovnání modulo a v logice jako znak operace ekvivalence [117] .

$<\ \>$

Srovnávací značky zavedl Thomas Harriot ve svém díle, vydaném posmrtně v roce 1631. Před ním psali slovy: více , méně [32] [53] .

$\leqslant \ \ \geqslant$

Nepřísné srovnávací symboly poprvé navrhl Wallis v roce 1670. Zpočátku byla lišta nad srovnávacím znakem a ne pod ním, jak je tomu nyní. Všeobecného rozšíření se tyto symboly dočkaly po podpoře francouzského fyzika Pierra Bouguera (1734), od kterého získaly moderní podobu [32] .

$A:B=C:D$

Bylo navrženo mnoho označení pro proporce – Descartes používal notaci napsal Othred aj. Nakonec zvítězila moderní symbolika navržená Leibnizem v roce 1708 [118] . $a|b||c|d,$ $AB::CD$

$\ll\;\gg$

Tyto zápisy zavedli Henri Poincaré a Émile Borel (1901) a byly použity k označení, že jedna série je majorizována jinou. Někdy se v tomto úzkém smyslu používají i nyní, ale častěji znamenají „mnohem méně“ a „mnohem více“ [32] .

Geometrie

$\úhel \ \ \perp$

Symboly " úhel " a " kolmice " byly vynalezeny v roce 1634 francouzským matematikem Pierrem Erigonem . Erigonův symbol úhlu připomínal ikonu ; moderní podobu, aby se předešlo záměně s dříve zavedeným znaménkem less, mu dali angličtí matematici Seth Ward (1654) a William Oughtred (1657). Pravý úhel byl často označován písmenem d (z francouzského droit 'rovný') [119] [43] . $<$

$\|$

Symbol paralelismu je znám již od starověku, používali ho Heron a Pappus z Alexandrie . Zpočátku tento symbol vypadal jako aktuální rovnítko, ale s příchodem druhého, aby se předešlo zmatkům, Oughtred (1677), Kersey (1673) a další matematici 17. století dali čarám tvořícím symbol vertikální směr [ 37] [120] .

$30^{\circ }40'50''$

Moderní označení úhlových jednotek ( stupně, minuty, sekundy ) najdeme v Ptolemaiově Almagestu , ale ve středověké Evropě se místo toho psalo slovy: gradus, minutes, secundae (v plném znění nebo zkráceně). Symbol stupně byl znovu použit v roce 1568 francouzským matematikem a básníkem Jacquesem Peletierem ; v příštím desetiletí Erasmus Reingold , Tycho Brahe a Juan Caramuel již používají všechna tři úhlová znamení, načež se tato znamení rychle začala používat obecně [121] .

Radiánovou míru úhlů, vhodnější pro analýzu , navrhl v roce 1714 anglický matematik Roger Coates . Samotný termín radián byl vytvořen v roce 1873 Jamesem Thomsonem , bratrem slavného fyzika Lorda Kelvina . Někteří autoři navrhovali označování radiánových hodnot písmeny nebo horním indexem , ale tyto návrhy nenašly podporu, i když se písmeno někdy používá v pracích o geodézii [121] . $\rho$ $R,$ $\rho$

${\widehat {ab}),{\widehat {abc}}$

Nyní obecně přijímaný zápis pro oblouky kružnice nebo jiné křivky byl poprvé v Evropě použit ve svém „Pojednání o geometrii“ židovským matematikem 12. století Abrahamem bar-Hiya ( Savasorda ); toto dílo okamžitě přeložil do latiny Platón z Tivoli [43] .

$\pi$

John Wallis používal symbol čtverce pro poměr obvodu k průměru (s odkazem na kvadraturu kruhu ) nebo hebrejské písmeno מ („mem“), také podobné čtverci. William Oughtred a Isaac Barrow označili toto číslo takto: : zde označuje první písmeno řeckého slova περιφέρεια, ' kruh ', podobně jako průměr , takže celý zápis je zkratkou pro „poměr obvodu kruhu k jeho průměr“ [122] . $\Box$ $\pi /\delta$ $\pi$ $\delta$

Obecně přijímané označení poprvé vytvořil William Jones ve svém pojednání " Synopsis Palmariorum Matheseos " (1706), měl také na mysli první písmeno řeckého názvu kruhu. Euler se později rozhodl použít stejnou zkratku (ve svých raných spisech váhal mezi písmeny c a p ). Eulerova práce ve 40. letech 18. století označení upevnila [44] . $\pi$

$\sim \ \cong$

Symboly pro označení podobnosti nebo shody geometrických obrazců navrhl Leibniz na počátku 18. století. Leibnizův symbol kongruence, na rozdíl od toho moderního, měl pod vlnovkou pouze jednu rovnou čáru; moderní forma se objevila později v rukou několika matematiků [45] .

$\phi$

Zápis pro poměr zlatého řezu (používají také nápis ) navrhl americký matematik Mark Barr (kolem roku 1909). Označení sahá až k prvnímu písmenu jména starověkého řeckého sochaře Phidias ( jiné řečtiny Φειδίας ), který podle některých historiků architektury ve svých výtvorech systematicky používal zlatý řez (tato tvrzení jsou v současnosti zpochybňována). V odborné matematické literatuře je tento poměr často označován (z řeckého τομή 'oddíl') [123] [124] . $\phi$ $\varphi$ $\tau$

Teorie čísel

$a\equiv b{\pmod m}$

Symbolika modulo srovnání byla vyvinuta Gauss , publikoval v 1801 v jeho aritmetických vyšetřováních . Pedantský Gauss dal za kód „mod“ tečku, protože toto je zkratka pro lat. modulo , ale jeho následovníci považovali tečku za nadbytečnou [125] .

$a\mid b$

Svislý pruh jako symbol vztahu „ rozděluje “ (nebo, co je totéž, „ rozděluje “) poprvé navrhl Edmund Landau v knize „Elementary Number Theory“ (1927); dříve tento symbol někdy používal Godfrey Harold Hardy v nepublikovaných materiálech svého semináře [126] . $A$ $b$ $b$ $A$

$\varphi (n)$

Eulerova funkce, která hraje důležitou roli v teorii čísel a obecné algebře , se Eulerovi objevila v roce 1760, poté označil její moderní označení navržené Gaussem (1801) [127] . $\pi D,$

$n!\$

Kompaktní zápis faktoriálu navrhl Christian Kramp (1808); dříve Euler používal [128] symbol a, zatímco Gauss, Jacobi a další používali [129] symboly a . ${\displaystyle[n],}$ $\Pi (n)$ $\Pi _{n}$

$[X]$

Symbol celé čísla zavedl Gauss v roce 1808. Někteří matematici místo toho raději používají notaci E(x) navrženou v roce 1798 Legendrem [130] .

$\lfloor x\rfloor ,\;\lceil x\rceil$

Dva páry rohových symbolů, které znamenají zaokrouhlení nahoru nebo dolů z reálného čísla na celé číslo, zavedl Kenneth Iverson v roce 1962 [131] .

$\left({\frac {a}{p}}\right)$

Legendre představil symbol pro prvočíslo , který dostal jeho jméno, ve své monografii o teorii čísel (1791). Symbol podobného designu, ale definovaný pro jakékoli liché číslo , publikoval Jacobi (1837) [132] . $p$

Funkce

$f(x)$

První obecný zápis funkcí použil Johann Bernoulli v roce 1718. Po dlouhou dobu matematici uváděli argumenty bez závorek: závorky se používaly pouze v případě mnoha argumentů a také v případě, že argument byl složitý výraz. Ozvěny těch dob jsou běžné a nyní zaznamenávají atd. Ale postupně (pro Eulera - od roku 1734, pro d'Alemberta - od roku 1754) se používání závorek stalo obecným pravidlem [133] [134] [135] . $fx$ $\sin x,\lg x$

Elementární funkce

$\log _{a}b,\;\lg ,\;\ln$

Zkratky se objevily již v 17. století, ale až do konce 19. století neexistovala obecně uznávaná notace pro logaritmus - základ ɑ se označoval buď vlevo a nad symbolem , pak nad ním. Nakonec matematici došli k závěru, že nejvhodnější místo pro základnu je pod čarou, za symbolem . Symbol pro přirozený logaritmus se poprvé objevuje v Irvingu Stringhamovi (1893) [136] . $\log ,\operatorname {Log} ,\operatorname {L}$ $\log$ $\log$ $\ln$

$\sin ,\operatorname {tg} \ (\tan ),\sec$

První zkrácený zápis pro sinus , tečnu a sekantu navrhl Thomas Fincke (1583), který napsal: sin., tan., sec. ; zápis stejných funkcí bez tečky zavedl William Oughtred (1632); až do poloviny 19. století však řada autorů pokračovala v ukončení zápisu goniometrických funkcí [137] [138] . Leonhard Euler v roce 1748 používá pravopis s tečkou ( sin., tang., sec. ), v roce 1753 tečku odmítá (a spolu s tang má i notaci tg používanou v ruskojazyčné literatuře) [139] .

$\cos ,\operatorname {ctg} \ (\cot ),\operatorname {cosec} \ (\csc )$

Fincke označoval kosinus , kotangens a kosekans prostřednictvím sin.com., tan.com., sec.com (kde com je zkratka pro latinský doplněk 'sčítání'). Mezi mnoha označeními navrženými později různými autory najdeme u Jonase Moora (1674) Cos and Cot. a v Samuelovi Jake v jeho pojednání publikovaném v roce 1696 - cos., cot., cosec . Pravopis cos (bez tečky) se vyskytuje u Eulera v roce 1729 (systematicky od roku 1753); Abraham Kestner (1758) důsledně používá označení cos, cot, cosec [138] [140] . Podle F. Cajorieho se označení csc pro kosekant používané v moderní západní literatuře objevuje v Pojednání o trigonometrii od Olivera, Waitea a Jonese (1881) a označení ctg pro kotangens, které se ustálilo v ruské literatuře, se poprvé nachází v Arthur Schoenflies (1886) [141] .

$\arcsin$

Způsob označování inverzních goniometrických funkcí předponou arc- (z latinského arcus 'arc') se objevil u rakouského matematika Karla Scherfera ( německy Karl Scherffer ; 1716-1783) a byl opraven díky Lagrangeovi . Bylo to myšleno tak, že například obvyklý sinus vám umožní najít akord, který jej vede podél oblouku kruhu, a inverzní funkce řeší opačný problém. Až do konce 19. století nabízely anglické a německé matematické školy jiné zápisy: , ale neujaly se [142] . $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin ))$

$\operatorname {sh} \ (\sinh ),\operatorname {ch} \ (\cosh )$

Hyperbolický sinus a kosinus zavedl Vincenzo Riccati (1757), který je označil Sh a Ch . Moderní notaci ( sh a ch ), stejně jako th pro hyperbolickou tečnu , nachází William Clifford (1878). Označení sinh a cosh běžné v anglicky mluvících zemích sahají až k Johannu Lambertovi (1768) [143] . Mezi další navržená označení byla také sinhyp a coshyp (která se používají např. v encyklopedii Brockhause a Efrona ); tato dvě označení se nyní nepoužívají [144] .

$\operatorname {sgn} (x)$

V mnoha případech užitečnou funkci sgn( x ) (z latinského signum 'sign') začal ve svých přednáškách používat Kronecker (1884), ale s jiným označením: [ x ] . Moderní symbol sgn zavedl Peano (1908) [145] [146] .

Speciální funkce

$\Gamma (a),\jméno operátora {\mathrm {B} } (a,b)$

Moderní zápis pro Eulerovy integrály 2. a 1. druhu zavedené Eulerem (v letech 1729 a 1730) navrhli: Adrien Marie Legendre (1811) pro integrál 2. druhu a Jacques Philippe Marie Binet (1839) pro integrál integrální 1 -města. Poté se rozšířily pojmy „ Funkce gama “ a „ Funkce Beta “ [147] [148] . $\Gamma (a)$ $\operatorname {\mathrm {B} } (a,b)$

$\mathrm {li} ,\mathrm {Si} ,\mathrm {Ci} ,\mathrm {Ei}$

Autorem zápisu li pro integrální logaritmus je Johann von Soldner (1809). V roce 1843 zavedl Karl Anton Bretschneider si a ci pro integrální sinus a integrální kosinus . Oskar Schlömilch (1846) upravil tyto zápisy na Si a Ci a také zavedl zápis Ei pro integrální exponenciální funkci [149] .

$\operatorname {\zeta } (s)$

Zápis pro Riemannovu zeta funkci (kterou studoval Euler a později P. L. Chebyshev ), která hraje zásadní roli v teorii čísel , navrhl Bernhard Riemann v roce 1857 [150] . $\operatorname {\zeta } (s)$

$F(\varphi ,k),\;\,E(\varphi ,k),\;\,\Pi (\varphi ,n,k)$

Zápis pro eliptické integrály 1., 2. a 3. druhu (neúplné) v Legendreově normální formě zavedl v podstatě sám Legendre (1825); jediný rozdíl mezi jeho zápisem a moderním zápisem je ten, že modul eliptického integrálu označoval jako (moderní zápis poprvé použil Carl Jacobi v roce 1829) a proměnnou umístil na poslední místo v seznamu argumentů [ 151] . $F(\varphi ,k),$ $E(\varphi ,k),$ $\Pi (\varphi ,n,k)$ $C$ $k$ $\varphi$

$\operatorname {am} u$

Pojem amplitudy eliptického integrálu jako funkce inverzní k eliptickému integrálu 1. druhu a jeho označení zavedl Carl Jacobi (1829) [152] . $\varphi =\operatorname {am} u$

$\operatorname {sn} u,\;\operatorname {cn} u,\;\operatorname {dn} u$

Hlavní Jacobiho eliptické funkce - sinus amplitudy sn, kosinus amplitudy cn a delta amplitudy dn - zavedl Jacobi (1829), který je označil jako sin am u , cos am u a Δ am u (písmeno Δ nahrazuje výraz , který Legendre navrhl v roce 1825) . Kompaktnější zápis sn, cn a dn zavedl Christoph Gudermann (1838). V roce 1882 zavedl James Glaisher zápis pro devět dalších eliptických funkcí: ns, nc, nd, cs, ds, dc, sc, sd a cd [153] . ${\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi )),$

$\vartheta _{0}(v),\;\tečky ,\;\vartheta _{3}(v)$

Aby efektivně vypočítal eliptické funkce, Jacobi je navrhl vyjádřit jako poměry funkcí theta , pro které získal reprezentace jako rychle konvergentní řady funkcí . Jacobi původně označoval funkce theta v roce 1862. Karl Weierstrass , který upravil Jacobiho definice, zavedl moderní zápis [153] . $\operatorname {\Theta } (v),$ $\operatorname {\mathrm {H} } (v),$ $\operatorname {\mathrm {H} _{1}} (v),$ $\operatorname {\Theta _{1)) (v);$ $\vartheta _{0}(v),\;\tečky ,\;\vartheta _{3}(v)$

$\wp (z),\;\operatorname {\zeta } (z),\;\operatorname {\sigma } (z)$

Weierstrassovu eliptickou funkci (čti: "pe-funkce"; zde - Weierstrassův znak , což je stylizované písmeno P ) a úzce související funkci Weierstrass zeta a funkci Weierstrass sigma zavedl (spolu s odpovídajícím zápisem) Karl Weierstrass , který je dal za základ své obecné teorie eliptických funkcí , kterou vykládal od roku 1862 na přednáškách na univerzitě v Berlíně [154] . $\wp (z)$ $\wp$ $\operatorname {\zeta } (z)$ $\operatorname {\sigma } (z)$

$J_{\nu }(x),\;Y_{\nu }(x),\;H_{\nu }^{(1)}(x),\;H_{\nu }^{( 2)}(x)$

Nyní obecně přijímaný zápis pro Besselovy funkce 1. druhu se poprvé objevuje v Isaacu Todhunterovi (1875) [155] . Zápis pro Besselovy funkce 2. druhu (Weberovy funkce) zavedl Hermann Hankel (1869) a zápis pro Besselovy funkce 3. druhu (Hankelovy funkce) patří Nielsi Nielsenovi (1902) [156] . $J_{\nu }(x)$ $Y_{\nu }(x)$ $H_{\nu }^{(1)}(x)$ $H_{\nu }^{(2)}(x)$

$I_{\nu }(x),\;K_{\nu }(x)$

Zápis pro modifikované Besselovy funkce 1. druhu navrhl Alfred Basset (1886) a pro modifikované Besselovy funkce 2. druhu (MacDonaldovy funkce) zápis, pod kterým byly zavedeny v roce 1899 Hectorem Macdonaldem [ 156] se zachovává . $I_{\nu }(x)$ $K_{\nu }(x),$

$\operatorname {Ai} (x),\;\operatorname {Bi} (x)$

Označení Ai pro funkci Airy 1. druhu navrhl v roce 1828 Harold Jeffreys [157] ; použil první dvě písmena jména George Airy , který v roce 1838 jako první prozkoumal Airyho rovnici [158] . V roce 1946 Jeffrey Miller přidal označení Bi pro funkci Airy 2. druhu , která se také stala standardní [159] .

$B_{i,m}(x)$

Označení se čte jako „ B-spline stupně m s číslem i “ (předpokládá se, že tento spline je postaven na uzlech X i , …, X i+m+1 nějaké sítě ). Obecnou definici B-splines pro mřížku s náhodně rozmístěnými uzly uvádí Haskell Currie a Isaac Schoenberg (1947), kteří je ve své práci [160] nazvali „základními splajny“ a použili písmeno N místo B . Samotný termín „B-spline“ zavedl Schoenberg v roce 1967, poté se změnilo i označení [161] [162] [163] . $B_{i,m}(x)$

$\operatorname {up} (x)$

Funkce up (čti „ap-funkce“), která se stala historicky prvním a nejdůležitějším příkladem atomárních funkcí (což jsou nekonečně diferencovatelné analogy polynomických splajnů [164] ), byla s tímto označením představena v roce 1971 v článku [165 ] od V. L. Rvacheva a V. A. Rvacheva [166] [167] .

$\delta(x)$

Diracovu delta funkci δ( x ) , která se stala prvním příkladem zobecněné funkce , představil Paul Dirac ve svých pracích z roku 1927 [168] [169] [170] [171] . Jasnou představu o této funkci a jejích hlavních vlastnostech měl však již Heaviside (1893) , ve kterých se objevila jako derivace funkce Heaviside , ale nedostala zvláštní označení [172] .

Lineární algebra

${\bar {a)),{\vec {a)],\mathbf {a} ,{\mathfrak {A)),{\mathfrak {a))$

Pojem vektor zavedl do vědy v roce 1847 [173] William Rowan Hamilton jako součást své teorie čtveřic (nazval čtveřici s nulovou skalární částí vektorem ); vektory označoval řeckými písmeny a skaláry latinskými písmeny. Již v roce 1803 však Lazar Carnot použil pojem geometrické veličiny , chápal jej jako převážně směrované segmenty a segment se začátkem v bodě A a koncem v bodě B pomocí pomlčky nahoře: AB ; August Ferdinand Möbius navrhl v roce 1827 reprezentovat takový segment jako rozdíl B − A . James Clerk Maxwell preferoval označení vektorů gótským písmem , zakladatelé vektorové analýzy Oliver Heaviside a Josiah Willard Gibbs tučně. Téměř všechny tyto typy symboliky se stále vyskytují, zejména tučné písmo, pomlčka nebo šipka nad písmenem [59] [174] .

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\ \left[\mathbf {a} ,\mathbf {b} \right]$

Pojmy a zápis operací s vektory vytvořilo v 19. století mnoho matematiků a sjednocení zápisu se dosud nepodařilo dosáhnout. Grassmann zapsal vektorový součin ve tvaru (1844) a skalární součin označil jako (1846) nebo (1862); poslední verze nečekaně oživená ve 20. století v podobě bra-ket symboliky zavedené Diracem (1939) a používané v kvantové mechanice [175] [176] . Heaviside preferoval nejjednodušší formu pro skalární součin , zatímco Gibbs přidal nižší tečku mezi operandy skalárního součinu a vektorový součin byl zapsán tak , že skalární a vektorové součiny Hendrika Lorentze vypadaly takto: a Zápis je poprvé nalezen v Olaus Henrici (1903). Označení moderních autorů dané možnosti nejčastěji obměňují [175] . $\left[\mathbf {a} \mathbf {b} \right]$ $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ $\left[\mathbf {a} |\mathbf {b} \right]$ $\mathbf {a} \mathbf {b} ,$ $\mathbf {a} \times \mathbf {b} .$ $\mathbf {a} .\mathbf {b}$ $\left[\mathbf {a} .\mathbf {b} \right].$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$

$\left\|{\bar {a}}\right\|$

Zápis normy vektoru se poprvé objevil u Erharda Schmidta (1908) ve speciálním případě normy v prostoru . Obecnou definici normy v abstraktním vektorovém prostoru podal Stefan Banach ve svém článku „O operacích na abstraktních množinách...“ [177] (1922), kde také použil tento zápis [178] . $\left\|{\bar {a}}\right\|$ ${\bar {a}}$ $\ell _{2}$

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\ {\begin{Vmatrix}a&b\\c&d\end{Vmatrix}}\ {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{ vmatrix}}$

Hraniční matice se dvěma svislými čarami zavedl Cayley kolem roku 1843; nyní se místo nich často používají závorky nebo hranaté závorky. Moderní učebnice uzavírají determinant v jednoduchých řádcích, také po Cayley. Závorky pro matice pravděpodobně poprvé použil anglický matematik Cuthbert Edmund Cullis v roce 1913 [179] [180] .

$\Gamma^{k}_{ij}$ nebo $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}$

Christoffel symboly , v srdci tenzorové analýzy a obecné teorie relativity , byly představeny Alvinem Brunem Christoffelem v 1869 papíru, který používal formát zápisu ; varianta navržená v roce 1923 Georgem Birkhoffem [181] [182] . $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}$ $\Gamma^{k}_{ij}$

$\delta _{s_{1}\tečky s_{n}}^{r_{1}\tečky r_{n}}$

Kroneckerův symbol , který hraje velkou roli v tensor kalkulu , Kronecker definoval pro případ v 1866 papíru; v roce 1924 Francis Murnaghan popsal její zobecnění na tenzor libovolné hodnosti [182] . $n=1$

Matematická analýza

$(a,b)\ [a,b]$

Zápis pro interval reálných čísel byl poprvé použit v roce 1909 německým matematikem Gerhardem Kovalevským ; pokud byl hraniční bod zahrnut do intervalu, pak byly místo závorek použity lomené závorky. V roce 1921 Hans Hahn nahradil lomené závorky hranatými závorkami a tato symbolika zakořenila ve vědě [63] .

$E$

Standardní zápis Eulerova čísla e = 2,7182818... byl poprvé zaznamenán Eulerem v nepublikovaném rukopisu z roku 1728 a znovu se vyskytuje v jeho „ Mechanice “ (1736) a v mnoha následujících dílech. Později se objevily další návrhy: písmeno c ( D'Alembert , 1747), ( srpen de Morgan , 1842) a Benjamin Pierce navrhoval složité znaky ve tvaru kancelářské sponky pro konstanty (1859); tyto varianty nezískaly popularitu [183] . $\epsilon$ $e,\pi$

$\Delta x$

Označení přírůstku písmenem poprvé použili Johann Bernoulli (který však mezi přírůstkem a diferenciálem jasně nerozlišoval ) a Euler (1755) [184] [185] . $\Delta$

$o,o$

Infinitezimální symboly používal skotský matematik James Gregory . Newton od něj převzal označení „o malém“ [186] . Velká verze symbolu v jeho moderním významu ( „velký“ ) se objevila ve druhém díle Analytické teorie čísel od Paula Bachmanna (1894). Oba symboly zpopularizoval Edmund Landau ve svém článku z roku 1909 [187] , a proto jsou často označovány jako „Landauské symboly“ [188] .

${\displaystyle dx\quad {\frac {dy}{dx}}\quad {\frac {d^{n}y}{dx^{n))))$

Zápis dx a dy pro diferenciály argumentu a funkce zavedl Leibniz ve svých monografiích „Nová metoda maxim a minim…“ [189] (1684), načež zápis derivace jako poměr diferenciálů přirozeně se objevil . Leibniz ve své monografii „Odpověď panu Bernardu Nieventeitovi…“ [190] (1695) uvažuje také o diferenciálech vyšších řádů a zavádí pro ně docela moderní označení [191] [192] .

${\tečka {x}}$

Tradice označování časové derivace tečkou nad písmenem pochází od Newtona (1691) [47] .

$f'(x)$

Stručné označení derivace s tahem se vrací k Lagrangeovi , ve kterém na rozdíl od Leibnize nebyl základním konceptem analýzy diferenciál , ale derivace [193] .

${\frac {\částečné }{\částečné x))$

Až do poloviny 18. století záznam parciálního derivačního symbolu nijak nevyčníval. Euler v roce 1755 navrhl, aby byly parciální deriváty uzavřeny v hranatých závorkách; tato symbolika měla určitý oběh. S moderním označením se poprvé setkali články od Condorceta (1770) a Legendra (1786), ale ani tito autoři jej neopravili. Lagrange zkoušel různé možnosti - například indexovat deriváty: nebo v závorkách uvést, která proměnná je diferencována: ale tato symbolika byla zjevně neúspěšná. V několika článcích Williama Hamiltona se nachází symbol blízký tomu modernímu . Moderní notaci zobecnil Carl Jacobi (1841) [194] . $F'_{1}$ $F'(y),$ ${\frac {\delta f}{\delta x))$

$\int \ \iint \ \iiiint$

V raných poznámkách Leibniz používal symbol omn jako symbol pro integrál . (z latiny de omnium , 'total' - tuto zkratku zavedl Cavalieri pro výpočet ploch " metodou indivisibles "). Moderní označení integrálu, které Leibniz vytvořil ze stylizovaného počátečního písmene slova „Summa“ ( lat. Summa ), bylo poprvé nalezeno v nepublikovaném rukopisu datovaném 29. října 1675 a v tisku se objevilo v memoáru „Na Skrytá geometrie a rozbor nedělitelných...“ (1686); tiskárna však pro usnadnění své práce nahradila v tomto prvním článku integrální symbol písmenem . Johann Bernoulli ve své korespondenci s Leibnizem původně navrhoval písmeno jako symbol integrálu, ale později souhlasil s přijetím Leibnizova znamení [195] [196] [197] . Ve svých prvních článcích Leibniz často zdůrazňoval výrazy pro integrál a diferenciál, snad chtěl ukázat, že se jedná o integrální symboly, ale později od této praxe upustil [198] . ${\mathit {f))$ $já$

Dvojitý integrál na libovolné rovinné oblasti zavedl Euler (1769) a trojný integrál (nad objemem) brzy použil Lagrange [199] .

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\ \ \lim _{x\to+0}f(x)\ \ \varlimsup _{n\to \infty }x_{n))$

Symbol limitu se objevil v roce 1787 u Simona Lhuilliera v následujícím formátu: toto označení podpořil Cauchy (1821). Tečka za lim brzy zmizela [55] . $\operatorname {lim.} x:a;$

Weierstrass zavedl označení blízké modernímu , i když místo nám známé šipky použil rovnítko: [200] . Šipka se objevila na počátku 20. století v rukou několika matematiků [201] . $\operatorname {Lim} _{x=a}$

Označení jednostranné limity poprvé navrhl Dirichlet (1837) ve tvaru: Moritz Pasch (1887) zavedl další důležité pojmy - horní a dolní limitu , které zapsal ve tvaru: resp . V zahraničí se tato symbolika stala standardem a v ruské literatuře převládají další označení: zavedla Alfred Pringsheim v roce 1898 [202] . $f(a+0),f(a-0).$ $\lim \sup$ $\lim \inf$ $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n},\ \varliminf _{n\to \infty }x_{n},$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Návrh určitého integrálu v nám známé podobě vynalezl Fourier , který jej používá od roku 1816. Před ním byly limity poprvé naznačeny slovně; Euler je v roce 1768 zapsal za integrál do hranatých závorek, ve dvou řádcích (od/do) [203] [58] .

$\směřovat$

Označení kružnicí pro křivočarý integrál nad uzavřeným obrysem navrhl v roce 1923 Kramers [199] .

$f*g$

Hvězdičkový zápis pro konvoluci funkcí poprvé navrhl Vito Volterra v roce 1912 na svých přednáškách na Sorbonně (publikováno o rok později) [204] .

$\nabla$

Symbol pro tento diferenciální operátor vytvořil William Rowan Hamilton (1853) a název „ nabla “ navrhl jako vtip jeden z přátel skotského matematika Taita , přítele Hamiltona, a poznamenal, že tvar tohoto znaku připomíná asyrskou harfu s tímto (starořeckým) jménem (1892). Používá se také termín „ Hamiltonův operátor “ [205] .

$\Delta$

Symbol Laplaceova operátoru („ Laplacián “), který je rozšířený v matematické fyzice , se objevil v roce 1833 od anglického fyzika a matematika Roberta Murphyho (Robert Murphy, 1806-1843) [115] . Před ním se místo něj někdy používal symbol navržený Fourierem [206] $\Delta \Phi$ $D\Phi .$

$\mathrm {grad} ,\mathrm {div} ,\mathrm {rot}$

Symbolika klasických diferenciálních operátorů vektorové analýzy se formovala postupně na přelomu 19.-20. století. Pojem gradient zavedl William Hamilton již v roce 1846, ale název a obecně přijímané označení termínu se objevilo kolem roku 1900 v německé škole, snad díky Heinrichu Weberovi . Koncepty divergence a kadeře byly představeny Maxwellem v jeho práci na teorii elektromagnetického pole ; termíny a zápis navrhl Clifford (1878) [207] .

$\gamma \ C$

Euler-Mascheroniho konstanta byla zavedena v roce 1735 Leonhardem Eulerem . Euler ji označil písmenem a Mascheroni [132] — označení navržené Bretschneiderem se nyní často používá, protože tato konstanta je spojena s funkcí gama [208] . $C$ $A;$ $\gamma ,$

Matematická logika a teorie množin

V matematické logice bylo navrženo velké množství symbolů logických operací a různí autoři často používali různé zápisy pro stejnou operaci. Mnohem větší míra sjednocení je charakteristická pro symboliku teorie množin [209] .

$\land \ \&\ \lor$

George Boole (1854) používal obvyklé násobení a sčítání pro logické operace konjunkce a disjunkce . Označení blízká těm moderním navrhl Giuseppe Peano (1895); oproti aktuálně používaným možnostem byly více „vyhlazené“, ve formě oblouků kruhu. Moderní symbol disjunkce se poprvé objevuje v „Mathematical Logic Based on Type Theory“ (1908) Bertranda Russella [210] (1908), zatímco konjunkce je tam označena tečkou na řádku (symbol disjunkce je odvozen z latinského vel 'nebo Později vznikla tradice označující provoz přísné disjunkce [211] ). Moderní symbol konjunkce (převrácený znak disjunkce) navrhl Arend Heiting (1930); ampersand & [64] [212] zůstává běžnou alternativou pro něj . $\land ,\ \lor$ $\lor$ $\přistát$

V programovacích jazycích konjunkce, disjunkce a striktní disjunkce obvykle používají jiné zápisy (například Ada používá vyhrazená slova and, ora xor[213] , zatímco C a C++ používají zápis &, |, ^pro bitové operace a &&, ||pro logické operace [214] ).

$\sim \ \lnot$

Logickou negaci označil Giuseppe Peano v roce 1897 symbolem ( tilda ) podobným mínusu; nyní je standardem blízký symbol navržený Heytingem v roce 1930 [64] [212] . K označení negace také používají vodorovný pruh nad výrazem, který byl také nalezen v Boole a Charles Pierce (1867) [215] . Jiné zápisy se používají pro negaci v programovacích jazycích (například Ada používá vyhrazené slovo [213] , zatímco C a C++ používají zápisy pro bitovou operaci a logickou negaci [214] ). $\sim$ $\lne$ not ~!

$\to \ \supset \ \equiv \ \leftrightarrow$

První logický symbol, znamenající „proto“, navržený Johannem Rahnem v roce 1659, se skládal ze tří teček: . Otred (1677) zobrazil důsledek dvěma tečkami v horním indexu. Obrácený symbol: v 19. století někdy v anglicky mluvících zemích nahrazovala spojku „protože“ [60] . ${\tečka {.\ .))$ ${\tečka {}}\,.{\tečka {\ \,}}$

Symbol pro implikaci navrhl David Hilbert (1922). Neméně obvyklý je znak ⊃ , který v tomto smyslu používal i Giuseppe Peano (1898) a nahradil dřívější styl ɔ tohoto znaku (který Peano používal od roku 1891). K označení ekvivalence se používá jak symbol identity (jak to udělal Russell v již zmíněné práci z roku 1908), tak znak navržený Albrechtem Beckerem (1933) [212] [216] . $\na$ $\ekviv$ $\leftrightarrow$

$\mid \ \downarrow$

Schaefferův tah k označení operace antikonjunkce zavedl Henry Schaeffer , který ve svém článku „Soubor pěti nezávislých postulátů...“ [217] (1913) zdůvodnil možnost konstrukce výrokové logiky založené na jediné logické operaci. - antikonjunkce [218] . Schaefferovy výsledky však předjímal Charles Peirce (1880), který ve svém nepublikovaném díle „Booleovská algebra s jednou konstantou“ takovou konstrukci skutečně provedl na základě jiné operace – antidisjunkce , která se obvykle označuje znaménkem ( Pearceův šíp ) [219] [220] . $\střední$ $\šipka dolů$

$\forall \ \exists$

První symboly pro kvantifikátory se objevily v roce 1879 v Gottlob Frege 's Calculus of Concepts; Fregeův zápis byl založen na těžkopádném dvourozměrném zápisu a v budoucnu nebyl široce používán. Následně byla navržena úspěšnější označení; například Oscar Mitchell v roce 1883 a Charles Peirce v roce 1885 používali velká řecká písmena a (samotný termín „kvantifikátor“ navrhl také Peirce) [221] . Obecně přijímaný zápis pro existenciální kvantifikátor byl ( Giuseppe Peano , 1897) a pro obecný kvantifikátor symbol , vytvořený Gerhardem Gentzenem v roce 1935 analogií s Peanovým symbolem; tyto znaky jsou obrácená první písmena anglických slov Exists 'exists' a All 'all' [222] [223] . $\Pí$ $\Sigma$ $\existuje$ $\pro všechny$

$\vdash$

Znak derivovatelnosti ( turniket ) zavedl v podstatě Frege (1879) v již zmíněné knize "Calculus of Concepts" [224] . V moderním stylu se nachází v Bertrandu Russellovi (1908) [210] .

$\lambda xE$

Výraz znamená "funkci, která mapuje na každou hodnotu argumentu odpovídající hodnotu výrazu " (kde obecně závisí na ). Operátor λ-abstrakce a λ-počet založený na jeho použití navrhl koncem 20. let Alonzo Church (první publikací byla jeho práce [225] z roku 1932, v níž však Church stále psal ; moderní standardní zápis převzal dne do roku 1941) [226] . $\lambda xE$ $X$ $E$ $E$ $X$ $\lambda x[E]$

$\in \ \cap \ \cup \ \subset \ \supset$

Symbolika teorie množin byla značně ovlivněna symbolikou matematické logiky , která s ní úzce souvisí a již koncem 19. století dobře rozvinutá . Znak členství (původně stylizované písmeno ε v řečtině εστι 'být') zavedl Giuseppe Peano (1889) ve svém díle „Základy aritmetiky podané novým způsobem“ [227] . Je také autorem symbolů pro průnik a spojení množin (1888). Symboly teorie množin „obsahuje“ a „obsahuje“ se objevily v roce 1890 u Ernsta Schroedera [212] [228] . $\v$

$\aleph \ \omega \c$

V 80. letech 19. století Georg Cantor objevil hierarchii nekonečných množin a seřadil je podle mohutnosti . Nejmenší z nich - mocninu přirozené řady - označil první písmeno hebrejské abecedy " aleph " s nulovým indexem: Kantor označil pořadové číslo přirozené řady písmenem posledního písmene řecké abecedy . Mohutnost množiny reálných čísel se obvykle označuje písmenem (od slova kontinuum 'kontinuita') [229] [230] . $\aleph _{0}.$ $\omega ,$ $C$

$\varnothing \ \emptyset$

Znak pro prázdnou množinu navrhl v roce 1939 André Weil během práce skupiny Bourbaki na přípravě vydání knihy „Teorie množin. Shrnutí výsledků“ pojednání „Prvky matematiky“ ( jako prototyp znaku bylo použito písmeno norské abecedy se stejným stylem) [231] . Před rokem 1939 byla prázdná množina někdy označována symbolem nula [232] . $\varno nic$

$f\colon X\rightarrow Y$

Zápis pro mapování množiny X do množiny Y se poprvé objevil v roce 1940 na přednáškách Vitolda Gureviche o relativních homotopických grupách [233] . $f\colon X\rightarrow Y$

$\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

V roce 1888 Richard Dedekind v článku „ Byl ist und byl sollen die Zahlen “ poprvé použil symbol pro množinu přirozených čísel a pro množinu reálných čísel . Pro celá a komplexní čísla navrhl Dedekind symboly , resp. Moderní obecně přijímaný zápis množiny celých čísel poprvé použil Edmund Landau v roce 1930 (Landau měl nad symbolem Z pomlčku , která byla později zrušena). Bourbaki , v Algebraic Structures (1942), podpořil symbol a navrhl zápis pro pole racionálních čísel. Symbol pro obor komplexních čísel se objevil v článku Nathana Jacobsona (1939) a stal se obecně uznávaným v 50. letech 20. století [234] . $\mathbb {N}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {K} ,\mathbb {J}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {\bar {Z))$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$

Jiná označení

Symbol procent se objevil v polovině 17. století ve více pramenech najednou, jeho původ je nejasný. Existuje hypotéza, že vznikla chybou sazeče, který zadal zkratku cto (cento, settina) jako 0/0. Je pravděpodobnější, že se jedná o kurzivní komerční odznak, který vznikl asi o 100 let dříve [235] .

$C_{n}^{k}\ {n \vyberte k}\ A_{n}^{k}$

Označení pro počet kombinací (nebo, co je stejné, pro binomické koeficienty ) se objevilo v roce 1880 u anglického matematika Roberta Pottse ( Robert Potts , 1805-1885), pochází z lat. combinatio - kombinace. Zároveň se v Pottsově notaci nacházel horní symbol vlevo, nikoli vpravo od písmene C. V západní literatuře je běžná druhá verze označení: navrhl ji Euler , ale také se lišila od zprvu moderní: Eulerovy byly přeskupeny a odděleny vodorovnou čarou, jako zlomek. Notaci nyní přijímanou na Západě standardizoval německý matematik Andreas von Ettingshausen v knize Kombinatorická analýza (1827), poté je podpořil Josef Ludwig Raabe (1851). Zápis pro počet umístění navrhl v roce 1904 jiný německý matematik Eugen Netto analogicky k počtu kombinací [236] [237] . $C_{n}^{k}$ $k$ ${n\vyberte k},$ $n,k$ $A_{n}^{k}$

$\infty \ +\infty \ -\infty$

Symbol nekonečna byl vynalezen Johnem Vallisem , publikovaným v roce 1655 [28] . Dvě modifikace tohoto symbolu se objevily ve Weierstrass (1876) a našly široké uplatnění v analýze: plus-nekonečno a mínus-nekonečno [230] .

$x_{n}$

Indexování pro číslování homogenních proměnných v jeho moderní podobě zavedl Newton (1717). Nejprve se kvůli typografickým omezením rejstříky tiskly nikoli pod čarou, ale na stejné úrovni. Dvojité indexy (pro prvky matic ) zavedl do obecného použití Jacobi (1835) [238] .

${\cancel {0}}\ {\cancel {\mathsf {O}}}$

V inženýrské praxi se pro označení průměru používá překřížená kružnice (znak Unicode-8960) [239] . Při práci s počítačem , kvůli nebezpečí záměny čísla 0 s latinským nebo ruským písmenem O , svého času existovalo doporučení (obzvláště relevantní při psaní programů na kódovacích formulářích ) škrtnout nulu [240] : (někdy udělali opak: při programování na počítači " Minsk-32 " přeškrtli písmeno O , nikoli nulu [241] ). Znakové generátory mnoha textových terminálů , video adaptéry pro osobní počítače a jehličkové tiskárny také při práci v textovém režimu vydávají nulu přeškrtnutím (některé tiskárny mají vestavěné přepínače pro zapnutí a vypnutí režimu nuly přeškrtnutí) [242] [ 243] . V moderních počítačových fontech je písmeno O znatelně širší než nula, takže přeškrtnutí obvykle není vyžadováno. ${\zrušit {0}}$

Viz také

Poznámky

Komentáře

↑ V knize N. V. Alexandrova je koncový roh vyobrazen chybně, viz fotokopie stránky Bombelliho knihy v knize: Cajori F. , sv. 1, § 144.

Prameny

↑ Mazur J., 2014 , Kapitola 20. Rendezvous in the Mind.
↑ Juškevič A.P. Leibniz a základ infinitezimálního počtu // Uspekhi matematicheskikh nauk . - Ruská akademie věd , 1948. - T. 3 , č. 1 (23) . - S. 155-156 . (Ruština)
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §199.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §639.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 12-13.
↑ 1 2 Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 21.
↑ Gardiner Alan H. Egyptská gramatika: úvod do studia hieroglyfů 3. vyd., rev. Londýn: 1957, str. 197.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §200.
↑ O'Connor JJ, Robertson EF Přehled babylonské matematiky . Získáno 23. prosince 2015. Archivováno z originálu 5. října 2008. (neurčitý)
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 42.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 157-161.
↑ Martzloff, Jean-Claude. . Historie čínské matematiky . - Springer, 1997. - S. 197-200 . — ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 62-64.
↑ 1 2 3 Alexandrova N.V., 2008 , s. 48-50.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 144-145.
↑ Bashmakova I. G. . Diofantní a diofantické rovnice. - M .: Nauka, 1972 (reprint M.: LKI, 2007). — 68 s.
↑ Volodarsky A.I. Matematika ve starověké Indii // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka , 1975. - č. 20 . - S. 289 .
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 181-183.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 188-189.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 185-186, 189.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 252.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 212-214, 227.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §134, 135.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 286-290.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §122, 130.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 290-291.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 301-304, 306.
↑ 1 2 3 4 5 6 Matematická encyklopedie, 1979 .
↑ 1 2 Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 308-311.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §176.
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 22-23.
↑ 1 2 3 4 Aleksandrova N. V., 2008 , s. 111-112.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §188.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 127.
↑ 1 2 3 Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 41.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 141.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 123.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §185.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 130-131.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §315.
↑ 1 2 Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 40-46.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §392.
↑ 1 2 3 Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §359.
↑ 1 2 Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §396-397.
↑ 1 2 Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §372.
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 234-237, 266.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 142-143.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §622.
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 255-257, 266.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 45-46.
↑ Mazur J., 2014 , Kapitola 18. Mistr symbolů.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 54.
↑ 1 2 3 Encyklopedický slovník mladého matematika, 1985 .
↑ 12 Rouse Ball W.W. Krátký popis historie matematiky. 4. vyd . - Dover Publications, 2010. - 522 s. — (Doverské knihy o matematice). - ISBN 978-0486206301 . — str. 242.
↑ 1 2 Hairer E., Wanner G. . Matematická analýza ve světle její historie. - M . : Vědecký svět, 2008. - 396 s. - ISBN 978-5-89176-485-9 . - S. 172.
↑ 1 2 Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 78-79 (451 $).
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 150-151.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 63.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 22-23.
↑ 1 2 Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §667-670.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §677-678.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §685-691.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 67.
↑ 1 2 3 Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 281-314.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §695.
↑ Orlov S. A. Teorie a praxe programovacích jazyků: Učebnice pro vysoké školy. Standard 3. generace. - M. : Piter, 2013. - S. 148-149. — 688 s. - ISBN 978-5-496-00032-1 .
↑ Akimov P. A., Kaitukov T. B., Mozgaleva M. L., Sidorov V. N. Stavební informatika . - M. : ASV, 2014. - S. 56. - 432 s. - ISBN 978-5-4323-0066-9 .
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 214-215.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 114.
↑ Chrisomalis S. Numerický zápis: Srovnávací historie . - Cambridge: Cambridge University Press , 2010. - ix + 486 s. - ISBN 978-0-521-87818-0 . — str. 195.
↑ Joseph G.G. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. 3. vydání . - Princeton: Princeton University Press , 2011. - xxvii + 561 s. - ISBN 978-0-691-13526-7 . — S. 339.
↑ Pushkin A.S. Kompletní práce . - M. : Pravda, 1954. - T. 5. - S. 286.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §96.
↑ Jean-Claude Martzloff. Historie čínské matematiky. - Springer, 1997. - ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Berggren J. Lennart. . Matematika ve středověkém islámu // Matematika Egypta, Mezopotámie, Číny, Indie a islámu: Zdrojová kniha . - Princeton: Princeton University Press, 2007. - s . 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
↑ Guter R. S., Polunov Yu. L. . John Napier, 1550-1617 — M .: Nauka , 1980. — 226 s. — (Literatura vědecká a biografická). - S. 197-204.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §276-277.
↑ Zeiten G. G., 1938 , s. 136.
↑ 1 2 Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §186, 195, 282.
↑ Glazer G.I., 1981 , s. 43.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §286-288.
↑ 1 2 Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §91.
↑ Mezinárodní soustava jednotek (SI) . Datum přístupu: 30. prosince 2015. Archivováno z originálu 4. března 2016. (neurčitý) : "Po 9. CGPM (1948, rezoluce 7) a 22. CGPM (2003, rezoluce 10) pro čísla s mnoha číslicemi mohou být číslice rozděleny do skupin po třech tenkou mezerou, aby se usnadnilo čtení. Do mezer mezi skupiny po třech se nevkládají tečky ani čárky“.
↑ Část 0: Obecné zásady, odd. 3.3 // Mezinárodní norma ISO 31-0: Veličiny a jednotky. — Ženeva: Mezinárodní organizace pro normalizaci , 1992.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §212.
↑ Mazur J., 2014 , Kapitola 17. Katalog symbolů.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 42, 144-145, 308-310.
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 22, 40-41.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §340-341.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §498-500.
↑ Hexadecimální . Datum přístupu: 21. února 2016. Archivováno z originálu 4. března 2016. (neurčitý)
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §201-209.
↑ Cardano's Ars Magna, strana 4 . Datum přístupu: 8. října 2013. Archivováno z originálu 19. srpna 2014. (neurčitý)
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 126-127.
↑ 1 2 Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §217, 232-233.
↑ Techniky zrychleného násobení (2. března 2008). Datum přístupu: 12. ledna 2016. Archivováno z originálu 5. března 2016. (neurčitý)
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §218-230.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §235-239.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 40.
↑ 1 2 Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §164.
↑ Rozdělovací symboly (anglicky) (odkaz není k dispozici) . Získáno 22. 8. 2015. Archivováno z originálu 14. 5. 2011.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §161.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 170-171.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §195, 342-350.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §210.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §290-297.
↑ Glazer G.I., 1982 , s. 59-60.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §298-301, 307-309.
↑ 1 2 Nikiforovsky V. A. . Z dějin algebry 16.-17. století. — M .: Nauka , 1979. — 208 s. — (Dějiny vědy a techniky). - S. 81.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §318-321.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §328-333.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 22-23, 106, 218.
↑ 1 2 Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §260-268.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , str. 139.
↑ 12 Math4school . _
↑ Ben-Menahem A., 2007 , s. 5503.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 173, 183.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 144.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 120, 190.
↑ Nejstarší použití symbolů z geometrie . Získáno 22. srpna 2015. Archivováno z originálu dne 2. listopadu 2015.
↑ 1 2 Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §514-515.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 124-125.
↑ Livio M. Zlatý řez: Příběh Phi, nejúžasnější číslo světa . - NY: Broadway Books , 2002. - viii + 294 s. — ISBN 0-7679-0815-5 . - S. 5-6, 72-75.
↑ Sen SK, Agarwal RP Zlatý poměr ve vědě jako zdroj náhodných sekvencí, jejich výpočet a další // Počítače a matematika s aplikacemi . - 2008. - Sv. 56, č.p. 2. - S. 469-498. - doi : 10.1016/j.camwa.2007.06.030 .
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §408.
↑ Paul Pollack. Nejstarší použití symbolů teorie čísel (odkaz nepřístupný) . Získáno 22. října 2017. Archivováno z originálu 31. ledna 2010. (neurčitý)
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §409.
↑ Donald Knuth . Umění programování, svazek I. Základní algoritmy. - M .: Mir , 1976. - S. 81. - 736 s.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 199-200.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. čtrnáct.
↑ Knut D. Umění počítačového programování. T. 1. Základní algoritmy. — M .: Mir , 1976. — 735 s. - S. 68.
↑ 1 2 Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §407.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §643-646.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 204-205.
↑ Čítanka o dějinách matematiky. Matematická analýza. Teorie pravděpodobnosti, 1977 , s. 82.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §469-471.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 150, 158, 170.
↑ 1 2 Nejstarší použití symbolů pro goniometrické a hyperbolické funkce . Datum přístupu: 7. ledna 2016. Archivováno z originálu 5. března 2016. (neurčitý)
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 166.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 150, 163, 166.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 170.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 210-211.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 172-174.
↑ Hyperbolické funkce // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §211.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 168.
↑ Ben-Menahem A., 2007 , s. 5503-5504.
↑ Nejstarší použití funkčních symbolů . Získáno 8. ledna 2016. Archivováno z originálu 30. listopadu 2015. (neurčitý)
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 280-281.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 278.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 272-275.
↑ Solomentsev E. D. . Amplituda eliptického integrálu // Mathematical Encyclopedia. svazek 1 / kap. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie , 1977. - 1152 stb. - Stb. 243.
↑ 1 2 Solomentsev E. D. . Jacobiho eliptické funkce // Matematická encyklopedie. T. 5 / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie , 1985. - 1248 stb. - Stb. 1054-1058.
↑ Solomentsev E. D. . Weierstrassovy eliptické funkce // Matematická encyklopedie. svazek 1 / kap. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie , 1977. - 1152 stb. - Stb. 621-624.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 279.
↑ 1 2 Watson G. N. . Teorie Besselových funkcí. Část 1. - M. : IIL , 1949. - 798 s. - str. 70-71, 88, 92.
↑ Vallee O., Soares M. . Vzdušné funkce a aplikace ve fyzice . - London: Imperial College Press , 2004. - x + 194 s. — ISBN 1-86094-478-7 . — str. 4.
↑ Fedoryuk M. V. . Vzdušné funkce // Matematická encyklopedie. T. 5 / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie , 1985. - 1248 stb. - Stb. 939-941.
↑ Funkce Airy Ai: Úvod do funkcí Airy . // Web Wolfram Functions. Získáno 5. 2. 2016. Archivováno z originálu 3. 6. 2016. (neurčitý)
↑ Curry H. B. , Schoenberg I. J. O spline distribucích a jejich limitech: The Pólya distribution functions // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1947. - Sv. 53, č.p. 11. - S. 1114.
↑ Tikhomirov V. M., 1987 , s. 190.
↑ Zavyalov Yu. S., Leus V. A., Skorospelov V. A. . Spline v inženýrské geometrii. - M .: Mashinostroenie, 1985. - 224 s. - S. 46-47.
↑ De Bohr K. . Praktický průvodce křivkami. - M . : Rozhlas a komunikace, 1985. - 304 s. - S. 86-87, 91.
↑ Kravčenko V. F. . Přednášky z teorie atomových funkcí a některých jejich aplikací. - M . : Radiotechnika, 2003. - 510 s. — ISBN 5-93108-019-8 . - S. 272.
↑ Rvachov V. L. , Rvachov V. O. O jedné konečné funkci // DAN URSR. Ser. A. - 1971. - č. 8 . - S. 705-707 .
↑ Tikhomirov V. M., 1987 , s. 202-203.
↑ Teorie R -funkcí a aktuální problémy aplikované matematiky / Otv. vyd. V. I. Mossakovskij. - Kyjev: Naukova Dumka , 1986. - 264 s. - S. 46.
↑ Dirac P.A.M. The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics // Proceedings of the Royal Society . - 1927. - Sv. 113. - S. 621-641.
↑ Dirac P.A.M. Kvantová teorie emise a absorpce záření // Proceedings of the Royal Society . - 1927. - Sv. 114. - S. 243-265.
↑ Egorov Yu.V. K teorii zobecněných funkcí // Pokroky v matematických vědách . - Ruská akademie věd , 1990. - T. 45, no. 5 . - S. 3-40 . (Ruština)
↑ Bernstein J. . Sbor zvonů a další vědecké dotazy . - Singapur: World Scientific , 2014. - xii + 274 s. — ISBN 978-9-81-457894-3 . - S. 70-71.
↑ Lützen J. . Prehistorie teorie distribucí . - NY: Springer Science & Business Media , 2012. - viii + 232 s. - (Studie z dějin matematiky a fyzikálních věd. sv. 7). — ISBN 978-1-4613-9474-7 . - S. 115-116.
↑ Bogolyubov A. N. . Matematika. Mechanika. Životopisný průvodce . - Kyjev: Naukova Dumka, 1983. - 639 s. - S. 118.
↑ Glazer G.I., 1983 , s. 91.
↑ 1 2 Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §506, 509.
↑ Hala B.C. Kvantová teorie pro matematiky . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xvi + 553 s. - (Absolventské texty z matematiky. Sv. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8 . — str. 85.
↑ Banach S. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales // Fundamenta Mathematicae . - 1922. - Sv. 3. - S. 133-181.
↑ Megginson R. E. . Úvod do Banachovy vesmírné teorie . - NY: Springer Science & Business Media , 2012. - xix + 598 s. - (Absolventské texty z matematiky. Sv. 183). - ISBN 978-1-4612-0603-3 . - P. ix-x.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 97.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §462.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §510.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 168.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §400-401.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 45, 153.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §572.
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 234, poznámka pod čarou 2.
↑ Landau E. . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen . - Lipsko: Teubner, 1909. - xviii + 961 S. - S. 883.
↑ Narkiewicz W. . Vývoj teorie prvočísel: Od Euklida k Hardymu a Littlewoodovi . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xii + 449 s. — ISBN 978-3-662-13157-2 . - P. xi.
↑ Leibniz G. W. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus // Acta Eruditorum . - 1684. - Sv. 3. - S. 467-473.
↑ Leibniz G. W. Responsio ad nonnullas obtížnosti a Dn. Bernardo Niewentijt circa methodum Differentem seu infinitesimalem motas // Acta Eruditorum . - 1695. - S. 310-316.
↑ Rybnikov K. A. . Historie matematiky. 2. vyd. - M . : Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1974. - 456 s. - S. 182-183.
↑ Bos H. J. M. Diferenciály, diferenciály vyšších řádů a derivace v Leibnizově počtu // Archiv pro dějiny exaktních věd . - 1974. - Sv. 14, č. 1. - S. 1-90.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §575.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §593-611.
↑ Leibniz G. W. De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum // Acta Eruditorum . - 1686. - Sv. 5. - S. 292-300.
↑ Durán, Antonio H. Pravda na hranici. Analýza infinitezimálů. - M. : De Agostini, 2014. - S. 86. - 144 s. — (Svět matematiky: ve 45 svazcích, svazek 14). - ISBN 978-5-9774-0708-3 .
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , § 620.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §539-541.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 58-59.
↑ Yushkevich A.P. Vývoj konceptu limity před K. Weierstrassem // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka , 1986. - č. 30 . - S. 76 .
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 133-135.
↑ Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §631-637.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §626.
↑ Domínguez A. Historie operace konvoluce // Puls IEEE. - 2015. - Sv. 6, č. 1. - S. 38-49.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 107-108.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , §592.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 37, 44, 158.
↑ Carl Anton Bretschneider. Theoriae logaritmi integrationis lineamenta nova (13. října 1835) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1837. - Sv. 17. - S. 257-285.
↑ Kondakov N.I., 1975 , s. 534-540.
↑ 1 2 Russell B. Matematická logika založená na teorii typů // American Journal of Mathematics . - 1908. - Sv. 30, č. 3. - S. 222-262.
↑ Kondakov N.I., 1975 , s. 150.
↑ 1 2 3 4 Nejstarší použití symbolů teorie množin a logiky . Datum přístupu: 17. prosince 2015. Archivováno z originálu 10. dubna 2015. (neurčitý)
↑ 1 2 Wegner P. . Programování v jazyce Ada. — M .: Mir , 1983. — 240 s. - S. 68.
↑ 1 2 Ellis M. , Stroustrup B. . Referenční příručka k programovacímu jazyku C++ s komentáři. — M .: Mir , 1992. — 445 s. — ISBN 5-03-002868-4 . - S. 65, 86-87.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 291.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 299,301.
↑ Sheffer H. M. Sada pěti nezávislých postulátů pro booleovské algebry s aplikací na logické konstanty // Transactions of the American Mathematical Society . - 1913. - Sv. 14. - S. 481-488.
↑ Kondakov N.I., 1975 , s. 43, 672-673.
↑ Styazhkin N.I., 1967 , s. 443-444.
↑ Kondakov N.I., 1975 , s. 42,571.
↑ Styazhkin N.I., 1967 , s. 357, 429-430, 438.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 72.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 293-314.
↑ Kondakov N.I., 1975 , s. 102.
↑ Church A. Soubor postulátů pro založení logiky // Annals of Mathematics. Řada 2. - 1932. - Sv. 33, č. 2. - S. 346-366.
↑ Seldin J. P. . Logika Church a Curry // Logika od Russella ke kostelu / Ed. od DM Gabbay & J. Woods. - Amsterdam: North-Holland , 2009. - xii + 1055 s. - (Příručka dějin logiky. sv. 5). — ISBN 978-0-444-51620-6 . - S. 819-874.
↑ Marciszewski W., Murawski R. . Mechanizace uvažování v historické perspektivě . - Amsterdam: Rodopi, 1995. - 267 s. — (Poznaňské studie z filozofie věd a humanitních věd, sv. 43). — ISBN 90-5183-790-9 . - S. 162-163.
↑ Historie matematických notací, sv. 2, 2007 , str. 294.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 104-106.
↑ 1 2 Historie matematických notací, sv. 1, 2007 , §421.
↑ Weil A. . Učení matematika . - Basilej: Birkhäuser Verlag, 1992. - 197 s. — ISBN 3-7643-2650-6 . — str. 114.
↑ Hausdorf F. Teorie množin. - M. - L. : GITTL, 1937. - S. 10. - 305 s.
↑ Maclane S. . Kategorie pro pracujícího matematika . - NY: Springer-Verlag , 1971. - ix + 261 s. - (Absolventské texty z matematiky. Vol. 5). - ISBN 978-0-387-90036-0 . — str. 29.
↑ Nejstarší použití symbolů teorie čísel . Staženo 3. dubna 2021. Archivováno z originálu 16. dubna 2021. (neurčitý)
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 148.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 74-75.
↑ Donald Knuth . Umění programování, svazek I. Základní algoritmy. - M .: Mir , 1976. - S. 85. - 736 s.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 56-57.
↑ Bolshakov V.P., Tozik V.T., Čagina A.V. Inženýrství a počítačová grafika . - Petrohrad. : BHV-Petersburg, 2013. - 288 s. - ISBN 978-5-9775-0422-5 . - S. 90.
↑ Brich Z. S., Voyush V. I., Degtyareva G. S., Kovalevich E. V. . Programování v Assembler Language ES Computer. — M .: Statistika, 1976. — 296 s. - S. 13-14, 19.
↑ Kulakovskaya V.P., Romanovskaya L.M., Savchenko T.A., Feldman L.S. Počítač Kobol Minsk-32. Příspěvek pro zaměstnance výpočetních středisek. - M. : Statistika, 1973. - 284 s.
↑ Bryabrin V. M. . Software pro osobní počítače. 3. vyd. — M .: Nauka , 1990. — 272 s. — ISBN 5-02-014824-5 . - S. 17, 113-114.
↑ Smirnov N. N. . Software pro osobní počítače. - L .: Mashinostroenie, 1990. - 272 s. — ISBN 5-217-00029-5 . - S. 13, 80-81.

Literatura

Alexandrova N. V. . Historie matematických termínů, pojmy, označení: Slovník-příručka. - 3. vyd. - Petrohrad. : LKI, 2008. - 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
- 2015 reedice: URSS, ISBN 978-5-382-01578-1 .
Bašmaková I.G. Vznik algebry (z dějin matematických představ). - M. : Knowledge, 1979. - 64 s. - (Matematika, kybernetika, č. 9 (1979)).
Vileitner G. Historie matematiky od Descarta do poloviny 19. století . - M. : GIFML, 1960. - 468 s. - S. 13-17.
Glazer G.I. Dějiny matematiky ve škole. IV - VI třídy. - M . : Vzdělávání , 1981. - 239 s.
Glazer G.I. Dějiny matematiky ve škole. VII - VIII třídy. - M . : Vzdělávání , 1982. - 240 s.
Glazer G.I. Dějiny matematiky ve škole. třídy IX-X. - M . : Vzdělávání , 1983. - 351 s.
Depman I. Ano. Historie aritmetiky. Průvodce pro učitele. 2. vyd . - M . : Vzdělávání , 1965. - 416 s. - S. 208-212.
Matematické znaky // Velká sovětská encyklopedie . - Ed. 3. - T. 9.
Matematické znaky // Matematická encyklopedie. svazek 2 / kap. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie , 1979. - 1104 stb. - Stb. 457-463.
Matematické znaky // Encyklopedický slovník mladého matematika / Komp. A. P. Savin. - M . : Pedagogika , 1985. - 352 s. - S. 114-116.
Historie matematiky editoval A. P. Juškevič ve třech svazcích:
- Historie matematiky. T. I. Od starověku do počátku New Age / Edited by A. P. Yushkevich. — M .: Nauka , 1970. — 352 s.
- Historie matematiky. T. II. Matematika 17. století / Editoval A.P. Juškevič. — M .: Nauka , 1970. — 301 s.
- Historie matematiky. T. III. Matematika 18. století / Edited by A.P. Yushkevich. — M .: Nauka , 1972. — 496 s.
Kondakov N.I. Logický slovník-příručka. 2. vyd . — M .: Nauka , 1975. — 720 s.
Cajorie F. Historie elementární matematiky. 2. vydání / Per. z angličtiny. vyd. I. Yu Timčenko. - Odessa: Mathesis, 1910. - x + 368 s.
Stjažkin N. I. Formování matematické logiky. — M .: Nauka , 1967. — 508 s.
Tichomirov V.M. Teorie aproximace // Moderní problémy matematiky. základní směry. T. 14. - M. : VINITI AN SSSR , 1987. - 272 s. - S. 103-260.
Čtenář o historii matematiky. Aritmetika a algebra. Teorie čísel. Geometrie / Ed. A. P. Juškevič. - M . : Vzdělávání , 1976. - 318 s.
Čtenář o historii matematiky. Matematická analýza. Teorie pravděpodobnosti / Ed. A. P. Juškevič. - M . : Vzdělávání , 1977. - 224 s.
Zeiten G.G. Dějiny matematiky v 16. a 17. století. - M. - L. : ONTI, 1938. - 456 s.
Ben-Menahem A. Historická encyklopedie přírodních a matematických věd. sv. 1 . - Berlín: Springer-Verlag , 2007. - cxxix + 5985 s. - ISBN 978-3-540-68831-0 .
Cajori F. Historie matematických notací. sv. 1 (dotisk z roku 1929) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 s. — ISBN 978-1-60206-684-7 .
Cajori F. Historie matematických notací. sv. 2 (dotisk z roku 1929) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xii + 392 s. - ISBN 978-1-60206-713-4 .
Mazur J. Osvětlující symboly: Krátká historie matematického zápisu a jeho skrytých schopností. - Princeton: Princeton University Press, 2014. - 312 s. — ISBN 978-0-69115-463-3 .

Odkazy

Matematické znaky . Staženo: 30. prosince 2015. (neurčitý)
Cižmár, Jan. Počátky a vývoj matematické notace (Historický nástin) (anglicky) . Staženo: 4. února 2016.
Nejstarší použití různých matematických symbolů . Staženo: 17. prosince 2015.
Michon, Gerard P. Vědecké symboly a ikony . Staženo: 17. prosince 2015.
Weaver D., Smith AD The History of Mathematical Symbols (anglicky) . Datum přístupu: 23. ledna 2016. Archivováno z originálu 20. února 2001.

Historie matematiky
Země a éry	prehistorické období Starověký Egypt Babylon Starověká Čína Starověké Řecko Indie Arménie Říše Inků islámské země Rusko
Tematické sekce	Algebra Analytická geometrie Aritmetický Variační počet Geometrie Diferenciální geometrie a topologie Kombinatorika Kryptografie Lineární algebra Logaritmy Matematická analýza Neeuklidovská geometrie Teorie pravděpodobnosti teorie množin Topologie Trigonometrie funkční analýza
viz také	infinitezimální Reálná čísla Iracionální čísla Komplexní čísla Matematický zápis Pokračující zlomky Záporná čísla Funkce

Matematické znaky

Plus ( + )
mínus ( - )
Znaménko násobení ( · nebo × )
Znak dělení ( : nebo / )
Obelus ( ÷ )
kořenový znak ( √ )
Faktorový ( ! )
Integrální znak ( ∫ )
nabla ( ∇ )
Rovnítko ( = , ≈ , ≡ atd. )
Značky nerovnosti ( ≠ , > , < atd. )
Proporcionalita ( ∝ )
Závorky ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Svislý pruh ( | )
Lomítko, lomítko ( / )
Zpětné lomítko, zpětné lomítko ( \ )
Znak nekonečna ( ∞ )
Znak stupně ( ° )
Mrtvice ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Hvězdička ( * )
Procento ( % )
str./min ( ‰ )
Vlnovka ( ~ )
Karet ( ^ )
Circumflex ( ˆ)
Plus-mínus ( ± )
Znaménko mínus plus ( ∓ )
Oddělovač desetinných míst ( , nebo . )
Znak konce důkazu ( ∎ )