Vznik matematiky

Tento článek je součástí přehledu Historie matematiky .

Moderní matematika studuje abstraktní struktury zcela odlišné povahy (množiny, příkazy, logické jazyky, funkce), ale jejím hlavním předmětem studia byly zpočátku pojmy přirozeného čísla a geometrického útvaru , které vznikly z praktické činnosti člověka [1] .

A ačkoli se věří, že matematika jako systematická věda se objevila pouze ve starověkém Řecku [2] , její historie začíná objevením těchto pojmů.

Pojmy přirozeného čísla a geometrického útvaru vznikly dávno před příchodem písma, protože kultury, ve kterých se písmo poprvé objevilo ( Sumer , Starověký Egypt ), měly poměrně rozsáhlou sbírku matematických znalostí získaných zkušeností [3] .

Již některá zvířata mají schopnost rozlišovat počet , velikost , tvar a strukturu předmětů [4] . Takové schopnosti měl i primitivní člověk. Například lidé z některých divokých kmenů jsou velmi dobří v určování počtu objektů na oko, aniž by je počítal [5] .

V souvislosti s technologickým pokrokem vyvstala potřeba přesnějšího počítání předmětů [6] . První etapou ve vývoji počítání bylo vytvoření vzájemné korespondence mezi souborem počítaných předmětů a souborem norem. Nejoblíbenějším typem takového účtu je účet s pomocí prstů na rukou a nohou [7] .

V určité fázi bylo číslo vnímáno jako vlastnost souboru objektů, stejně jako jejich barva, tvar, velikost, struktura [8] . Pro různé předměty byly použity různé číslovky [9] . Postupně se ale číslo z počítaných předmětů abstrahovalo. Objevily se názvy čísel [10] .

Aritmetické operace vznikly také z praktických potřeb, jako odraz skutečných událostí: sjednocení množin, oddělení části od množiny atd.

Přibližně ve stejné době jako čísla člověk abstrahoval ploché a prostorové formy, které obvykle dostávaly názvy reálných objektů jim podobných [10] .

Zdroje znalostí

Ne všechny kultury dosahují vědeckého a technologického pokroku stejnou rychlostí. Někteří si do jisté míry zachovali kmenový systém a starodávné zvyky, podle kterých lze posuzovat jejich vzdálenou minulost a získávat informace o době, kdy ještě písmo neexistovalo. Lze například porovnat číselný systém kmene Bakairi v Brazílii, který má jména pouze pro čísla do 6, a číselný systém kmene Yoruba v Nigérii, který je založen na komplexním subtraktivním principu, a pochopit, jak vyvinul se způsob pojmenování čísel.

Evropští kolonizátoři byli často schopni s takovými kulturami zacházet barbarským způsobem, bez respektu k jejich tradicím. Mnohé byly zničeny, jiné se musely začlenit do stávajícího politického a ekonomického systému. Když si vědci postupně uvědomili, že takové kultury mohou poskytnout bohatý materiál pro studium historie primitivního světa, některé z nich již zmizely.[ neutralita? ] .

Na konci dvacátého století objevilo se vědní odvětví - etnomatematika , studující matematiku jako součást tradiční kultury [11] . Začínají se provádět studie, v jejichž průběhu se pozná, jak věří, ukazují, pojmenovávají a zaznamenávají počty primitivních národů.

Určité informace poskytují archeologické vykopávky. Na nalezišti Ishango v Africe byla nalezena kost s počitatelnými zářezy , jejíž stáří se odhaduje na 20 až 40 let tisíce let, což dalo rozsáhlý materiál pro studium a závěry [12] . Další artefakt - radiusová kost mladého vlka s 55 zářezy - byl nalezen na svrchnopaleolitické lokalitě Dolní Věstonice  (Česká republika). Mikel Alberti ve své knize "Mathematical Planet. Journey Around the World" uvádí příklady dalších artefaktů [13] .

Pokud systematizujeme poznatky získané v důsledku etno-matematických a archeologických výzkumů, můžeme přibližně znovu vytvořit proces vzniku matematiky. .

Fáze vývoje účtu

Number Sense

Řada experimentů ukazuje, že zvířata v určitém smyslu dokážou vnímat počet objektů, aniž by je počítala. Anglický biolog John Lubbock věřil, že zvířata již mají základní znalosti aritmetiky:

Leroy <...> zmiňuje případ, kdy muž potřeboval zastřelit vránu. "Aby toho podezřelého ptáka vyvedlo z omylu, bylo rozhodnuto poslat do jejího hnízda dva lidi, z nichž jeden prošel kolem a druhý zůstal. Vrána je ale spočítal a držel si odstup. Další den odešli tři a znovu uvědomila si, že zbývají už jen dva. Ukázalo se, že je nutné poslat pět nebo šest lidí, aby ji porazili ve výpočtech. Vrána v domnění, že všichni prošli kolem, neztrácela čas návratem do hnízda." Z toho usuzuje, že vrána umí počítat do čtyř. Lichtenberg mluví o slavíkovi, který počítal do tří. Každý den mu dával tři červy, jednoho po druhém. Po dokončení jednoho se slavík vrátil pro další, ale po třetí věděl, že večeře skončila <...> V Galtonových Příběhech průzkumníka tropické Jižní Afriky pana Galtona je zábavný a sugestivní detail . Poté, co popsal slabost afrického kmene Demara v počítání, říká: „Jednou, když jsem pozoroval Afričana, jak se beznadějně snaží něco spočítat, všiml jsem si Dinah, mé španělky, která byla poblíž, také zmatená; Dinah byla vedle půl tuctu svých novorozenců. štěňata, která se od ní neustále vzdalovala, měla velké obavy a snažila se zjistit, zda tam jsou všechna, nebo někdo chybí. Nechápavě se na ně dívala, ale ničemu nerozuměla. Zjevně měla mlhavou představu > Máme tedy důvod se domnívat, že zvířata mají dostatek inteligence k rozlišení tří od čtyř [4] .

Původní text  (anglicky)[ zobrazitskrýt] Leroy<...>zmiňuje případ, kdy muž chtěl zastřelit vránu. "Chcete-li oklamat tohoto podezřelého ptáka, plán se naplnil tak, že poslali dva muže do strážního domu, z nichž jeden odešel, zatímco druhý zůstal; ale vrána počítala a držela si odstup. Další den tři odešli a ona si znovu všimla že jen dva odešli do důchodu. V pořádku, bylo zjištěno, že je nutné poslat do strážnice pět nebo šest mužů, aby ji zahrnuli do výpočtu. Vrána si myslela, že tento počet mužů prošel kolem, a neztrácela čas, aby se vrátila." Z toho usoudil, že vrány umí počítat až čtyři. Lichtenberg se zmiňuje o slavíkovi, který prý počítal do tří. Každý den mu dával tři moučné červy, jednoho po druhém. Když skončilo jedno, vrátilo se pro další, ale po třetí už vědělo, že hostina skončila<...>V Mr. Galtonův zajímavý příběh průzkumníka v tropické Jižní Africe. Poté, co popsal Demarovu slabost ve výpočtech, říká: „Jednou, když jsem pozoroval Demaru, jak se beznadějně zmítá ve výpočtech na jedné straně mě, všiml jsem si: „Dinah,“ moje španělka, na druhé straně stejně v rozpacích; přehlížela polovinu tucet jejích čerstvě narozených štěňat, která jí byla dvakrát nebo třikrát odebrána, a její úzkost byla přehnaná, když se snažila zjistit, zda jsou všechna přítomna, nebo zda některá stále chybí. , ale nemohla se uspokojit. Zřejmě měla mlhavou představu o počítání, ale postava byla pro její mozek příliš velká. muž<...>" Podle mých vzpomínek na hnízdění ptáků, které jsem si osvěžil novějšími zkušenostmi pokud hnízdo obsahuje čtyři vejce, jedno lze bezpečně vzít; ale pokud jsou odstraněny dva, pták obecně dezertuje. Zde by se tedy zdálo, jako bychom měli nějaký důvod předpokládat, že existuje dostatečná inteligence k rozlišení tří od čtyř.

Primitivní lidé tuto schopnost zdědili. Podle memoárů jednoho amerického misionáře se tedy lovci z divokého kmene indiánů, kteří mají jména jen pro čísla 1, 2 a 3, před lovem rozhlédnou po velké smečce psů, a pokud alespoň jeden chybí, všimnou si toho a začnou jí volat. Tento jev je známý jako „ smysl čísel “ [5] a „ smyslové počítání “ [14] .

Navázání osobní korespondence

V mnoha jazycích zůstaly názvy čísel, které se podle badatelů objevovaly ještě před počítáním na prstech [15] . Tato jména jsou spojena s vědomím, že v přírodě je vždy stejný počet určitých objektů (jedno slunce na obloze, dvě oči u člověka, pět prstů na ruce atd.). Některá čísla se začala nazývat názvy takových objektů. Takže ve starověkém indickém slovním číselném systému se setkáváme s následujícími názvy čísel:


Číslo 40 (podle nejběžnější verze) pochází z názvu svazku kožešin [16] .

Pokud existuje sada osmi kamenů a sada osmi mušlí, můžete je uspořádat tak, aby naproti každému kamenu byla jedna mušle. Tak probíhal proces obchodu mezi dvěma primitivními kmeny. Naproti každému výrobku z prvního kmene byl umístěn jeden výrobek z druhého kmene a v důsledku toho si kmeny mezi sebou vyměnily stejné množství zboží [17] .

Takový proces, kdy je každý prvek z jedné množiny (kolekce) spojen s jedním prvkem z jiné množiny, se v matematice nazývá ustavení korespondence jedna ku jedné mezi dvěma množinami [18] .

Ustavením vzájemné korespondence mezi sadou počitatelných objektů a sadou počítání standardů začala další etapa vývoje počítání.

Ze všech měřítek počítání jsou nejpohodlnější a „vždy s vámi“ prsty na rukou a nohou a dokonce i jiné části těla [15] .

Aby si primitivní člověk zapamatoval, kolik zvířat zabil při lovu, musel si jednoduše zapamatovat, na kterém prstu nebo noze přestal počítat. Může to být druhý prst druhé nohy, poslední prst první ruky nebo všechny prsty. V některých jazycích se čísla stala tzv. Zde jsou nějaké příklady:

Při nedostatku prstů se používaly jiné části těla, prsty jiných lidí nebo prodloužení již pokrčených prstů.

Průzkumník Nové Guineje , N. N. Miklukho-Maclay , navrhl, aby Papuánci počítali počet dní do návratu korvety Vityaz tím , že k tomu nařezali proužky papíru.

„První si položil na koleno papírky a při každém řezu opakoval „nare, nare“ (jeden); druhý opakoval slovo „nare“ a zároveň ohýbal prst nejprve na jednom, potom na druhém. Počítal do deseti a ohýbal prsty obou rukou, spustil obě pěsti na kolena a řekl: „dvě ruce“ a třetí Papuánec ohnul prst na ruce. Totéž udělal s druhou desítkou, a třetí Papuánec ohnul druhý prst, totéž se udělalo pro třetí desítku, zbývající kousky papíru netvořily čtvrtý tucet a dál ležely stranou. [21]

Primitivní lidé s sebou často nosili speciální počítací standardy – hole nebo míčky [22] .

Koncept abstraktního čísla

Když se umění počítání postupně rozvíjelo, byl pojem čísla neoddělitelný od počítaných předmětů. Číslo nemohlo existovat samo o sobě. V závislosti na tom, co bylo zvažováno, mohla být čísla nazývána různě [10] . Některé kmeny mají dodnes rozdělení číslovek podle druhu uvažovaných předmětů. Například jazyk Tsimshian má sedm různých typů číslic:

  1. Pro počítání plochých předmětů
  2. Pro počítání kulatých předmětů a dělení času
  3. Na počítání lidí
  4. Pro počítání dlouhých předmětů
  5. Na počítání kánoí
  6. Pro opatření
  7. Neurčitá čísla [9] [23] .

Trvalo dlouho, než se objevil pojem samotného čísla, odděleného od objektů.

Rozšíření číselné řady

Teoreticky lze spočítat libovolný počet objektů. Jejich počet může být vyjádřen číslem, které dosud nebylo vidět (například 723 945 186 - sedm set dvacet tři milionů devět set čtyřicet pět tisíc sto osmdesát šest), ale přesto bude možné, aby člověk kdo toto číslo slyší, aby si představil, kolik to přibližně je. Počet položek, které lze spočítat, není omezen. Pro jakýkoli celočíselný počet objektů existuje dobře definované přirozené číslo. Tento jev se nazývá souvislá číselná posloupnost .

Číselná posloupnost v jazyce však nebyla vždy souvislá . Až dosud existují kmeny, v jejichž jazycích existují pouze dvě číslice: jedna a mnoho . Úroveň jejich života nevyžaduje žádná další číselná slova. Ale kvůli technologickému rozvoji se tato slova stávají nezbytnými.

Objevení se slova pro číslo dvě je velkým krokem ve vývoji číselné posloupnosti. Po objevení slova pro číslo tři se číselná posloupnost dále a dále rozšiřuje. Postupně se objevují názvy pro čísla menší než deset .

Ještě před několika staletími většina lidí nepotřebovala používat čísla nad tisíc . Pro označení velkých čísel byla použita slova „monstrum“, „nekonečno“, „už nemůžeš počítat“. Takže předpona „-tera“, označující vynásobení původní jednotky číslem 10 12 , tj. trilionem (například terabajtem), pochází z římského slova „monstrum“, tj. má stejný kořen jako slovo „ teror". Starý ruský název pro číslo 10 000 je temnota . Název čísla milion znamená ve staré italštině „velký tisíc“.

Ve rwandském jazyce se 10 000 nazývá „slon“ a 20 000 „dva sloni“. V Nigérii se číslu 160 000 říká „400 meets 400“ a název čísla 10 000 000 lze zhruba přeložit jako „Je tu tolik věcí, že jejich počet je nesmírný“ [24] .

Vznik číselných soustav

Podobnost číslic mezi různými indoevropskými národy ukazuje, že se objevovaly, i když tyto národy mluvily stejným jazykem, tedy odkazuje na prehistorické období:

Číslo latinský řecký Angličtina německy francouzština ruština
jeden uno mono jeden ein un jeden
2 duo prům dva zwei dva dva

Jazyky bez číslic

Existují jazyky, které jsou zcela (nebo téměř úplně) bez jakýchkoli číslic. V díle amerického matematika Leviho Konenta jsou jako příklady uvedeny jazyky bolivijských kmenů Chiquita a Takana [25] .

Algoritmická a uzlová čísla

Ve vědě se číslům, která jsou základem jmen ostatních, říká „ uzlový “. Čísla, jejichž jména se skládají z jiných, mají název „ algoritmická “ [26] . Klíčová jsou tedy čísla tři, šest, deset, čtyřicet, sto, protože jejich názvy nelze složením rozebrat. Číslo šedesát je algoritmické, protože jeho název se skládá z názvů uzlových čísel šest a deset. Algoritmická čísla mohou být tvořena z čísel uzlů různými způsoby. Následují příklady takových formací.

Princip aditiv

První číselné soustavy používaly aditivní princip. Spočívá v tom, že názvy algoritmických čísel se tvoří z uzlových čísel sčítáním , jako název čísla sedmnáct . Tabulka ukazuje jako příklad číselný systém kmene Gumulgel žijícího na ostrovech v Torresově úžině a kmene Bakairi.

Číselná soustava kmene Gumulgel Číselný systém kmene Bakairi
Číslo název Číslo název
jeden Urapun jeden tokale
2 Okoza 2 ahage
3 Okoza-urapun 3 ahage-tokale
čtyři Okoz-okoz čtyři ahage-ahage
5 Okoza-okoza-urapun 5 ahage-ahage-tokale
6 Okoz-okoz-okoz 6 Ahage-ahage-ahage

Jak vidíte, pouze čísla 1 a 2 mají svá vlastní jména, ostatní čísla mají odvozená jména. Pro čísla větší než 7 mají tyto kmeny pouze jedno slovo, což znamená mnoho.

Subtraktivní princip

Složitější numerické systémy také používaly subtraktivní princip. To znamená, že názvy některých algoritmických čísel lze vytvořit z uzlových čísel odečtením .

Subtraktivní princip je vidět např. v římském číslovacím systému, kde se číslo 9 zapisuje jako IX , tedy jako 10-1. Poměrně složitý systém subtraktivních čísel se základem 20 používal africký kmen Yoruba :

Číselný systém národa Yoruba
Číslo název Dekódování jmen Číslo název Dekódování jmen
jeden kan jeden 31 mokonlel ogbon +1+30
2 meji 2 32 mejilel ogbon +2+30
3 meta 3 33 kovový ogbon +3+30
čtyři merin čtyři 34 merinlel ogbon +4+30
5 Maruun 5 35 maruundinl ogoji -5+20×2
6 mefa 6 36 merindinl ogoji -4+20×2
7 meje 7 37 metadinl ogoji -3+20×2
osm mejo osm 38 mejidinl ogoji -2+20×2
9 mesan 9 39 mokondinl ogoji -1+20×2
deset mewa deset 40 ogoji 20x2
jedenáct mokon laa +1+10 41 mokonl ogoji +1+20×2
12 meji laa +2+10 42 mejil ogoji +2+20×2
13 meta laa +3+10 43 kovové ogoji +3+20×2
čtrnáct merin laa +4+10 44 merinl ogoji +4+20×2
patnáct meeed ogun -5+20 45 maruundinla adota -5-10+20×3
16 merindinl ogun -4+20 46 merindinla adota -4-10+20×3
17 metadinl ogun -3+20 47 metadinla adota -3-10+20×3
osmnáct mejidinl ogun -2+20 48 mejidinla adota -2-10+20×3
19 mokondinl ogun -1+20 49 mokondinla adota -1-10+20×3
dvacet ogun dvacet padesáti adota -10+20×3
21 mokonlel ogun +1+20 51 mokonlela adota +1-10+20×3
22 mejilel ogun +2+20 52 mejila adota +2-10+20×3
23 kovový ogun +3+20 53 metala adota +3-10+20-×3
24 merinlel ogun +4+20 54 merinla adota +4-10+20×3
25 meeed ogbon -5+30 55 maruundinlogota -5+20×3
26 Merindinl ogbon -4+30 Zdroj: Dirk Huylebrouck. Matematika ve střední Africe před kolonizací. Kmenová matematika střední Afriky . Archivováno 7. února 2012 na Wayback Machine
27 metadinl ogbon -3+30
28 mejidinl ogbon -2+30
29 mokondinl ogbon -1+30
třicet ogbon třicet
Multiplikativní princip

Multiplikativní princip spočívá v tom, že názvy některých algoritmických čísel lze vytvořit z uzlových čísel pomocí násobení . Je to vidět v názvech takových čísel jako „sedmdesát“, „tři sta“, „čtyři sta“ atd.

Aritmetické výpočty

Pro počítání potřebujete mít matematické modely tak důležitých událostí, jako je spojení několika množin do jedné nebo naopak oddělení části množiny. Takto se objevily operace  sčítání  a poté odčítání [27] . Pro případ, že potřebujete mnohokrát sečíst několik stejných množin, objeví se nová operace - násobení [28] .

Další důležitý praktický úkon – dělení na části – byl nakonec abstrahován do čtvrté aritmetické operace –  dělení [29] . Vlastnosti aritmetických operací byly objevovány postupně.

Velkým „nátlakem“ na používání aritmetických operací byl vývoj měření . Jednotky měření byly spojeny především s částmi těla, kterými bylo snadné je měřit (měření) ( noha (noha), loket atd.).

Pojem zlomku jako takový neexistoval ani po nástupu písma. V každodenním životě se však používaly pojmy „ polovina “, „ třetina “, „ čtvrtina “. Takové „zlomky“ zlomků měly obvykle jmenovatele 2, 3, 4, 8 nebo 12. Například u Římanů byl standardní  zlomek unce  ( 1/12 ) . Středověké peněžní a měřicí systémy nesou jasný otisk starověkých nedesítkových systémů: 1 anglický  cent  \u003d 1/12  šilinku , 1  palec  \u003d 1/12  stopy , 1 stopa \u003d 1/3  yardu , tucet \u003d 12 jednotek, atd. Desetinné zlomky , vhodné pro složité výpočty, se v Evropě rozšířily teprve v 16. století [30] .

Vznik geometrie

Při své praktické činnosti člověk narazil na konkrétní geometrické tvary a tělesa. Postupně docházelo k jejich idealizaci – lidé abstrahovali od vad konkrétních předmětů, vytvářeli ideální představy. Tak se objevily pojmy pravidelných mnohoúhelníků a mnohostěnů, jehlanů, hranolů a rotačních těles. Většina běžných názvů geometrických obrazců je starověká řečtina [20] .

Původ názvů geometrických objektů
pojem původ jména
kosočtverec ze starořečtiny ρόμβος - kolovrátek
lichoběžník ze starořečtiny τραπέζιον - stol
koule ze starořečtiny σφαῖρα - míč
válec ze starořečtiny κύλινδρος - váleček
kužel ze starořečtiny κώνος - borová šiška
pyramida od názvu egyptských pyramid "Purama"
hranol ze starořeckého πρίσμα - něco řezaného
čára z latiny linea - lněná nit
tečka od slovesa tykat
centrum ze starořeckého κέντρον - název špičaté tyče (nohy kompasu)
Zdroj: E. I. Berezkina, B. A. Rosenfeld. Pravěk // Historie matematiky. Od starověku do počátku novověku / Ed. A. P. Juškevič . - Moskva: Nauka, 1970-1972. - S. 10-16. — 353 s. - 7200 výtisků.

Poznámky

  1. ↑ Boyer, 1968 , s. jeden.
  2. ↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , str. 34.
  3. ↑ Stroik D. Ya. Krátká esej o historii matematiky. - Ed. 3. - M. : Nauka, 1984. - S. 32. - 255 s.
  4. ↑ 1 2 Number Concept, 1896 , str. 3.
  5. ↑ 1 2 Menninger, 2011 , str. 17.
  6. ↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1951 .
  7. ↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , str. deset.
  8. ↑ Menninger, 2011 , str. osmnáct.
  9. ↑ 1 2 Ulin, 2007 , str. 45.
  10. ↑ 1 2 3 Dějiny matematiky, 1970-1972 .
  11. ↑ Matematická planeta, 2014 , str. 7.
  12. ↑ Matematická planeta, 2014 , str. 18-19.
  13. ↑ Matematická planeta, 2014 , str. 12-20.
  14. ↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 .
  15. ↑ 1 2 3 Dějiny matematiky, 1970-1972 , str. deset.
  16. ↑ Malý akademický slovník . Datum přístupu: 30. prosince 2016. Archivováno z originálu 31. prosince 2016.
  17. ↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , str. 9.
  18. ↑ MacDuffee , C.C. Aritmetika . Encyklopedie Britannica. Získáno 20. března 2012. Archivováno z originálu dne 27. května 2012.  
  19. ↑ 1 2 Perelman, 2012 , str. třicet.
  20. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, 1970-1972 , str. deset.
  21. ↑ N. N. Miklukho-Maclay. Sebrané spisy. - 1950. - T. 1. - S. 141.
  22. ↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , str. deset.
  23. ↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1951 , s. 24.
  24. ↑ Matematika ve střední Africe před kolonizací .
  25. ↑ Koncepce čísel, 1896 .
  26. ↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1951 , s. 13.
  27. ↑ Andronov, 1959 , s. 40-54.
  28. ↑ Andronov, 1959 , s. 60-77.
  29. ↑ Andronov, 1959 , s. 77-94.
  30. ↑ Andronov, 1959 , s. 156-173.

Literatura

  • Alberti, Mikel. matematická planeta. Cestování po celém světě. - Moskva: de Agostini, 2014. - (Svět matematiky). — ISBN 5977407351 .
  • Andronov I. K. Aritmetika. Vývoj pojmu číslo a operace s čísly. - Moskva: Uchpedgiz, 1959.
  • Bashmakova I. G., Yushkevich A. P. Původ číselných soustav // Encyklopedie elementární matematiky. Kniha první (aritmetika) / editovali P. S. Aleksandrov, A. I. Markushevich a A. Ya. Khinchin. - Leningrad: GTTI, 1951. - T. Kniha 1. Aritmetika. — 449 s.
  • Belyustin V. Jak lidé postupně přišli ke skutečné aritmetice (Veřejně dostupné eseje pro milovníky aritmetiky) . - M . : Tiskárna K. L. Menshova, 1909.
  • Berezkina E.I. , Rosenfeld B.A. Pravěk // Historie matematiky. Od starověku do počátku novověku / Ed. A. P. Juškevič . - M .: Nauka, 1970-1972. - S. 10-16. — 353 s.
  • Menninger, Carl. Historie čísel. Čísla, symboly, slova . - Moskva: Tsentrpoligraf, 2011. - 598 s.
  • Perelman Ya. I. Zábavná aritmetika. - M. : Tsentrpoligraf, 2012. - ISBN 978-5-9524-4959-6 .
  • Ulin, Bengt. Cíle a metody výuky matematiky. - M . : Vzdělávání lidí, 2007. - 335 s. — ISBN 5-87953-251-8 .
  • Conant, Levi Leonard Koncept čísla. — New York: Macmillan & Co, 1896.
  • Huylebrouck, Dirk. Matematika ve střední Africe před kolonizací . Archivováno 7. února 2012 na Wayback Machine
  • Boyer. Primitivní původ // Historie matematiky . - Leningrad: Wiley, 1968.
  • Scott JF Historie matematiky od starověku do začátku devatenáctého  století . - L. : Tailor & Francis Ltd, 1958. - 266 s.
  • Univerzální historie  čísel . - John Wiley & Sons, 2000. - 635 s. — ISBN 0471393401 .
 Historie matematiky
Země a éry
Tematické
sekce
viz také