Historie teorie pravděpodobnosti

Historie teorie pravděpodobnosti se vyznačuje mnoha jedinečnými rysy. Za prvé, na rozdíl od jiných odvětví matematiky , které se objevily přibližně ve stejné době (například matematická analýza nebo analytická geometrie ), teorie pravděpodobnosti v podstatě neměla žádné starověké nebo středověké předchůdce, je zcela výtvorem New Age [1]. . Teorie pravděpodobnosti byla dlouhou dobu považována za čistě experimentální vědu a „ne tak docela matematiku“ [2] [3] , její rigorózní zdůvodnění bylo vyvinuto až v roce 1929, tedy ještě později než axiomatika teorie množin (1922). V dnešní době zaujímá teorie pravděpodobnosti jedno z prvních míst v aplikovaných vědách z hlediska šíře svého pole působnosti; „Neexistuje téměř žádná přírodní věda, v níž by se pravděpodobnostní metody tak či onak neuplatňovaly“ [4] .

Historici vyčleňují několik období ve vývoji teorie pravděpodobnosti [5] [6] .

  1. Pravěk do 16. století včetně. Ve starověku a ve středověku se přírodní filozofové omezovali na metafyzické argumenty o původu náhody a její roli v přírodě [7] . Matematici v tomto období zvažovali a někdy řešili problémy související s teorií pravděpodobnosti, ale žádné obecné metody a tematické koncepty se dosud neobjevily. Za hlavní úspěch této doby lze považovat rozvoj kombinatorických metod , které se později hodily tvůrcům teorie pravděpodobnosti.
  2. Počátek formování základních pojmů a metod teorie pravděpodobnosti pro náhodné veličiny s konečným počtem hodnot v druhé polovině 17. století. Podnětem byly zprvu především problémy vznikající v hazardu , nicméně záběr teorie pravděpodobnosti se téměř okamžitě začíná rozšiřovat, včetně aplikovaných problémů demografické statistiky , pojišťovnictví a teorie přibližných výpočtů . V této fázi významně přispěli k myšlenkám nové vědy Pascal a Fermat . Huygens zavedl dva základní koncepty: numerickou míru pravděpodobnosti události a také koncept matematického očekávání náhodné veličiny.
  3. V 18. století se objevily monografie se systematickým výkladem teorie pravděpodobnosti. Prvním z nich byla kniha Jacoba Bernoulliho The Art of Conjecture (1713). Bernoulli v něm navrhl klasickou definici pravděpodobnosti náhodné události jako poměr počtu stejně pravděpodobných výsledků spojených s touto událostí k celkovému počtu výsledků. Nastínil také pravidla pro výpočet pravděpodobnosti pro složité události a uvedl první verzi klíčového „zákona velkých čísel“ , čímž vysvětlil, proč se frekvence události v sérii testů nemění náhodně, ale v jistém smyslu má tendenci se měnit. jeho teoretickou mezní hodnotu (tedy pravděpodobnost).
  4. Bernoulliho myšlenky rozvinuli daleko na počátku 19. století Laplace , Gauss , Poisson . Výrazně se rozšířilo využití pravděpodobnostních metod v aplikované statistice. Pojem pravděpodobnosti byl definován i pro spojité náhodné veličiny, což umožnilo aplikovat metody matematické analýzy. Objevují se první pokusy o aplikaci teorie pravděpodobnosti ve fyzice. Koncem 19. století se objevila statistická fyzika , rigorózní teorie chyb měření a pravděpodobnostní metody pronikly do široké škály aplikovaných věd.
  5. Ve 20. století vznikla ve fyzice teorie mikrosvěta a v biologii teorie dědičnosti , přičemž obě jsou v podstatě založeny na pravděpodobnostních metodách. Karl Pearson vyvinul matematické statistické algoritmy , které jsou široce a všudypřítomné v aplikované analýze měření, testování hypotéz a rozhodování . AN Kolmogorov dal klasickou axiomatiku teorie pravděpodobnosti . Z dalších nových oblastí aplikace teorie pravděpodobnosti je třeba zmínit teorii informace a teorii náhodných procesů . Filosofické debaty o tom, co je pravděpodobnost a jaký je důvod její stability, pokračují.

Středověká Evropa a raný novověk

První problémy pravděpodobnostního charakteru vyvstaly v různých hazardních hrách  - kostky , karty atd. [8] Francouzský kanovník ze 13. století Richard de Fournival po hodu třemi kostkami správně spočítal všechny možné součty bodů a uvedl počet způsobů, jak každou z těchto částek lze získat. Tento počet způsobů lze považovat za první numerickou míru očekávanosti události, analogicky k pravděpodobnosti. Před Fournivalem a někdy i po něm byla tato míra často počítána nesprávně, například vzhledem k tomu, že součty 3 a 4 bodů jsou stejně pravděpodobné, protože obojí může dopadnout „jen jedním způsobem“: podle výsledků hod, „tři jednotky“ a „dva se dvěma jednotkami, v tomto pořadí. Přitom se nepočítalo s tím, že tři jednotky jsou ve skutečnosti získány pouze jedním způsobem: , a dvě se dvěma jednotkami - tři: , takže tyto události nejsou stejně pravděpodobné [9] . S podobnými chybami se v dalších dějinách vědy opakovaně setkali.

Rozsáhlá matematická encyklopedie „Součet aritmetiky, geometrie, poměrů a proporcí“ od Itala Lucy Pacioliho (1494) obsahuje originální problémy na téma: jak rozdělit sázku mezi dva hráče, když je série her přerušena před plánovaným termínem. Příklad podobného úkolu: hra jde až na 60 bodů, vítěz obdrží celou sázku 22 dukátů , během hry první hráč získal 50 bodů, druhý - 30, a poté musela být hra zastavena; je třeba spravedlivě rozdělit původní sazbu. Rozhodnutí závisí na tom, co se rozumí „spravedlivým“ rozdělením; Sám Pacioli navrhl dělení v poměru k dosaženým bodům (55/4 a 33/4 dukátů) [10] ; později bylo jeho rozhodnutí uznáno za chybné [11] .

Významný algebraista 16. století Gerolamo Cardano věnoval rozboru hry informativní monografii The Book of Dice (1526, vydaná posmrtně). Cardano provedl úplnou a nezaměnitelnou kombinatorickou analýzu hodnot součtu bodů a uvedl pro různé události očekávanou hodnotu podílu „příznivých“ událostí: například při hodu třemi kostkami podíl případů, kdy hodnoty všech 3 kostek jsou stejné je 6/216 nebo 1/36. Cardano učinil zasvěcený postřeh: skutečný počet studovaných událostí se může u malého počtu her značně lišit od teoretického, ale čím více her v sérii, tím menší je podíl tohoto rozdílu. Cardano se v podstatě přiblížil konceptu pravděpodobnosti [12] :

Existuje tedy jedno obecné pravidlo pro výpočet: musíte vzít v úvahu celkový počet možných výskytů a počet způsobů, jak se tyto výskyty mohou objevit, a pak najít poměr posledního čísla k počtu zbývajících možných výskytů. .

Další italský algebraista, Niccolo Tartaglia , kritizoval Pacioliho přístup k řešení problému rozdělení sázky: koneckonců, pokud se jednomu z hráčů dosud nepodařilo získat jediný bod, pak Pacioliho algoritmus dává celou sázku jeho soupeři, ale toto lze jen stěží nazvat spravedlivým, protože opozdilce stále mají určité šance na výhru. Cardano a Tartaglia navrhli vlastní (různé) metody dělení, ale později byly i tyto metody uznány jako neúspěšné [13] .

Tímto tématem se zabýval i Galileo Galilei , který napsal pojednání „O problematice bodů při hře v kostky“ (1718, vydáno posmrtně). Galileova prezentace teorie her se vyznačuje vyčerpávající úplností a jasností. Galileo ve své hlavní knize Dialogue on the Two Major Systems of the World , Ptolemaic and Copernican, také poukázal na možnost odhadu chyby astronomických a jiných měření a uvedl, že malé chyby měření jsou pravděpodobnější než velké, odchylky v oba směry jsou stejně pravděpodobné a průměrný výsledek by se měl blížit skutečné hodnotě naměřené hodnoty. Tyto kvalitativní úvahy se staly vůbec první predikcí normálního rozdělení chyb [14] .

17. století: Pascal, Fermat, Huygens

V 17. století se začalo utvářet jasné chápání problémů teorie pravděpodobnosti a objevily se první matematické ( kombinatorické ) metody řešení pravděpodobnostních problémů. Blaise Pascal a Pierre de Fermat [15] se stali zakladateli matematické teorie pravděpodobnosti .

Předtím se amatérský matematik Chevalier de Mere obrátil na Pascala ohledně takzvaného „bodového problému“: kolikrát musíte hodit dvěma kostkami, abyste vsadili na současnou ztrátu alespoň jednou, kdy byly dvě šestky ziskové? Pascal a Fermat vstoupili do vzájemné korespondence o tomto problému a souvisejících otázkách ( 1654 ). V rámci této korespondence vědci diskutovali o řadě problémů souvisejících s pravděpodobnostními výpočty; zejména se uvažovalo o starém problému dělení sázky a oba vědci dospěli k rozhodnutí, že je nutné sázku rozdělit podle zbývajících šancí na výhru. Pascal upozornil de Mere na chybu, kterou udělal při řešení „problému s body“: zatímco de Mere nesprávně identifikoval stejně pravděpodobné události, když dostal odpověď: 24 hodů, Pascal dal správnou odpověď: 25 hodů [15] [16 ] .

Pascal ve svých spisech pokročil daleko v používání kombinatorických metod, které systematizoval ve své knize Pojednání o aritmetickém trojúhelníku (1665) [17] . Na základě pravděpodobnostního přístupu Pascal dokonce tvrdil (v posmrtně publikovaných poznámkách), že je výhodnější být věřícím než ateistou (viz „ Pascalova sázka “).

Téma diskuse mezi Pascalem a Fermatem (bez podrobností) se stalo známým Christianu Huygensovi , který publikoval vlastní studii „On the Calculations in Gambling“ ( 1657 ): první pojednání o teorii pravděpodobnosti [15] . V předmluvě Huygens píše [18] :

Věřím, že při pečlivém prostudování tématu si čtenář všimne, že se nejedná pouze o hru, ale že se zde kladou základy velmi zajímavé a hluboké teorie.

Huygensovo pojednání podrobně popisuje otázky, kterými se zabývali Fermat a Pascal, ale také vyvolává nové otázky [11] . Hlavním úspěchem nizozemského vědce bylo zavedení konceptu matematického očekávání , tedy teoretické průměrné hodnoty náhodné veličiny . Huygens také poukázal na klasický způsob výpočtu [18] :

Je-li počet obdržení součtu , a počet obdržení součtu je , pak cena mého čekání je .

Huygens, jak je patrné z citátu, poprvé použil termín „hodnota“ a termín „očekávání“ se poprvé objevil, když Van Schouten přeložil Huygensovo pojednání do latiny a stal se obecně uznávaným ve vědě [19] .

Kniha obsahuje velké množství problémů, některé s řešením, jiné „pro samostatné řešení“. Z posledně jmenovaných vzbudil zvláštní zájem a živou diskuzi „ problém krachu hráče “ . V poněkud zobecněné podobě je to formulováno následovně: hráči A a B mají také coiny , respektive, v každé hře se vyhrává jedna mince, pravděpodobnost výhry A v každé hře je rovna , je třeba zjistit pravděpodobnost jeho dokončení zřícenina. Kompletní obecné řešení „problému zříceniny“ podal Abraham de Moivre o půl století později (1711) [20] . V dnešní době se pravděpodobnostní schéma „problému zříceniny“ používá při řešení mnoha problémů typu „ náhodné procházky “ [21] .

Huygens také analyzoval úlohu rozdělení sázky a poskytl její konečné řešení: sázka musí být rozdělena v poměru k pravděpodobnosti výhry, pokud hra pokračuje [22] . Byl také průkopníkem aplikace pravděpodobnostních metod na demografické statistiky a ukázal, jak vypočítat délku života [23] .

Do stejného období spadají i publikace anglických statistiků Johna Graunta (1662) a Williama Pettyho (1676, 1683) . Po více než stoletém zpracování dat prokázali, že řada demografických charakteristik londýnské populace je i přes náhodné výkyvy poměrně stabilní – například poměr počtu nově narozených chlapců a dívek se jen zřídka odchyluje od podílu 14 do 13, výkyvy jsou malé a procento úmrtí ze specifických náhodných důvodů. Tato data připravila vědeckou komunitu na vnímání nových myšlenek [18] .

Graunt byl také první, kdo sestavil úmrtnostní tabulky  , tabulky pravděpodobnosti úmrtí jako funkce věku. Problematikou teorie pravděpodobnosti a její aplikace na demografickou statistiku se zabývali také Johann Hudde a Jan de Witt v Nizozemí, kteří v roce 1671 také sestavili úmrtnostní tabulky a použili je k výpočtu velikosti doživotní renty . Tento okruh otázek byl podrobněji popsán v roce 1693 Edmundem Halleyem [11] [24] .

18. století

Huygensova kniha byla založena na pojednáních z počátku 18. století od Pierra de Montmort 's Essay d'analyse sur les jeux de hazard ( francouzský  Essay d'analyse sur les jeux de hazard ; vydáno v roce 1708 a přetištěno s dodatky v roce 1713) a Jacoba Bernoulliho Umění domněnky ( lat.  Ars conjectandi ; publikováno po smrti vědce, ve stejném roce 1713). Poslední jmenovaný byl zvláště důležitý pro teorii pravděpodobnosti [11] .

The Art of Conjecture od Jacoba Bernoulliho

Jacob Bernoulli pracoval na pojednání „Umění předpokladů“ dvacet let, již deset let před vydáním se text tohoto díla v podobě nedokončeného rukopisu začal šířit po Evropě a vyvolal velký zájem. Pojednání bylo prvním systematickým výkladem teorie pravděpodobnosti. V této knize autor podal zejména klasickou definici pravděpodobnosti události jako poměr počtu výsledků spojených s touto událostí k celkovému počtu výsledků (spolehlivá událost má pravděpodobnost jedna, nemožná událost má pravděpodobnost nula). Pravděpodobnostní schéma, které systematicky studoval Bernoulli, se nyní nazývá binomické rozdělení [25] .

Dříve matematici nejčastěji operovali se samotným počtem výsledků; historici se domnívají, že nahrazení kvantity „frekvencí“ (tj. děleno celkovým počtem výsledků) bylo řízeno statistickými úvahami: frekvence, na rozdíl od kvantity, má obecně tendenci se stabilizovat s rostoucím počtem pozorování. Definice pravděpodobnosti "podle Bernoulliho" se okamžitě stala obecně přijatou, byla reprodukována Abrahamem de Moivre v knize "The Doctrine of Cases" (1718) a všemi následujícími matematiky. Jediné důležité vysvětlení – že všechny „základní výsledky“ musí být stejně pravděpodobné – učinil Pierre-Simon Laplace v roce 1812. Pokud není možné vypočítat klasickou pravděpodobnost události (například kvůli nedostatku schopnosti identifikovat ekvipravděpodobné výsledky), pak Bernoulli navrhl použít statistický přístup, tj. odhadnout pravděpodobnost na základě výsledků pozorování. této události nebo s ní související [25] .

Bernoulli v první části svého pojednání kompletně přetiskuje Huygensovu knihu, které dává nejvyšší hodnocení, a výrazně ji doplňuje o vlastní komentáře. Konkrétně dává obecnou " Bernoulliho formuli ": jestliže pravděpodobnost události je , pak pravděpodobnost, že se událost jednou v testech stane, je . Bernoulli poté rozvádí kombinatoriku a používá ji k řešení několika problémů s náhodným výběrem. V poslední části knihy, která zůstala nedokončena, se Bernoulli zabýval ekonomickými a dalšími praktickými aplikacemi teorie pravděpodobnosti [26] .

Velký význam jak pro teorii pravděpodobnosti, tak pro vědu obecně měla první verze zákona velkých čísel dokázaná Bernoullim (později dal zákonu název Poisson ) [27] . Tento zákon vysvětluje, proč se statistická četnost s nárůstem počtu pozorování blíží své teoretické hodnotě - pravděpodobnosti, a spojuje tak dvě různé definice pravděpodobnosti. Později byl zákon velkých čísel výrazně zobecněn a zpřesněn pracemi mnoha matematiků; jak se ukázalo, tendence statistické četnosti k teoretické se v analýze liší od tendence k limitu - frekvence se může výrazně odchýlit od očekávaného limitu a lze pouze tvrdit, že pravděpodobnost takových odchylek má tendenci nula s rostoucím počtem pokusů. Současně jsou frekvenční odchylky od pravděpodobnosti také přístupné pravděpodobnostní analýze [28] .

Vývoj Bernoulliho myšlenek

Pojednání Jacoba Bernoulliho způsobilo prudký nárůst zájmu o pravděpodobnostní problémy a nárůst počtu studií nových problémů. Abraham de Moivre publikoval několik prací, z nichž nejzajímavější je článek „O měření náhody nebo pravděpodobnosti výsledků v hazardu“ (1711) a pojednání „Nauka o případech“ (1718), které prošlo třemi vydání v 18. století. V tomto pojednání De Moivre nejenže kompletně vyřešil výše zmíněný „problém zničení hráče“, ale také pro něj odhadl průměrnou dobu trvání hry a pravděpodobnost výhry pro daný počet her pro každého hráče [11] [29] . V další práci nazvané „Analytical Mixture“ De Moivre podal první verzi De Moivre-Laplaceova teorému , který zkoumá rozložení možných odchylek statistické frekvence od pravděpodobnosti. De Moivre uvažoval pouze případ, kdy je pravděpodobnost rovna 1/2, zatímco obecný případ pro jakoukoli pravděpodobnost dokázal Laplace [30] . Dalším Moivreovým úspěchem byl první úvod do vědy o normálním rozdělení (1733), který se mu jevil jako aproximace binomického rozdělení [31] .

Daniel Bernoulli , synovec zakladatele teorie pravděpodobnosti, také přispěl k této vědě. On, nezávisle na De Moivre, studoval normální rozdělení pro pozorovací chyby, byl první, kdo aplikoval metody matematické analýzy na pravděpodobnostní problémy , a publikoval první z pravděpodobnostních paradoxů (1738) [32] .

Další důležitý krok učinil anglický matematik Thomas Simpson , který v průběhu numerické analýzy v knize Nature and the Laws of Chance (1740) skutečně použil třetí (spolu s klasickou a statistickou) definicí pravděpodobnosti - geometrické, vhodné pro studium spojitých náhodných veličin s nekonečným počtem hodnot. V problému XXVI Simpson našel pravděpodobnost, že kvádr náhodně hozený na rovinu se zastaví na své dané ploše [33] .

Simpsonův přístup vyvinul Georges-Louis de Buffon , který v roce 1777 uvedl klasický příklad problému geometrické pravděpodobnosti [31] . To byl „ Buffonův problém házení jehly “ , který později zaměstnával mnoho matematiků : rovina je ohraničena „v pravítku“, jehla je na ni vržena náhodně, je třeba zjistit pravděpodobnost, že jehla protne řádek [33] . Pokud je délka jehly menší než vzdálenost mezi čarami , pak požadovaná pravděpodobnost je . Tento vzorec byl několikrát experimentálně ověřen, včetně samotného Buffona, a v roce 1901 jej použil italský matematik Mario Lazzarini k experimentálnímu určení čísla . Buffonův problém, jeho analýza a různé modifikace byly diskutovány matematiky již mnoho let [34] .

Byl vyřešen nejdůležitější problém výpočtu pravděpodobnosti pro komplexní události. Anglický matematik Thomas Bayes byl první, kdo vyslovil větu o sčítání pravděpodobnosti pro několik neslučitelných událostí a „ Bayesovy vzorce “ základní v teorii pravděpodobnosti a statistice (1763, publikoval posmrtně). V moderní terminologii vám Bayesovy vzorce umožňují vypočítat podmíněnou pravděpodobnost a po obdržení nových dat vypočítanou pravděpodobnost zpřesnit. Větu o násobení pravděpodobnosti objevil již dříve De Moivre (1718) a dal jí zcela moderní, byť verbální formulaci: „pravděpodobnost výskytu dvou závislých událostí je rovna součinu pravděpodobnosti výskytu jedné z nich pravděpodobnost, že by se měl objevit druhý, pokud se první z nich již objevil“ [35] .

V polovině 18. století herní analýza stále přitahovala určitý zájem - například Leonhard Euler podal podrobnou analýzu různých typů loterií [36] , ale středem zájmu matematiků se stále více stává demografická statistika , pojištění a odhad chyb (měření, zaokrouhlování atd.) ...). Euler věnoval mnoho prací statistice a pojišťovnictví; Řešil zejména problém: odhadnout ze statistických tabulek, jaká je pravděpodobnost, že se člověk ve věku let dožije dalších let [37] .

19. století

Obecné trendy a kritika

V 19. století počet prací o teorii pravděpodobnosti stále rostl, dokonce se objevovaly pokusy o kompromisy vědy, aby se její metody rozšířily daleko za rozumné meze - například do oblasti morálky, psychologie, vymáhání práva a dokonce i teologie [38] . Zejména velšský filozof Richard Price a po něm Laplace , kteří považovali za možné vypočítat pravděpodobnost nadcházejícího východu slunce pomocí Bayesových vzorců [39] , se Poisson pokusil provést pravděpodobnostní analýzu spravedlnosti soudních rozsudků a spolehlivosti svědecká výpověď [40] . Filozof J. S. Mill v roce 1843, poukazující na takové spekulativní aplikace, nazval počet pravděpodobností „hanbou matematiky“ [41] . Tento a další odhady svědčily o nedostatečné důslednosti odůvodnění teorie pravděpodobnosti.

Matematický aparát teorie pravděpodobnosti se mezitím stále zlepšoval. Hlavní náplní jeho tehdejší aplikace bylo matematické zpracování výsledků pozorování obsahujících náhodné chyby, stejně jako výpočet rizik v pojišťovnictví a dalších statistických parametrů. Mezi hlavní aplikované problémy teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky 19. století patří následující [42] :

Do poloviny 19. století se formovala pravděpodobnostní teorie dělostřelecké palby. Většina velkých evropských zemí zřídila národní statistické organizace. Koncem století se oblast aplikace pravděpodobnostních metod začala úspěšně rozšiřovat do fyziky, biologie, ekonomie a sociologie [43] [44] .

Gauss, Laplace, Poisson

Carl Friedrich Gauss , který se neustále zabýval astronomickými výpočty, vyvinul pravděpodobnostní techniku ​​pro práci s měřeními obsahujícími chyby (1809). Hluboce studoval normální rozdělení , ukázal, že v mnoha praktických situacích je limitem pro náhodné hodnoty, zdůvodnil použití metody nejmenších čtverců k odhadu naměřené hodnoty a parametrů jejího možného rozsahu šíření. Konečnou verzi teorie představil Gauss ve dvou dílech The Theory of the Combination of Observations Subject to Random Errors (1823, 1828) [45] . Ačkoli normální zákon byl znám dávno před Gaussem, jeho příspěvek k teorii tohoto veledůležitého rozdělení je tak velký, že se normální zákon dlouho nazýval „Gaussův zákon“; moderní termín se ustálil díky pracím Karla Pearsona na konci 19. století [44] .

Hlavní úspěchy teorie pravděpodobnosti jsou shrnuty v Laplaceově fundamentální monografii „The Analytical Theory of Probability“ (1812), která završila „klasickou etapu“ ve vývoji této vědy. V 19. století prošlo Laplaceovo dílo ve Francii třemi dotisky a bylo přeloženo do mnoha jazyků světa [43] . Laplace studoval jak diskrétní, tak spojité náhodné proměnné (aniž by ještě zavedl termín „náhodná proměnná“), a pro spojité uvedl klíčový koncept hustoty rozdělení pravděpodobnosti , který dříve implicitně a omezeně používal Daniel Bernoulli. Integrální koncept distribuční funkce vznikl mnohem později (zavedl jej v roce 1912 A. M. Ljapunov ); obecný termín „náhodná proměnná“ se také zjevně poprvé objevil v dílech ruské pravděpodobnostní školy [46] . Zavedení hustoty pravděpodobnosti a charakteristických funkcí umožnilo Laplaceovi použít výkonné analytické nástroje k řešení pravděpodobnostních problémů, včetně parciálních diferenciálních rovnic [40] .

Laplace dal vzorec pro celkovou pravděpodobnost pro několik nekonzistentních „příčin“ (v moderní terminologii „hypotézy“), dokázal řadu limitních teorémů, včetně Moivre-Laplaceovy věty a konvergence binomického rozdělení k normálnímu rozdělení s zvýšení počtu pokusů. Významná část knihy je věnována statistickým aplikacím a řešení problémů. Pro odhad možného rozsahu hodnot naměřené hodnoty Laplace stejně jako Gauss doporučil metodu nejmenších čtverců [47] .

Laplace také popsal své chápání podstaty náhody a pravděpodobnosti. Dle jeho názoru je průběh reálných procesů zcela předem daný ( „determinován“ ), náhodnost se objevuje pouze v lidském vnímání a pouze tam, kde člověk nemá plnou znalost toho, co se děje [48] :

Mysl, která by v každém okamžiku znala všechny síly, které oživují přírodu, a relativní polohu všech jejích součástí, pokud by se navíc ukázala být dostatečně rozsáhlá na to, aby podrobila tato data analýze, by do jednoho vzorce zahrnula pohyb největších těles vesmíru na stejné úrovni s pohyby nejlehčích atomů; nezbylo by nic, co by pro něj nebylo jisté, a před očima by se mu objevila budoucnost, ale i minulost.

Siméon Denis Poisson v roce 1837 zobecnil Bernoulliho zákon velkých čísel odstraněním podmínky, že pravděpodobnost události v každé hře je stejná; za těchto nových podmínek bude statistická četnost konvergovat k aritmetickému průměru pro pravděpodobnosti jednotlivých her [49] . Publikoval také Poissonův vzorec , který je vhodný pro popis Bernoulliho schématu v případě, kdy se pravděpodobnost události blíží nule nebo jedné. Poissonovo rozdělení („zákon vzácných událostí“) je jedním z hlavních v aplikovaných problémech, např. radioaktivní rozpad , zrození trojčat, statistiky nehod a havárií [50] se mu řídí .

Teorie chyb měření

Hlavní problém v této oblasti je následující. Nechť po sobě jdoucí měření určité veličiny dávají blízké, ale nestejné hodnoty. Rozumí se, že se berou v úvahu systematické chyby a závislost velikosti na době měření (řekněme s rotací nebeské klenby ), takže rozdíl v datech je způsoben čistě náhodnými chybami. Na základě výsledků měření je nutné najít nejlepší odhad skutečné hodnoty zkoumané veličiny [51] .

První matematické studium tohoto prakticky důležitého (zejména v astronomii) tématu se ujal Thomas Simpson (1755). Vycházel ze špatné hypotézy, že chyby měření jsou rozděleny podle „trojúhelníkového zákona“, ale správně usoudil, že aritmetický průměr výsledků měření je blíže skutečné hodnotě než jedno měření. Daniel Bernoulli (1778) věřil, že hustota distribuce chyb je obloukem kruhu, ale Simpsonův závěr potvrdil [52] . Simpsonovy myšlenky rozvinul I. G. Lambert , který jako první aplikoval metodu generování funkcí a metodu maximální věrohodnosti , později zobecněnou R. E. Fisherem [53] .

V 19. století Laplace poukázal na to, že pozorované chyby měření jsou obvykle výsledkem součtu mnoha náhodných chyb, a proto by se jejich rozložení mělo blížit normálu . Místo aritmetického průměru navrhl statistický medián . Téměř současně však byla publikována mnohem praktičtější metoda Gaussových nejmenších čtverců (1809) a stala se obecně používána. V roce 1853 Cauchy objevil příklad distribuce, pro kterou je aritmetický průměr velmi špatným odhadem. Koncem 19. století byla statistická teorie zpracování chyb z velké části dokončena [52] .

Bertrandovy paradoxy

V roce 1889 francouzský matematik Joseph Bertrand ve svém kurzu „Analýza pravděpodobností“ navrhl řadu paradoxů souvisejících s geometrickou pravděpodobností. V každém paradoxu vedly různé výklady pojmů „nahodile“ nebo „svévolně“ k různým řešením problému. Příklad jednoho z Bertrandových paradoxů: najděte pravděpodobnost, že náhodně vybraná tětiva kružnice bude delší než strana trojúhelníku vepsaného do této kružnice. Různými metodami výběru akordu „náhodně“ se získávají různé odpovědi.

Diskuse o Bertrandových paradoxech přispěla k objasnění základů teorie pravděpodobnosti a významu termínu „equiprobably“ [54] .

Statistická fyzika

Až do poloviny 19. století byla praktická aplikace teorie pravděpodobnosti omezena především na statistiku a přibližné výpočty , takže obecný termín „náhodná veličina“ se objevil poměrně pozdě [55] . Jedním z prvních náhodných procesů ve fyzice byl chaotický pohyb pylu plovoucího ve vodě, který pod mikroskopem studoval Robert Brown v roce 1827 („ Brownův pohyb “). Jeho matematický model se však objevil až na počátku 20. století ( A. Einstein , M. Smoluchowski , N. Wiener ) [56] .

První fyzikální pravděpodobnostní modely vznikly ve statistické fyzice , kterou vyvinuli v druhé polovině 19. století L. Boltzmann , D. K. Maxwell a D. W. Gibbs . Boltzmann v sérii prací (70. léta 19. století) ukázal, že termodynamické zákony jsou pravděpodobnostně-statistické povahy a jsou spojeny s přechodem fyzikálních systémů z méně pravděpodobného stavu do pravděpodobnějšího a entropie je mírou pravděpodobnosti . Maxwell ve stejných letech odvodil zákon rozdělení rychlostí molekul v plynu, který umožňuje vypočítat energii , střední volnou cestu a další charakteristiky molekul. V roce 1902 vydal Gibbs monografii „Základní principy statistické mechaniky“, která měla velký vliv na rozvoj fyziky [57] . Koncem 19. století se obrovský praktický význam pravděpodobnostních metod stal všeobecně uznávaným faktem.

Ruská škola

V Rusku začaly v první polovině 19. století vznikat seriózní výzkumy teorie pravděpodobnosti. První kurz vyučoval S. Revkovskij na univerzitě ve Vilniusu (1829), kde byla v roce 1830 založena první katedra teorie pravděpodobnosti v Ruské říši. Od roku 1837 četl přednášky na Petrohradské univerzitě nejprve V. A. Ankudovič a od roku 1850 V. Ja Bunyakovskij . Základní učebnici „Základy matematické teorie pravděpodobnosti“ vydal Bunyakovsky v roce 1846 a ruská terminologie, kterou vynalezl, se stala obecně uznávanou. Kurz se objevil na Moskevské univerzitě v roce 1850, přednášky vedl A. Yu Davidov , budoucí prezident Moskevské matematické společnosti [58] .

Články o pravděpodobnostních tématech publikovalo mnoho významných ruských matematiků, včetně M. V. Ostrogradského , N. D. Brashmana , N. I. Lobačevského , N. E. Zernova . Ve značné části těchto děl je cítit silný vliv děl a názorů Laplaceových [59] .

Prvními světovými ruskými matematiky v teorii pravděpodobnosti byli P. L. Čebyšev a jeho studenti A. A. Markov a A. M. Ljapunov . Čebyšev od samého počátku své vědecké kariéry věnoval největší pozornost teorii pravděpodobnosti (spolu s teorií čísel ), od roku 1860 nahradil Bunjakovského na katedře teorie pravděpodobnosti a zahájil sérii přednášek. Na toto téma publikoval pouze čtyři práce, ale zásadního charakteru. Zvláště zajímavý je jeho článek „O průměrech“ (1866), který uvádí „ Čebyševovu nerovnost “, později posílenou Markovem :

.

Tento vzorec znamená , že pravděpodobnost odchylky libovolné náhodné veličiny od její střední hodnoty ( matematické očekávání ) o více než standardní odchylky ( ) nepřekročí . Například odchylka 5 má pravděpodobnost nejvýše 1/25, tedy nejvýše 4 %.

V důsledku své nerovnosti získal Čebyšev extrémně obecnou formulaci zákona velkých čísel : jsou-li matematická očekávání řady náhodných proměnných a druhé mocniny těchto matematických očekávání ohraničeny v souhrnu, pak aritmetický průměr těchto veličin konverguje růstem k aritmetickému průměru pro jejich matematická očekávání. Z této věty dostáváme jako důsledky Bernoulliho a Poissonovy věty; Chebyshev byl první, kdo důsledně vyhodnotil přesnost těchto teorémů a dalších aproximací [60] .

V roce 1887 se objevil článek Čebyševa „O dvou větách týkajících se pravděpodobností“. V této práci zjistil, že za určitých (spíše obecných) podmínek platí limitní věta: součet velkého počtu nezávislých náhodných veličin (například chyb měření) je rozdělen přibližně podle normálního zákona a tím přesněji , tím více termínů. Ve své obecnosti tento výsledek daleko převyšuje Moivre-Laplaceovu větu a všechny její analogy [61] . Později A. A. Markov a A. M. Ljapunov tuto Čebyševovu větu zpřesnili a dále zobecnili.

Obě tyto Čebyševovy věty zaujímají ústřední místo v teorii pravděpodobnosti. Důležitý je zejména fakt, že Čebyšev nejen naznačil limitní rozdělení, ale v obou případech podrobně rozebral hranice možných odchylek od tohoto limitu [5] .

Jestliže Chebyshev studoval nezávislé náhodné proměnné, pak A. A. Markov v roce 1907 rozšířil pole výzkumu s ohledem na případ, kdy nová náhodná hodnota závisí na staré. Markov dokázal variantu zákona velkých čísel pro některé běžné typy závislých veličin a zavedl do terminologie světové vědy „ Markovovy řetězce “. Markov věnoval mnoho prací analýze a klasifikaci těchto řetězců; Markovovy řetězce a Markovovy náhodné procesy se využívají nejen v matematice, ale i v dalších vědách, jako je statistická fyzika , kvantová mechanika , teorie automatického řízení a mnoho dalších [62] . Markov také vlastní pravděpodobnostní zdůvodnění metody nejmenších čtverců [63] .

AM Ljapunov zavedl metodu charakteristických funkcí do teorie limitních vět v teorii pravděpodobnosti [63] .

20. století

Teoretické otázky a matematické metody

Ve 20. století ve studiích Čebyševa a Markova pokračovali A. Ya. Khinchin , A. N. Kolmogorov aj. Zejména Jarl V. Lindeberg (1922) a Kolmogorov (1926) našli podmínky nutné a dostatečné pro zákon velká čísla držet [64] .

Matematický aparát teorie pravděpodobnosti byl výrazně obohacen v mnoha směrech. Po rozvoji teorie míry se ukázalo jako vhodné aplikovat tento obecný koncept na teorii pravděpodobnosti, tedy považovat pravděpodobnost za míru (konečné nebo nekonečné) množiny „příznivých událostí“. Tento přístup umožňuje popsat a prozkoumat vlastnosti pravděpodobnosti v dobře vyvinutém jazyce teorie množin [65] .

V teorii dynamických systémů bylo zjištěno , že řešení diferenciálních rovnic některých systémů se chovají jako stochastické procesy . Tento zásadní objev vedl k vytvoření konceptu „ dynamického chaosu “ a obecné „teorie chaosu“ . Jedním z příkladů je „ problém tří těles “ nebeské mechaniky [66] .

Až do 20. století se používalo hlavně normální, binomické a (někdy) Poissonovo rozdělení , ale mnoho dalších teoretických zákonů se ukázalo být prakticky užitečné . Například lognormální rozdělení se často vyskytuje v situacích, kdy je studovaná hodnota součinem několika nezávislých pozitivních náhodných veličin [67] .

Pravděpodobnostní metody se ukázaly jako plodné v mnoha oblastech teoretické a aplikované matematiky, dokonce i v takových klasických, jako je teorie čísel [68] nebo logika [69] . Moderní teorie pravděpodobnosti zase používá metody a přístupy vyvinuté ve funkcionální analýze , topologii a dalších odvětvích matematiky, které se objevily ve 20. století [70] .

Vytváření matematické statistiky

Mnoho vědců, od Huygense a Laplacea po Queteleta a Galtona , se zabývalo aplikací matematických metod ve statistice, včetně těch speciálně vyvinutých pro tento účel . Matematická statistika jako základ pro spolehlivé rozhodování o náhodných veličinách vznikla na přelomu 19. a 20. století díky zásadní práci Karla Pearsona , Galtonova žáka. Pearson vyvinul teorii korelace , testy dobré shody , regresní analýzu , testování hypotéz , rozhodování a algoritmy odhadu parametrů [71] . Algoritmy navržené Pearsonem jsou široce používány ve fyzice, medicíně, biologii, sociologii, zemědělství atd. [72]

Nejprominentnějším pokračovatelem Pearsonovy práce na aplikované matematické statistice v první polovině 20. století byl Ronald Aylmer Fisher . Publikoval práce o designu experimentu , vyvinul metodu maximální věrohodnosti , test statistické významnosti , analýzu rozptylu a řešení řady dalších prakticky důležitých statistických problémů. Spolu s Jerzym Neumannem vyvinul koncept intervalu spolehlivosti (1937). Fisher je autorem obecně přijímaného termínu „ varance of a random variable “ ( anglicky  variance ) [73] .

Počínaje 20. lety se rychle rozvíjela teorie statistické kontroly kvality průmyslových výrobků. Prvním problémem na toto téma se zabýval Thomas Simpson v roce 1846. V hromadné výrobě je nutné určit, jakou metodou mají být položky odebírány z jedné nebo více šarží výrobků pro kontrolu jejich kvality [74] .

Množství statistických studií, které dnes často poskytují opačné výsledky (například o přítomnosti nebo nepřítomnosti škod způsobených mobilními telefony nebo geneticky modifikovanými produkty ), učinilo problém poskytování spolehlivých závěrů ze statistického průzkumu relevantním a často diskutovaným. Nejčastější chybou je sdělení, že statistická závislost ( korelace ) studovaných faktorů údajně ukazuje na kauzální vztah mezi nimi, i když často je vztah těchto faktorů ve skutečnosti vysvětlován jejich závislostí na jednom nebo více třetích faktorech [75] . „Statistická závislost, jakkoli silná, nemůže nikdy vytvořit kauzální vztah: naše představy o příčině musí pocházet z vnější statistiky, nakonec z nějaké jiné teorie“ [76] .

Náhodné procesy

Koncept náhodného (neboli stochastického) procesu , který vznikl na počátku 20. století, se stal jednou z ústředních, rychle se rozvíjejících a nejužitečnějších aplikací teorie pravděpodobnosti. Náhodný proces je časově proměnná náhodná veličina. První studie náhodných procesů se týkaly především elektroniky a zpráv teorie komunikace , dnes lze jako příklady uvést časové řady v ekonomii nebo medicíně, registrgramy teorie mechanismů , životní statistiky populační biologie . Teorie front má široké uplatnění v praxi . Mezi typické problémy analýzy náhodných procesů [77] :

Byla provedena klasifikace typů náhodných procesů, byly vyvinuty analytické nástroje pro jejich studium ( korelační a kovarianční funkce , spektrální rozklad) [78] [79] . Pro analýzu procesů byly vyvinuty takové nové nástroje, jako jsou stochastické diferenciální rovnice , stochastický integrál , spektrální analýza a filtrační nástroje [80] .

Nové aplikace

Ve 20. století a v mnoha vědách se neustále objevovaly nové aplikace pravděpodobnostních metod; Uveďme stručně některé milníky tohoto trendu.

Fyzika

Ústředním konceptem kvantové mechaniky , vytvořeným ve dvacátých letech 20. století, je komplexní vlnová funkce , jejíž druhá mocnina modulu, podle běžného kodaňského výkladu , určuje hustotu pravděpodobnosti detekce mikročástice v daném bodě prostoru. Pokud takovou interpretaci přijmeme, pak v matematickém modelu mikrosvěta je náhodnost neodstranitelná a laplaciánský determinismus je zcela vyvrácen [81] . Pro mikrokosmos byly vyvinuty speciální Bose-Einsteinovy ​​a Fermi-Diracovy kvantové statistiky .

Biologie

Po objevech Mendela a Morgana bylo jasné, že dědičné vlastnosti se předávají na potomky prostřednictvím náhodné kombinace jednoho ze dvou rysů ( alel ) od otce a jedné ze dvou podobných alel od matky. Náhodný výběr alely otce určuje zároveň pohlaví budoucího potomka. Náhodné mutace jsou navíc navrstveny na tento proces , takže pravděpodobnostní metody tvořily základ genetiky . Používají se také při studiu a řízení vývoje biologických populací [82] . Pravděpodobnostní přístupy (například bayesovské metody a metody založené na principu maximální věrohodnosti ) se významně uplatňují ve výpočetní fylogenetice , která zahrnuje použití speciálních výpočetních algoritmů a počítačových programů pro konstrukci fylogenetických stromů [83] [84] .

Kybernetika a teorie informace

Teorie informace je založena na konceptu informační entropie , který zavedl Claude Shannon v roce 1948 [85] . Pokud náhodná proměnná může nabývat hodnot , jejichž pravděpodobnost se rovná , pak je entropie určena vzorcem:

.

Takto definovaná entropie je mírou náhodnosti (nebo nejistoty): rovná se nule, pokud náhodnost neexistuje, tj. s pravděpodobností 1 nabývá hodnota jednu určitou hodnotu. Zvýšení náhodnosti je spojeno se zvýšením entropie [86] .

Teorie automatického řízení také zpočátku používala pravděpodobnostní metody. S příchodem počítačů se používání takových metod mnohonásobně rozšířilo. Pomocí generátoru pseudonáhodných čísel je možné na počítači simulovat náhodné veličiny nebo procesy s libovolným rozdělením, což zase umožňuje prozkoumat různé reálné procesy pomocí počítačové simulace ( metoda Monte Carlo ) [87 ] .

Lingvistika

V druhé polovině 20. století se v důležité oblasti matematické lingvistiky utvářela aplikace metod teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky při studiu jazykových jevů . Četné studie založené na použití těchto metod zahrnovaly: získání pravděpodobnostně-informačních odhadů jazykové normy ; analýza distribuce syntaktické informace ve slovním tvaru , kontextová podmíněnost a redundance textů , interakce náhodných a deterministických procesů v řeči ; rozvoj adekvátních metod lingvistického experimentu; identifikace statistických charakteristik jazykových variačních řad atd. [88]

Odůvodnění a axiomatizace

V době, kdy byla vytvořena teorie pravděpodobnosti, byly základem matematiky dvě třídy objektů  – čísla a geometrické útvary. Pro teorii pravděpodobnosti bylo nutné tento seznam doplnit o velmi speciální objekt: náhodnou událost , jakož i pojmy s ní úzce související (pravděpodobnost, náhodná veličina atd.). Originalita nové vědy se projevila i v tom, že její výroky nebyly bezpodmínečné, jak se dříve v matematice přijímalo, ale pravděpodobně pravděpodobnostní.

Jak se teorie pravděpodobnosti vyvíjela, pokračovaly spory o to, zda lze idealizovanou událost považovat za matematický koncept (a pak teorie pravděpodobnosti je součástí matematiky) nebo zda jde o skutečnost pozorovanou ve zkušenosti (a pak by měla být teorie pravděpodobnosti připisována přirozenému vědy). Různí vědci vyjádřili velmi odlišné názory na tuto záležitost. P. L. Čebyšev sebevědomě považoval teorii pravděpodobnosti za matematickou disciplínu, jejímž úkolem je určit neznámou pravděpodobnost zkoumané události ze známých pravděpodobností některých událostí. Podle Davida Hilberta teorie pravděpodobnosti souvisí s mechanikou, to znamená, že jde o matematickou „fyzikální disciplínu“ [41] . August de Morgan a jeho následovník W. S. Jevons uvažovali o základním konceptu „ subjektivní pravděpodobnosti “, tedy o kvantitativním měřítku našeho chápání předmětu studia, a propojili teorii pravděpodobnosti s logikou [89] . Problémy spojené s nejednoznačnou subjektivní pravděpodobností byly opakovaně diskutovány, často jsou formulovány ve formě „pravděpodobnostních paradoxů“ (viz např. „ paradox tří vězňů “ nebo „ paradox chlapce a dívky “). Formalizace subjektivní pravděpodobnosti kompatibilní s Kolmogorovovou navrhl Bruno de Finetti (1937) a Leonard Savage (1954).

Dokonce Bernoulli ve skutečnosti dal dvě definice pravděpodobnosti: jako podíl „příznivých případů“ a jako statistickou frekvenci; k redukci druhého chápání na první bylo zapotřebí zákona velkých čísel . Rakouský matematik a mechanik Richard von Mises navrhl opačný přístup (1914): považujte frekvenční limit za definici pravděpodobnosti. Mises nepřipisoval teorii pravděpodobnosti matematice, považoval ji za experimentální vědu, která studuje pozorovatelná fakta [41] . Misesova definice a jím prezentovaná axiomatika byly kritizovány za to, že jsou prázdné, protože neexistují žádné prostředky pro zjištění, zda frekvence dané události má limit [90] . Diskuse o Misesově konceptu někdy pokračuje dodnes [91] . Objevily se i další pokusy o ospravedlnění – John Maynard Keynes (1921) a Harold Jeffreys (1939) navrhli chápat pravděpodobnost výroku jako „stupeň pravděpodobnosti“ tohoto výroku, tento přístup je také čas od času zmíněn v diskuse o problému [92] .

Na počátku 20. století postavila škola D. Hilberta takové klasické části matematiky, jako je geometrie a analýza, na striktní axiomatický základ a axiomatika se objevila v dalších částech matematiky: v teorii množin , matematické logice atd. potřeba vyvinout axiomatiku pro teorii pravděpodobnosti, protože staré, polointuitivní a neformální zdůvodnění Bernoulliho a Laplacea je dávno zastaralé. První verzi takové axiomatiky podal sovětský matematik S. N. Bernshtein ve svém kurzu „Teorie pravděpodobnosti“ (1927). Varianta A. N. Kolmogorova , publikovaná v letech 1929-1933 a založená na myšlenkách teorie míry , se stala ve vědě obecně uznávanou [93] . Alfred Renyi a A. N. Kolmogorov ve druhé polovině 20. století zkoumali možnost zdůvodnění teorie pravděpodobnosti na základě teorie informace [94] . V dnešní době „je jasné, že teorie pravděpodobnosti je skutečně matematickou vědou, která má zároveň nejužší a nejpřímější spojení s širokou škálou přírodních věd, jakož i s technickými a socioekonomickými vědami. disciplíny“ [95] .

I přes účinnost pravděpodobnostních metod ověřenou praxí zůstává role náhodnosti v přírodě, příčina a meze statistické stability předmětem diskuse [96] . „Za 200 let, které uplynuly od dob Laplacea a Gausse, věda nepokročila v základní otázce – kdy vzniká statistická stabilita“ [97] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Gnedenko B.V. O dílech M.V. Ostrogradského o teorii pravděpodobnosti // Historický a matematický výzkum . - M. : GITTL, 1951. - č. 4 . - S. 120 .
  2. ↑ Gnedenko B. V. Eseje o historii matematiky v Rusku. - M. - L .: OGIZ, 1946. - S. 201.
  3. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 303.
  4. ↑ Wentzel E. S. Teorie pravděpodobnosti. - Ed. 4., stereotypní. - M. : Nauka, 1969. - S. 17. - 577 s.
  5. ↑ 1 2 Kolmogorov A. N. Role ruské vědy ve vývoji teorie pravděpodobnosti // Vědecké poznámky Moskevské státní univerzity. - M., 1947. - T. I , vydání. 91, kniha 1 . - S. 53-64 .
  6. ↑ Sheinin O. B., 1978 , s. 284-285.
  7. ↑ Sheinin O. B., 1978 , s. 285-288.
  8. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , s. 366.
  9. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 22.
  10. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , s. 368.
  11. ↑ 1 2 3 4 5 Renyi A. K historii teorie pravděpodobnosti // Renyi A.   Trilogie o matematice. - M .: Mir, 1980. - 376 s.  - S. 184-186.
  12. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 23-31.
  13. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , s. 370-371.
  14. ↑ Maistrov L. E. Prvky teorie pravděpodobnosti v Galileovi // Otázky dějin přírodních věd a techniky. - M .: Nauka, 1964. - Vydání. 16 . - S. 94-98 .
  15. ↑ 1 2 3 Stroyk D. Ya., 1984 , str. 143.
  16. ↑ Van der Waerden B. L. Korespondence mezi Pascalem a Fermatem o teorii pravděpodobnosti // Historická a matematická studia . - M . : Nauka, 1976. - č. 21 . - S. 228-232 .
  17. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , s. 375-376, 379.
  18. ↑ 1 2 3 Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 89-91.
  19. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , s. 379-380.
  20. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , s. 399-400.
  21. ↑ Viterbi E.D. Principy koherentní komunikace . - M . : Sovětský rozhlas, 1970. - S. 102. - 392 s.
  22. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 58-60.
  23. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 64-65.
  24. ↑ Alter G. Plague and the Amsterdam Annuitant: Nový pohled na životní renty jako zdroj pro historickou demografii // Populační studie , 37 , 1983.  - S. 23-41.
  25. ↑ 1 2 Gnedenko B.V., 2005 , s. 387-389, 73.
  26. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 67-79.
  27. ↑ Bernoulli, I., 1986 .
  28. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 81-89.
  29. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , s. 402.
  30. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 95-96.
  31. ↑ 1 2 Stroik D. Ya., 1984 , str. 175.
  32. ↑ Nikiforovsky V. A., 1992 , s. 48.
  33. ↑ 1 2 Gnedenko B.V., 2005 , s. 390-391.
  34. ↑ Badger L. Lazzarini's Lucky Approximation of // Mathematics Magazine , 67 (2), 1994.  - S. 83-91. - doi : 10.2307/2690682 .
  35. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , s. 394-397.
  36. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 119-125.
  37. ↑ Gnedenko B. V. K pracím Leonharda Eulera o teorii pravděpodobnosti, teorii zpracování pozorování, demografii a pojištění // K 250. výročí narození L. Eulera. - Sbírka. - Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1958.
  38. ↑ Wentzel E. S. Teorie pravděpodobnosti. - Ed. 4., stereotypní. - M. : Nauka, 1969. - S. 20. - 577 s.
  39. ↑ Dějiny matematiky, svazek III, 1972 , str. 138, 148-149, 151.
  40. ↑ 1 2 Sheinin O. B. Teorie pravděpodobnosti P. S. Laplacea // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka, 1977. - č. 22 . - S. 212-224 .
  41. ↑ 1 2 3 Grigoryan A. A. Teorie pravděpodobnosti R. von Misese: historie a filozofické a metodologické základy // Historické a matematické studie . - M. : Janus-K, 1999. - č. 38 (4) . - S. 198-220 .
  42. ↑ Dějiny matematiky, svazek III, 1972 , str. 149.
  43. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, svazek III, 1972 , str. 150-151.
  44. ↑ 1 2 Matematika 19. století. Svazek I, 1978 , str. 208, 239.
  45. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 178-187.
  46. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , s. 414.
  47. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 167-175.
  48. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 163.
  49. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 187-189.
  50. ↑ Nikiforovsky V. A., 1992 , s. 113-114.
  51. ↑ Shchigolev B. M. Matematické zpracování pozorování. - Ed. 2., stereotypní. - M. : Fizmatlit, 1962. - S. 209-215. — 344 s.
  52. ↑ 1 2 Gnedenko B.V., 2005 , s. 408-411.
  53. ↑ Dějiny matematiky, svazek III, 1972 , str. 134.
  54. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 279-285.
  55. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , s. 417-418.
  56. ↑ Spassky B. I. Dějiny fyziky . - M . : Vyšší škola, 1977. - T. II. - S. 74-75.
  57. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 268-276.
  58. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 191-197, 204-213.
  59. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 197-204, 214.
  60. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 225-238.
  61. ↑ Čebyšev P. L.  Kompletní díla. - Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1948. - T. III. - S. 404.
  62. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 253-259.
  63. ↑ 1 2 Stroik D. Ya., 1984 , str. 255.
  64. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 310-311.
  65. ↑ Chernova N. I. Míra a pravděpodobnostní míra . Získáno 11. ledna 2014. Archivováno z originálu 25. června 2013.
  66. ↑ Tikhomirov V. Matematika ve druhé polovině 20. století  // Kvant . - 2001. - č. 1 .
  67. ↑ Logaritmicky normální rozdělení // Mathematical Encyclopedia (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3.
  68. ↑ Postnikov A. G. Pravděpodobnostní teorie čísel. - M. : Knowledge, 1974. - 63 s.
  69. ↑ Pravděpodobnostní logika // Filosofický encyklopedický slovník / Hlavní redakční rada: L. F. Iljičev, P. N. Fedosejev, S. M. Kovalev, V. G. Panov. - M .: Sovětská encyklopedie, 1983.
  70. ↑ Teorie pravděpodobnosti // Matematika v SSSR čtyřicet let, 1917-1957. - M. : Fizmatgiz, 1959. - T. I.
  71. ↑ John J. O'Connor a Edmund F. Robertson . Pearson  , Carl __  _
  72. ↑ Porter, T. M. Karl Pearson: Vědecký život ve statistickém věku . - Princeton University Press, 2004. - ISBN 978-0-691-12635-7 .
  73. ↑ Korelace mezi příbuznými na předpokladu Mendelovské dědičnosti (1918). Získáno 29. prosince 2013. Archivováno z originálu 3. června 2013.
  74. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , s. 403-405.
  75. ↑ Myers David J. Korelace nebo kauzalita . Získáno 6. ledna 2014. Archivováno z originálu dne 25. dubna 2021.
  76. ↑ Kendall M., Stewart A. Statistická inference a asociace. - M. : Nauka, 1972. - S. 374. - 900 s.
  77. ↑ Rozanov Yu.A. Náhodné procesy. Krátký kurz . - Ed. 2., revidovaný. a doplňkové - M .: Nauka, 1979. - S.  174 -183. — 184 s.
  78. ↑ Gnedenko B.V., 2005, , s. 430-434.
  79. ↑ Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro vědce a inženýry) . - M .: Nauka, 1973. - S. 522-534. — 720 s.
  80. ↑ Rozanov Yu.A. Teorie pravděpodobnosti, náhodné procesy a matematická statistika. - M .: Nauka, 1985. - S. 236-282. — 320 s.
  81. ↑ Detlaf A. A., Yavorsky B. M. Kurz fyziky. Tutorial. - Ed. 2. - M . : Vyšší škola, 1999. - S. 514. - 719 s. - ISBN 5-06-003556-5 .
  82. ↑ Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika. Matematické modely: učebnice. příspěvek ve směru "Biologie". - M .: Akademie, 2009. - 315 s. — ISBN 978-5-7695-4704-1 .
  83. ↑ Kolaczkowski B., Thornton JW Long-Branch Attraction Bias and Inconsistency in Bayesian Phylogenetics // PLoS One , 4 (12), 2009.  - P. e7891. - doi : 10.1371/journal.pone.0007891 .
  84. ↑ Simmons MP Zavádějící výsledky fylogenetických analýz založených na pravděpodobnosti v přítomnosti chybějících dat // Kladistika , 28 (2), 2012.  - S. 208-222. - doi : 10.1111/j.1096-0031.2011.00375.x .
  85. ↑ Teorie informace . Encyklopedie "Circumnavigation". Získáno 29. prosince 2013. Archivováno z originálu 30. prosince 2013.
  86. ↑ Volkenstein M. V. Entropie a informace. — M .: Nauka, 2006. — 325 s.
  87. ↑ Metoda Sobol I. M. Monte Carlo. - M .: Nauka, 1968. - (Populární přednášky o matematice, číslo 46).
  88. ↑ Piotrovsky R. G. , Bektaev K. B. , Piotrovskaya A. A.  Matematická lingvistika. - M . : Vyšší škola, 1977. - 383 s.  - S. 8-10, 110, 142, 189, 205-207, 233.
  89. ↑ Matematika 19. století. Svazek I, 1978 , str. 238-239.
  90. ↑ Khinchin A. Ya. Frekvenční teorie R. Misese a moderní myšlenky teorie pravděpodobnosti // Otázky filozofie. - 1961. - S. 91-102 (vydání 1), 77-89 (vydání 2) .
  91. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , s. 407.
  92. ↑ Robert CP, Chopin N., Rousseau J. Harold Jeffreys's Theory of Probability Revisited // Statistical Science , 24 (2), 2009.  - S. 141-172.
  93. ↑ Maistrov L.E., 1967 , s. 297-302, 311-313.
  94. ↑ Gnedenko B.V., 2005 , s. 407-408.
  95. ↑ Matematika 19. století. Svazek I, 1978 , str. 240.
  96. ↑ Alimov Yu.I., Kravtsov Yu.A. Je pravděpodobnost "normální" fyzikální veličiny?  // Úspěchy fyzikálních věd. - M. , 1992. - č. 162 (7) . - S. 149-182 .
  97. ↑ Tutubalin V. N. Pravděpodobnost, počítače a zpracování experimentálních výsledků  // Uspekhi fizicheskikh nauk. - M. , 1993. - č. 163 (7) . - S. 93-109 .

Literatura

Díla zakladatelů Moderní výzkum

Odkazy

 Historie matematiky
Země a éry
Tematické
sekce
viz také