Podmíněná pravděpodobnost

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. ledna 2018; kontroly vyžadují 26 úprav .

Podmíněná pravděpodobnost je pravděpodobnost výskytu události za předpokladu, že událost nastala. Pravděpodobnost události vypočítanou za předpokladu, že o výsledku experimentu je již něco známo (událost nastala), označíme . Například pravděpodobnost, že někdo bude mít kašel v náhodný den . Pokud ale víme nebo předpokládáme, že je člověk nachlazený, pak je mnohem pravděpodobnější, že začne kašlat. Podmíněná pravděpodobnost kašle u jakékoli osoby za předpokladu, že je nachlazená, je tedy vyšší . $A$ $B$ $A$ $B$ $P(A|B)$ $5\%$ $75\%$

Zjevný zvláštní případ: pěkně ilustrovaný vtipem " Internetový průzkum ukázal, že 100 % respondentů používá internet." $P(A|A)=1=100\%$

Podmíněná pravděpodobnost je jedním z nejzákladnějších a jedním z nejdůležitějších konceptů teorie pravděpodobnosti.

Jestliže , pak se události a nazývají nezávislé, tj. výskyt jednoho z nich nemění pravděpodobnost výskytu druhého. Také obecně, . Pokud máte například horečku dengue (událost ), pak pravděpodobnost pozitivního výsledku testu na horečku (událost ) je . Naopak, pokud máte pozitivní test na horečku dengue, šance, že ji budete mít, je pouze . V tomto případě nastala událost (přítomnost horečky dengue) za podmínky události (test pozitivní), tzn. . Když jsou tyto dvě pravděpodobnosti chybně srovnány, vyvstávají různé mylné představy, jako je základní procentuální chyba . K přesnému výpočtu podmíněné pravděpodobnosti se používá Bayesova věta . $P(A|B)=P(A)$ $A$ $B$ $P(A|B)\neq P(B|A)$ $B$ $A$ $90\%$ $P(A|B)=90\%$ $15\%$ $B$ $A$ $P(B|A)=15\%$

Definice

Podle události

Kolmogorovova definice

Nechť dvě události a patří do - pole pravděpodobnostního prostoru a . Podmíněná pravděpodobnost za podmínky se rovná podílu dělení pravděpodobnosti událostí a pravděpodobnosti : $A$ $B$ $\sigma$ $P(B)>0$ $A$ $B$ $A$ $B$ $B$

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)))$

Všimněte si, že toto je definice, nikoli teoretický výsledek. Hodnotu jednoduše označíme as a nazveme ji podmíněná pravděpodobnost pod podmínkou . ${\displaystyle {\displaystyle {\frac {P(A\cap B)}{P(B)))))$ $P(A|B)$ $A$ $B$

Podmíněná pravděpodobnost jako axiom pravděpodobnosti

Někteří autoři, jako je de Finetti , preferují zavedení podmíněné pravděpodobnosti jako axiom pravděpodobnosti:

$P(A\cap B)=P(A|B)P(B)$ .

Podmíněná pravděpodobnost jako pravděpodobnost podmíněné události

Podmíněnou pravděpodobnost lze označit jako pravděpodobnost podmíněné události . Předpokládá se, že test, který je základem událostí , se opakuje. Pak je podmíněná pravděpodobnost $A_{B}$ $A$ $B$

${\displaystyle {\displaystyle P(A_{B})={\frac {P(A\cap B)}{P(B)))))$ ,

což odpovídá Kolmogorovově definici podmíněné pravděpodobnosti. Všimněte si, že rovnice je teoretický výsledek, nikoli definice. Definici z hlediska podmíněných událostí lze chápat z hlediska Kolmogorovových axiomů a, zvláště blízkých Kolmogorovově interpretaci pravděpodobnosti, z hlediska experimentálních dat. Podmíněné události se mohou například opakovat, což vede ke zobecněné koncepci podmíněné události. Lze je zapsat jako posloupnost nezávislých a rovnoměrně rozložených náhodných proměnných , což implikuje silný zákon velkých čísel pro podmíněnou pravděpodobnost: ${\displaystyle {\displaystyle P(A_{B})=P(A\cap B)/P(B)))$ ${\displaystyle A_{B(n))).$ ${\displaystyle (A_{B(n)})_{n\geq 1)),$

${\displaystyle P({\underset {n\longrightarrow \infty }{\lim )){\overline {A_{B}^{n))}=P(A|B))=100\%} .$

Definice teorie množin

Jestliže , pak podle definice podmíněná pravděpodobnost není dána. Lze jej však definovat s ohledem na σ-algebru takových událostí (například těch, které vznikají ze spojité náhodné veličiny). $P(B)=0$ $P(A|B)$

Například, pokud a jsou nedegenerované a společně spojité náhodné proměnné s hustotou distribuce a mají kladnou míru, pak $X$ $Y$ $f_{X,Y}(x,y)$ $B$

${\displaystyle P(X\in A\mid Y\in B)={\frac {\int _{y\in B}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x ,y)\,dx\,dy}{\int _{y\in B}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy }}.}$

Případ, kdy je míra rovna nule, je problematická. Jestliže , pak podmíněnou pravděpodobnost lze zapsat jako $B$ $B=\{y_{0}\}$

${\displaystyle P(X\in A\mid Y=y_{0})={\frac {\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{0})\ ,dx}{\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{0})\,dx}},}$

tento přístup však vede k Borel-Kolmogorovovu paradoxu . Obecný případ míry nula je ještě problematičtější, protože limit, protože všechny mají tendenci k nule, ${\displaystyle \delta y_{i))$

${\displaystyle P(X\in A\mid Y\in \cup _{i}[y_{i},y_{i}+\delta y_{i}])\approxeq {\frac {\sum _{i}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i)){\součet _{i}\int _{ x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}},}$

závisí na jejich postoji, protože mají tendenci k nule.

Správně podmíněnou pravděpodobnost v obecné podobě lze definovat jako podmíněné matematické očekávání funkce indikátoru. V tomto případě, protože podmíněné matematické očekávání je specifikováno téměř všude, lze podmíněnou pravděpodobnost události s nulovou pravděpodobností libovolně rozšířit. Situace se změní, pokud událost závisí na nějakém parametru. V tomto případě, ačkoli pravděpodobnost každé hodnoty parametru může být nulová, a tudíž podmíněná pravděpodobnost pro každý takový parametr není formálně specifikována, je možné definovat podmíněnou pravděpodobnost závislou na parametru tak, aby byla dobře definována, téměř všude.

Podle náhodné veličiny

Nechť je náhodná proměnná a nechť je událost. Podmíněná pravděpodobnost za podmínky se označuje jako náhodná proměnná , která nabývá hodnoty $X$ $A$ $A$ $X$ $P(A|X)$

$P(A\mid X=x)$

kdykoli

$X=x.$

To lze napsat formálněji

$P(A|X)(\omega )=P(A\mid X=X(\omega )).$

Nyní je podmíněná pravděpodobnost již funkcí : například, pokud je funkce definována jako $P(A|X)$ $X$ $G$

${\displaystyle {\displaystyle g(x)=P(A\mid X=x),))$

pak

${\displaystyle {\displaystyle P(A|X)=g\circ X.))$

Zejména se dává jen skoro všude. V obecném případě je správné zavést přes podmíněné matematické očekávání: podmíněné matematické očekávání funkce vzhledem k náhodné veličině . V případě diskrétní náhodné veličiny je správné použít definici množinově teoretické, protože události mají nenulovou pravděpodobnost. $P(A|X)$ $P(A|X)$ $G$ $X$ $X$ $X=x$

Částečná podmíněná pravděpodobnost

Částečná podmíněná pravděpodobnost události za podmínky, že události nastanou s pravděpodobností , která se nerovná ${\displaystyle {\displaystyle P(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m)))))$ $A$ $Bi}$ $bi}$ $100\%.$

Částečná podmíněná pravděpodobnost má smysl, pokud jsou podmínky testovány v sérii iterací experimentu. Takovou omezenou dílčí podmíněnou pravděpodobnost lze definovat jako podmíněné očekávání výskytu události v sérii kontrol, které splňují všechny pravděpodobnostní specifikace , tj.: $n$ $n$ $A$ $n$ ${\displaystyle B_{i}\equiv b_{i))$

${\displaystyle P^{n}(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})=E({\overline {A^{n)) }|{\overline {B_{1}^{n}}}=b_{1}\cdots {\overline {B_{m}^{n}}}=b_{m}})}$

Na základě toho lze dílčí podmíněnou pravděpodobnost zapsat jako

${\displaystyle P(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})={\underset {n\longrightarrow \infty }{lim}}P^ {n}(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})}$ , kde $b_{i},n\in \mathbb {N}$

Příklady

Předpokládejme, že někdo hodí dvěma spravedlivými šestistěnnými kostkami a my musíme předpovědět výsledek.

Nechť je hodnota hodená na první kostce. $D_{1}$

Nechť je hodnota hodená na druhé kostce. $D_{2}$

Jaká je pravděpodobnost, že ? $D_{1}=2$

Tabulka 1 ukazuje pravděpodobnostní prostor případů. $36$

Je jasné, že přesně v případech od ; tím pádem, $D_{1}=2$ $6$ $36$ $P(D_{1}=2)=6/36=1/6.$

stůl 1

+		$D_{2}$
+		jeden	2	3	čtyři	5	6
$D_{1}$	jeden	2	3	čtyři	5	6	7
	2	3	čtyři	5	6	7	osm
	3	čtyři	5	6	7	osm	9
	čtyři	5	6	7	osm	9	deset
	5	6	7	osm	9	deset	jedenáct
	6	7	osm	9	deset	jedenáct	12

Jaká je pravděpodobnost, že ? $D_{1}+D_{2}\leq 5$

Tabulka 2 ukazuje, že pro přesně stejné výsledky $D_{1}+D_{2}\leq 5$ $deset$ $36$ $P(D_{1}+D_{2}\leq 5)=10/36.$

tabulka 2

+		$D_{2}$
+		jeden	2	3	čtyři	5	6
$D_{1}$	jeden	2	3	čtyři	5	6	7
	2	3	čtyři	5	6	7	osm
	3	čtyři	5	6	7	osm	9
	čtyři	5	6	7	osm	9	deset
	5	6	7	osm	9	deset	jedenáct
	6	7	osm	9	deset	jedenáct	12

Jaká je pravděpodobnost, že vzhledem k tomu ? $D_{1}=2$ $D_{1}+D_{2}\leq 5$

Tabulka 3 ukazuje, že , za předpokladu, že přesně pro z výsledků. $D_{1}=2$ $D_{1}+D_{2}\leq 5$ $3$ $deset$

Tedy podmíněná pravděpodobnost To lze vidět z definice, kterou jsme zavedli dříve: $P(D_{1}=2|D_{1}+D_{2}\leq 5)=3/10=0,3.$

${\displaystyle P(A|B)={\tfrac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\tfrac {3/36}{10/36}}={\ tfrac {3}{10}}.}$

Tabulka 3

+		$D_{2}$
+		jeden	2	3	čtyři	5	6
$D_{1}$	jeden	2	3	čtyři	5	6	7
	2	3	čtyři	5	6	7	osm
	3	čtyři	5	6	7	osm	9
	čtyři	5	6	7	osm	9	deset
	5	6	7	osm	9	deset	jedenáct
	6	7	osm	9	deset	jedenáct	12

Události nezávislosti

Události a se nazývají nezávislé if $A$ $B$

${\displaystyle {\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B).))$

Pokud , pak $P(B)\neq 0$

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)=P(A).))$

Podobně, pokud , pak $P(A)\neq 0$

${\displaystyle {\displaystyle P(B|A)=P(B).))$

Nezávislé události vs vzájemně se vylučující události

Jak již bylo zmíněno dříve, nezávislost událostí to znamená

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)=P(A)\quad {\text{u}}\quad P(B|A)=P(B)))$

za předpokladu, že pravděpodobnost podmínky není rovna nule. Pokud se však události vzájemně vylučují, pak

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)=0,\quad P(B|A)=0,\quad {\text{u))\quad P(A\cap B)=0.))$

Ve skutečnosti vzájemně se vylučující události nemohou být nezávislé, protože vědomí, že se jedna z událostí stala, naznačuje, že druhá se nestala.

Bludy

Pravděpodobnost události A za podmínky B se rovná pravděpodobnosti události B za podmínky A

V obecném případě nemůžeme předpokládat, že vztah mezi a je dán Bayesovým vzorcem : $P(A|B)\přibližně P(B|A).$ ${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)))$ ${\displaystyle {\displaystyle P(B|A)))$

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}P(B|A)&={\frac {P(A|B)P(B)}{P(A)))\Leftrightarrow {\frac {P( B|A)}{P(A|B)}}={\frac {P(B)}{P(A)}}\end{aligned))))$

Tedy pouze v případě , že co je ekvivalentní $P(A|B)\přibližně P(B|A),$ ${\frac {P(B)}{P(A)}}\cca 1,$ $P(A)\přibližně P(B).$

Mezní pravděpodobnost je rovna podmíněné pravděpodobnosti

V obecném případě nelze tyto pravděpodobnosti považovat za související vzorcem celkové pravděpodobnosti : $P(A)\přibližně P(A|B).$

$P(A)=\součet _{n}P(A\cap B_{n})=\součet _{n}P(A|B_{n})P(B_{n}),$

kde události tvoří spočetný oddíl . $B_{n}$ $\Omega$

Tato mylná představa může vyplývat z výběrového zkreslení. Například v kontextu lékařského tvrzení je událost, která nastane v důsledku chronického onemocnění za určitých okolností (akutní stav) . Budiž událost, kdy člověk vyhledá lékařskou pomoc. Předpokládejme, že ve většině případů nezpůsobuje , takže je nízká. Předpokládejme také, že lékařský zásah je nutný pouze v případě, že k němu došlo kvůli . Na základě zkušeností pacientů může lékař mylně usoudit, že je vysoká. Skutečná pravděpodobnost pozorovaná lékařem je . $S_{C}$ $S$ $C$ $H$ $C$ $S$ $P(S_{C})$ $S$ $C$ $P(S_{C})$ $P(S_{C}|H)$

Formální definice

Formálně , to může být definováno jako nová pravděpodobnost na stejném pravděpodobnostním prostoru, vyžadovat to pravděpodobnost událostí obsažených úplně v , měnit se stejným množstvím časů, a události zcela obsažené v not , mít pravděpodobnost . ${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)))$ $B$ $B$ $0$

Nechť je prostor elementárních výsledků . Předpokládejme, že došlo k události . Nová hodnota pravděpodobnosti bude přiřazena . Nové rozdělení pro nějaký konstantní koeficient je: $\Omega$ ${\displaystyle \{\omega \))$ $B\subseteq \Omega$ ${\displaystyle \{\omega \))$ $\alpha$

${\begin{aligned}&{\text{1. }}\omega \in B:P(\omega |B)=\alpha P(\omega )\\&{\text{2. }}\omega \notin B:P(\omega |B)=0\\&{\text{3. }}\součet _{\omega \in \Omega }{P(\omega |B)}=1.\end{aligned}}$

Dosaďte 1 a 2 do 3, abyste vyjádřili α:

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}1&=\součet _{\omega \in \Omega }{P(\omega |B)}=\součet _{\omega \in B}{P(\omega |B)}+{\cancelto {0}{\součet _{\omega \notin B}P(\omega |B)))=\alpha \součet _{\omega \in B}{P(\omega ) }=\alpha \cdot P(B)\Šipka doprava \alpha ={\frac {1}{P(B)}}\end{aligned))))$

Takže nová distribuce je

${\begin{aligned}{\text{1. }}\omega \in B&:P(\omega |B)={\frac {P(\omega )}{P(B)))\\{\text{2. }}\omega \notin B&:P(\omega |B)=0\end{aligned}}$

Nyní k události : $A$

${\begin{aligned}P(A|B)&=\součet _{\omega \in A\cap B}{P(\omega |B)}+{\cancelto {0}{\součet _ {\omega \in A\cap B^{c}}P(\omega |B)))=\sum _{\omega \in A\cap B}{\frac {P(\omega )}{P( B)}}={\frac {P(A\cap B)}{P(B)))\end{aligned}}$