Markovova nerovnost

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. února 2019; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Markovova nerovnost v teorii pravděpodobnosti dává odhad pravděpodobnosti , že nezáporná náhodná proměnná překročí v absolutní hodnotě fixní kladnou konstantu, v podmínkách jejího matematického očekávání . I když je výsledný odhad obvykle hrubý, poskytuje určitou představu o distribuci , když to není explicitně známo.

Formulace

Nechť nezáporná náhodná proměnná je definována na pravděpodobnostním prostoru a její matematické očekávání je konečné. Pak ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+))$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ ${\mathbb {E}}X$

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} X}{a))

kde . $a>0$

Příklady

1. Nechť je nezáporná náhodná veličina. Pak, vezmeme , dostaneme $X\geqslant 0$ $a=2{\mathbb {E}}X$

{\mathbb {P}}(X\geqslant 2{\mathbb {E}}X)\leqslant {\frac {1}{2}}

2. Necháme studenty zpozdit v průměru 3 minuty a nás zajímá, jaká je pravděpodobnost, že se student opozdí o 15 a více minut. Chcete-li získat hrubý odhad shora, můžete použít Markovovu nerovnost:

\mathbb {P} (|X|\geqslant 15)\leqslant {\frac {3}{15}}=0{,}2

Důkaz

Nechť nezáporná náhodná veličina má distribuční hustotu , pak for $X$ $p(x)$ $a>0$

\mathbb {E} X=\int _{0}^{\infty }xp(x)dx\geqslant \int _{a}^{\infty }xp(x)dx\geqslant \int _{ a}^{\infty }ap(x)dx=a\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)

Vztah s jinými nerovnostmi

Pokud do nerovnosti dosadíme místo náhodné veličiny náhodnou veličinu , dostaneme Čebyševovu nerovnost : $X$ $(Y-\mathbb {E} Y)^{2}$

\mathbb {P} (|Y-\mathbb {E} (Y)|\geq b)\leq {\frac ({\textrm {Var))(Y)}{b^{2))} .

A naopak, reprezentující nezápornou náhodnou veličinu jako druhou mocninu jiné náhodné veličiny , takže z Čebyševovy nerovnosti pro dostaneme Markovovu nerovnost pro . Rozdělení náhodné veličiny je definováno takto: , . $X$ $X=Y^{2}$ $\mathbb {E} Y=0$ $Y$ $X$ $Y$ $\mathbb {P} (Y<-{\sqrt {a)))=\mathbb {P} (Y>{\sqrt {a)))=\mathbb {P} (X>a)/2$ $\mathbb {P} (Y=0)=\mathbb {P} (X=0)$

Pokud je libovolná kladná neklesající funkce, pak $\phi(x)$

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)=\mathbb {P} \left(\phi (X)\geqslant \phi (a)\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} \left[\phi (X)\right]}{\phi (a)))

Zejména pro , pro jakékoli ${\displaystyle \phi (x)=e^{xt))$ $t\geqslant 0$

{\displaystyle \mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} \left[e^{Xt}\right]}{e^{at))}= {\frac {M_{X}(t)}{e^{at))))

kde je generující funkce momentů . Minimalizací pravé strany vzhledem k získáme Černovovu nerovnost . $M_{X}(t)$ $t$

Černovova nerovnost dává lepší odhad než Čebyševova nerovnost a Čebyševova nerovnost dává lepší odhad než Markovova nerovnost. To není překvapivé, protože Markovova nerovnost předpokládá znalost pouze prvního momentu náhodné veličiny , Čebyševova - prvního a druhého, Černovova - všech momentů. $X$

Viz také

Odkazy

Video přednáška o náhodných veličinách, Markovových a Čebyševových nerovnostech