Generující funkce momentů

Generující funkce momentů je způsob, jak specifikovat rozdělení pravděpodobnosti . Nejčastěji se používá k výpočtu momentů .

Definice

Nechť existuje náhodná veličina s rozdělením . Pak jeho generující funkcí momentů je funkce, která má tvar: $X$ $\mathbb {P} ^{X}$

M_{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]

Pomocí vzorců pro výpočet matematického očekávání lze definici generující funkce momentů přepsat jako:

M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,\mathbb {P} ^{X} (dx)

to znamená, že generující funkcí momentů je oboustranná Laplaceova transformace hustoty rozložení náhodné veličiny (až do odrazu).

Pokud je náhodná proměnná diskrétní , tedy $X$ $\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots$

M_{X}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }e^{tx_{i}}\,p_{i}

Příklad. Let má Bernoulliho rozdělení . Pak $X$

M_{X}(t)=e^{t\cdot 1}\cdot p+e^{t\cdot 0}\cdot q=pe^{t}+q

Pokud je náhodná veličina absolutně spojitá , to znamená, že má hustotu , pak $X$ $f_{X} (x)$

M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,f_{X}(x)\,dx

Příklad. Nechť má standardní spojité rovnoměrné rozdělení . Pak $X\simU[0,1]$

M_{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{tx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{tx}}{t }}\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{t}-1}{t}}

Vlastnosti funkcí generujících moment jsou v mnoha ohledech podobné vlastnostem charakteristických funkcí díky podobnosti jejich definic.

Funkce generující moment jednoznačně určuje rozdělení. Dovolit být dvě náhodné proměnné, a . Pak . Konkrétně, jsou-li obě veličiny absolutně spojité , pak shoda generujících funkcí momentů znamená shodu hustot. Jsou-li obě náhodné veličiny diskrétní , pak koincidence generujících funkcí momentů znamená koincidenci pravděpodobnostních funkcí. $X,Y$ $M_{X}(t)=M_{Y}(t),\;\forall t$ $\mathbb {P} ^{X}=\mathbb {P} ^{Y}$
Generující funkce momentů jako funkce náhodné veličiny je homogenní:

M_{aX}(t)=M_{X}(at),\;\forall a\in \mathbb {R}

Generující funkce momentů součtu nezávislých náhodných veličin je rovna součinu jejich generujících funkcí momentů. Nechť existují nezávislé náhodné proměnné. Označme . Pak $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $S_{n}=\součet \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

M_{S_{n}}(t)=\prod \limits _{i=1}^{n}M_{X_{i}}(t)

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}M_{X}(t)\right \vert _{t=0}