Laplaceova transformace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. dubna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Laplaceova transformace (ℒ) je integrální transformace, která spojuje funkci komplexní proměnné ( image ) s funkcí reálné proměnné ( original ). S jeho pomocí jsou zkoumány vlastnosti dynamických systémů a řešeny diferenciální a integrální rovnice . $\F(s)$ $\f(x)$

Jednou z vlastností Laplaceovy transformace, která předurčila její široké použití ve vědeckých a technických výpočtech, je to, že mnoho poměrů a operací na originálech odpovídá jednodušším poměrům na jejich obrazech. Konvoluce dvou funkcí v prostoru obrázků je tedy redukována na operaci násobení a lineární diferenciální rovnice se stávají algebraickými.

Definice

Přímá Laplaceova transformace

Laplaceova transformace funkce reálné proměnné je funkcí komplexní proměnné [1] , takže: $\f(t)$ $\F(s)$ $s=\sigma +i\omega$

F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{{-st}}f(t) \,dt.

Pravá strana tohoto výrazu se nazývá Laplaceův integrál .

Funkce se v Laplaceově transformaci nazývá originál a funkce se nazývá obraz funkce . $f(t)$ $F(s)$ $f(t)$

V literatuře se vztah mezi originálem a obrázkem často označuje takto: a , a obrázek se obvykle píše s velkým písmenem. $f(t)\risingdotseq F(s)$ $F(s)\fallingdotseq f(t)$

Inverzní Laplaceova transformace

Inverzní Laplaceova transformace funkce komplexní proměnné je funkcí reálné proměnné tak, že: $F(s)\$ $f(t)\$

f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\omega \rightarrow \infty }\int \limits _{\sigma _{1}-i\omega }^{\sigma _{1}+i\omega }e^{st}F(s)\,ds,

kde je nějaké reálné číslo (viz podmínky existence ). Pravá strana tohoto výrazu se nazývá Bromwichův integrál [2] . $\sigma _{1}\$

Obousměrná Laplaceova transformace

Dvoustranná Laplaceova transformace je zobecněním pro případ problémů, ve kterých jsou zahrnuty hodnoty pro funkci . $f(x)\$ $x<0$

Dvoustranná Laplaceova transformace je definována takto:

F(s)={\mathcal {L}}\{f(x)\}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-sx}}f (x)\,dx.

Diskrétní Laplaceova transformace

Používá se v oblasti počítačových řídicích systémů. Diskrétní Laplaceova transformace může být aplikována na mřížkové funkce.

Rozlišujte mezi -transformací a -transformací. $D\$ $Z\$

$D\$ -konverze

Nechť je mřížková funkce, to znamená, že hodnoty této funkce jsou určeny pouze v diskrétních časech , kde je celé číslo a je vzorkovací perioda. $x_{d}(t)=\součet \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT)$ $nT\$ $n\$ $T\$

Potom použitím Laplaceovy transformace dostaneme:

{\mathcal {D}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot e^{{-snT}} .

$Z\$ -konverze

Pokud použijeme následující změnu proměnných:

z=e^{{sT}},

dostaneme -transformaci: $Z$

{\mathcal {Z}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot z^{{-n}} .

Vlastnosti a věty

Absolutní konvergence

Jestliže Laplaceův integrál absolutně konverguje k , to znamená, že existuje limita $\sigma=\sigma_{0}$

\lim _{{b\to \infty }}\int \limits _{0}^{b}|f(x)|e^{{-\sigma _{0}x}}\,dx=\int \limits _{0}^{\infty }|f(x)|e^{{-\sigma _{0}x}}\,dx,

pak konverguje absolutně a jednotně pro a je analytickou funkcí pro ( je reálná část komplexní proměnné ). Přesné infimum množiny čísel , pod kterým je tato podmínka splněna, se nazývá úsečka absolutní konvergence Laplaceovy transformace pro funkci . $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ $F(s)$ $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ $\sigma ={\mathrm {Re}}\,s$ $s$ $\sigma _{a}$ $\sigma$ $f(x)$

Podmínky pro existenci přímé Laplaceovy transformace

Laplaceova transformace existuje ve smyslu absolutní konvergence v následujících případech: ${\mathcal {L}}\{f(x)\}$

$\sigma \geqslant 0$ : Laplaceova transformace existuje, pokud existuje integrál ; $\int \limits _{0}^{\infty }|f(x)|\,dx$
$\sigma >\sigma _{a}$ : Laplaceova transformace existuje, jestliže integrál existuje pro každou konečnou a pro ; $\int \limits _{0}^{{x_{1}}}|f(x)|\,dx$ $x_{1}>0$ $|f(x)|\leqslant Ke^{{\sigma _{a}x}}$ $x>x_{2}\geqslant 0$
$\sigma >0$ nebo (podle toho, která mez je větší): Laplaceova transformace existuje, pokud existuje Laplaceova transformace pro funkci ( derivace z ) pro . $\sigma >\sigma _{a}$ $f'(x)$ $f(x)$ $\sigma >\sigma _{a}$

Poznámka : toto jsou dostatečné podmínky pro existenci.

Podmínky existence inverzní Laplaceovy transformace

Pro existenci inverzní Laplaceovy transformace stačí, aby byly splněny následující podmínky:

Pokud je obrázek analytickou funkcí pro a má řád menší než −1, pak inverzní transformace pro něj existuje a je spojitá pro všechny hodnoty argumentu a pro . $F(s)$ $\sigma \geqslant \sigma _{a}$ ${\mathcal {L}}^{{-1}}\{F(s)\}=0$ $t\leqslant 0$
Nechť , Takže je analytické vzhledem ke každému a rovná se nule pro , a , Pak existuje inverzní transformace a odpovídající přímá transformace má úsečku absolutní konvergence. $F(s)=\varphi [F_{1}(s),\;F_{2}(s),\;\ldots ,\;F_{n}(s)]$ $\varphi (z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})$ $z_{k}$ $z_{1}=z_{2}=\ldots =z_{n}=0$ $F_{k}(s)={\mathcal {L}}\{f_{k}(x)\}\;\;(\sigma >\sigma _{{ak}}\dvojtečka k=1,\; 2,\;\ldots ,\;n)$

Poznámka : toto jsou dostatečné podmínky pro existenci.

Konvoluční teorém

Laplaceova transformace konvoluce dvou originálů je produktem obrazů těchto originálů:

{\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{g(x )\}.

Důkaz

Pro konvoluci

(f*g)(x)=\int _{0}^{\infty }dy\,f(xy)g(y)

Laplaceova transformace:

{\mathcal {L}}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }dx\,e^{-sx}\int _ {0}^{\infty }dy\,f(xy)g(y)

Pro novou proměnnou $t=xy,\;x=t+y$

{\mathcal {L}}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }dt\,e^{-s(t+y )}\int _{0}^{\infty }dy\,f(t)g(y)=\int _{0}^{\infty }dt\,e^{-st}f(t)\ int _{0}^{\infty }dy\,e^{-sy}g(y)={\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}\cdot {\mathcal {L }}\left\{g(x)\right\}

■

Násobení obrazu

f(x)g(0)+\int \limits _{0}^{x}f(x-\tau )g'(\tau )\,d\tau =sF(s)G(s).

Levá strana tohoto výrazu se nazývá Duhamelův integrál , který hraje důležitou roli v teorii dynamických systémů .

Diferenciace a integrace originálu

Obraz podle Laplacea první derivace originálu s ohledem na argument je součinem obrázku a argumentu druhého mínus originál na nule vpravo:

{\mathcal {L}}\{f'(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^{+}).

V obecnějším případě ( derivát th řádu) : $n$

{\mathcal {L}}\{f^{(n)}(x)\}=s^{n}\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^{+ })-s^{n-2}f^{(1)}(0^{+})-\ldots -sf^{(n-2)}(0^{+})-f^{(n -1)}(0^{+}).

Laplaceův obraz integrálu originálu s ohledem na argument je obraz originálu rozdělený jeho argumentem:

{\mathcal {L}}\left\{\int \limits _{0}^{x}f(t)\,dt\right\}={\frac {F(s)}{s}}.

Diferenciace a integrace obrazu

Inverzní Laplaceova transformace derivace obrazu vzhledem k argumentu je součinem originálu a jeho argumentu, brané s opačným znaménkem:

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{F'(s)\}=-xf(x).

Inverzní Laplaceova transformace integrálu obrázku nad argumentem je originál tohoto obrázku rozdělený jeho argumentem:

{\mathcal {L}}^{{-1}}\left\{\int \limits _{s}^{{+\infty }}F(s)\,ds\right\}={\frac { f(x)}{x}}.

Zpoždění originálů a obrázků. Limitní věty

Prodleva obrazu:

{\mathcal {L}}\{e^{{ax}}f(x)\}=F(sa);

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{F(sa)\}=e^{{ax}}f(x).

Původní zpoždění:

{\mathcal {L}}\{f(ta)H(ta)\}=e^{{-as}}F(s);

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{e^{{-as}}F(s)\}=f(xa)H(xa).

kde je funkce Heaviside . $H(x)$

Věty o počáteční a konečné hodnotě (limitní věty):

f(\infty )=\lim _{{s\to 0}}sF(s)

pokud jsou všechny póly funkce v levé polorovině.

sF(s)

Věta o konečné hodnotě je velmi užitečná, protože popisuje chování originálu v nekonečnu pomocí jednoduchého vztahu. To se například používá k analýze stability trajektorie dynamického systému.

Další vlastnosti

Linearita :

{\mathcal {L}}\{af(x)+bg(x)\}=aF(s)+bG(s).

Vynásobte číslem:

{\mathcal {L}}\{f(ax)\}={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right).

Přímá a inverzní Laplaceova transformace některých funkcí

Níže je tabulka Laplaceovy transformace pro některé funkce.

Ne.	Funkce	Časová doména $x(t)={\mathcal {L}}^{{-1}}\{X(s)\}$	frekvenční oblasti $X(s)={\mathcal {L}}\{x(t)\}$	Doména konvergence pro kauzální systémy
jeden	delta funkce	$\delta (t)\$	$jeden\$	$\forall s\$
1a	zpožděná delta funkce	$\delta (t-\tau )\$	$e^{{-\tau s}}\$
2	Zpoždění -tého řádu s frekvenčním posunem $n$	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{{-\alpha (t-\tau )))\cdot H(t-\tau )$	${\frac {e^{{-\tau s}}}{(s+\alpha )^{{n+1))))$	$s>0$
2a	moc -tého řádu $n$	${\frac {t^{n}}{n!}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{s^{{n+1))))$	$s>0$
2a.1	moc -tého řádu $q$	${\frac {t^{q}}{\Gamma (q+1)}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{s^{{q+1))))$	$s>0$
2a.2	Funkce Heaviside	$H(t)\$	${\frac {1}{s))$	$s>0$
2b	zpožděná funkce Heaviside	$H(t-\tau )\$	${\frac {e^{{-\tau s}}}{s}}$	$s>0$
2c	"rychlostní krok"	$t\cdot H(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$s>0$
2d	$n$ -tý řád s frekvenčním posunem	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{{-\alpha t}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{{n+1))))$	$s>-\alpha$
2d.1	exponenciální rozpad	$e^{{-\alpha t}}\cdot H(t)\$	${\frac {1}{s+\alpha }}$	$s>-\alpha\$
3	exponenciální aproximace	$(1-e^{{-\alpha t}})\cdot H(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )))$	$s>0\$
čtyři	sinus	$\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2))}$	$s>0\$
5	kosinus	$\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2))}$	$s>0\$
6	hyperbolický sinus	${\mathrm {sh}}\,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {\alpha }{s^{2}-\alpha ^{2))}$	$s>\|\alpha \|\$
7	hyperbolický kosinus	${\mathrm {ch}}\,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {s}{s^{2}-\alpha ^{2))}$	$s>\|\alpha \|\$
osm	exponenciálně klesající sinus	$e^{{-\alpha t}}\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {\omega }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2))}$	$s>-\alpha\$
9	exponenciálně se rozkládající kosinus	$e^{{-\alpha t}}\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {s+\alpha }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2))}$	$s>-\alpha\$
deset	tý kořen $n$	${\sqrt[ {n}]{t}}\cdot H(t)$	$s^{{-(n+1)/n}}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	$s>0$
jedenáct	přirozený logaritmus	$\ln \left({\frac {t}{t_{0))}\right)\cdot H(t)$	$-{\frac {t_{0}}{s}}[\ln(t_{0}s)+\gamma ]$	$s>0$
12	Besselova funkce prvního druhu řádu $n$	$J_{n}(\omega t)\cdot H(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2))}\right)^{{-n))}{{\sqrt {s^ {2}+\omega ^{2}}}}}}$	$s>0\$ $(n>-1)\$
13	upravená Besselova funkce prvního druhu řádu $n$	$I_{n}(\omega t)\cdot H(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2))}\right)^{{-n))}{{\sqrt {s^ {2}-\omega ^{2}}}}}$	$s>\|\omega \|\$
čtrnáct	Besselova funkce nultého řádu druhého druhu	$Y_{0}(\alpha t)\cdot H(t)\$	$-{\frac {2{\mathrm {arsh}}(s/\alpha )}{\pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2))))}$	$s>0\$
patnáct	upravená Besselova funkce druhého druhu řádu nula	$K_{0}(\alpha t)\cdot H(t)$
16	chybová funkce	${\mathrm {erf}}(t)\cdot H(t)$	${\frac {e^{{s^{2}/4}}{\mathrm {erfc}}(s/2)}{s}}$	$s>0$
Poznámky ke stolu: $H(t)\$ je funkce Heaviside ; $\delta (t)\$ - funkce delta ; $\Gamma (z)\$ - funkce gama ; $\gamma \$ je Euler-Mascheroniho konstanta ; $t\$ je skutečná proměnná; $s\$ je komplexní proměnná; $\alpha\$ , , a jsou reálná čísla ; $\beta\$ $\tau \$ $\omega \$ $n\$ je celé číslo . Kauzální systém je systém, ve kterém je funkce přenosu impulsu nulová pro jakýkoli časový okamžik . $h(t)\$ $t<0\$

Aplikace Laplaceovy transformace

Laplaceova transformace má široké uplatnění v mnoha oblastech matematiky ( operační počet ), fyziky a inženýrství :

Řešení systémů diferenciálních a integrálních rovnic - pomocí Laplaceovy transformace lze snadno přejít od složitých konceptů matematické analýzy k jednoduchým algebraickým vztahům. [3]
Výpočet přenosových funkcí dynamických systémů, jako jsou např. analogové filtry .
Výpočet výstupních signálů dynamických systémů v teorii řízení a zpracování signálů - protože výstupní signál lineárního stacionárního systému je roven konvoluci jeho impulsní odezvy se vstupním signálem, Laplaceova transformace umožňuje nahradit tuto operaci jednoduchým násobením .
Výpočet elektrických obvodů. Vyrábí se řešením diferenciálních rovnic, které popisují obvod pomocí operátorské metody.
Řešení nestacionárních úloh matematické fyziky .

Postup řešení diferenciální rovnice pomocí Laplaceovy transformace je následující:

Podle daného vstupního efektu je pomocí korespondenčních tabulek nalezen obrázek.
Podle d.s. vytvořit přenosovou funkci.
Najděte obraz velikosti bodů 1 a 2.
Definujte originál. [čtyři]

Vztah s jinými transformacemi

Základní spojení

Téměř všechny integrální transformace jsou podobné povahy a lze je získat jedna od druhé pomocí korespondenčních výrazů. Mnohé z nich jsou zvláštními případy jiných transformací. Dále jsou uvedeny vzorce, které spojují Laplaceovy transformace s některými dalšími funkčními transformacemi.

Laplaceova-Carsonova transformace

Laplaceova-Carsonova transformace (někdy nazývaná jen Carsonova transformace, někdy, ne zcela správně, používají Carsonovu transformaci a nazývají ji Laplaceova transformace) se získá z Laplaceovy transformace vynásobením obrázku komplexní proměnnou:

{\mathcal {L}}_{K}\{f(x)\}=sF(s).

Carsonova transformace je široce používána v teorii elektrických obvodů, protože s takovou transformací se rozměry obrazu a originálu shodují, takže koeficienty přenosových funkcí mají fyzikální význam.

Obousměrná Laplaceova transformace

Oboustranná Laplaceova transformace souvisí s jednostrannou Laplaceovou transformací pomocí následujícího vzorce: ${\mathcal {L}}_{B}$

{\mathcal {L}}_{B}\{f(x);\;s\}={\mathcal {L}}\{f(x);\;s\}+{\mathcal {L} }\{f(-x);\;-s\}.

Fourierova transformace

Spojitá Fourierova transformace je ekvivalentní oboustranné Laplaceově transformaci se složitým argumentem : $s=i\omega$

F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}{\Big |}_{{s=i\omega }}=F(s){\Big |}_{{s=i\omega }}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-i\ omega x}}f(x)\,dx.

Poznámka: Tyto výrazy vynechávají faktor měřítka , který je často zahrnut v definicích Fourierovy transformace. ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$

Vztah mezi Fourierovou a Laplaceovou transformací se často používá k určení frekvenčního spektra signálu nebo dynamického systému .

Mellinova transformace

Mellinova transformace a inverzní Mellinova transformace souvisí s oboustrannou Laplaceovou transformací jednoduchou změnou proměnných. Pokud v Mellinově transformaci

G(s)={\mathcal {M}}\left\{g(\theta )\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }\theta ^{s}{\frac {g (\theta )}{\theta }}\,d\theta

nastavíme , pak získáme oboustrannou Laplaceovu transformaci. $\theta =e^{{-x}}$

Z-transformace

$Z$ -transformace je Laplaceova transformace mřížkové funkce, prováděná pomocí změny proměnných:

z\equiv e^{{sT}},

kde je vzorkovací perioda a vzorkovací frekvence signálu . $T=1/f_{s}\$ $f_{s}\$

Spojení je vyjádřeno pomocí následujícího vztahu:

X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{{z=e^{{sT))))

Borel transformace

Integrální forma Borelovy transformace je totožná s Laplaceovou transformací, existuje také zobecněná Borelova transformace , se kterou je použití Laplaceovy transformace rozšířeno na širší třídu funkcí.

Viz také

Poznámky

↑ V ruské literatuře se také označuje . Viz například Ditkin V. A., Kuzněcov P. I. Handbook of Operational Calculus: Fundamentals of Theory and Tables of Formulas. - M . : Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1951. - 256 s. $\scriptstyle {p}$
↑ Zheverzheev V.F., Kalnitsky L.A., Sapogov N.A. Speciální kurz vyšší matematiky pro vysoké školy. - M., Vyšší škola , 1970. - Str. 231
↑ Vashchenko-Zakharchenko M.E. Symbolický počet a jeho aplikace na integraci lineárních diferenciálních rovnic. - Kyjev, 1862.
↑ Architektura systému automatického řízení pro skupinu malých bezpilotních prostředků // Informační technologie a výpočetní systémy. — 20.03.2018. — ISSN 2071-8632 . - doi : 10.14357/20718632180109 .

Literatura

Van der Pol B., Bremer H. . Operační počet založený na oboustranné Laplaceově transformaci. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1952. - 507 s.
Ditkin V. A. , Prudnikov A. P. . Integrální transformace a operační počet. - M. : Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury nakladatelství Nauka, 1974. - 544 s.
Ditkin V. A., Kuzněcov P. I. . Příručka operačního počtu: Základy teorie a tabulky vzorců. - M . : Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1951. - 256 s.
Carslow H., Jaeger D. . Operační metody v aplikované matematice. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1948. - 294 s.
Kozhevnikov N. I., Krasnoshchekova T. I., Shishkin N. E. . Fourierovy řady a integrály. Teorie pole. Analytické a speciální funkce. Laplaceovy transformace. — M .: Nauka, 1964. — 184 s.
Krasnov M. L., Makarenko G. I. . operační kalkul. Stabilita pohybu. — M .: Nauka, 1964. — 103 s.
Mikušinský ano . Operátorský kalkul. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1956. - 367 s.
Romanovský P.I. Fourierova řada. Teorie pole. Analytické a speciální funkce. Laplaceovy transformace. - M. : Nauka, 1980. - 336 s.

Odkazy

Integrální transformace
Abelova transformace Bessel transformuje Bushman transformace Gegenbauerova transformace Hilbertova transformace Kontorovič-Lebeděvova transformace Laplaceova transformace Meyerova transformace Mehler-Fockova transformace Mellinova transformace Nerainova transformace Radonová transformace Stieltjes transformovat Fourierova transformace Hankelova transformace Hartleyho transformace

Slovníky a encyklopedie	velká čínština velká čínština Skvělý norský Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 119531733 J9U : 987007555498105171 LCCN : sh85074666 NDL : 00567362 NKC : ph117703