Integrální rovnice

Integrální rovnice je funkční rovnice obsahující integrální transformaci přes neznámou funkci. Pokud integrální rovnice obsahuje i derivace neznámé funkce, pak hovoříme o integro-diferenciální rovnici .

Klasifikace integrálních rovnic

Lineární integrální rovnice

Jedná se o integrální rovnice, do kterých neznámá funkce vstupuje lineárně:

\varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x)

kde je požadovaná funkce, , jsou známé funkce a je parametr. Funkce se nazývá jádro integrální rovnice. V závislosti na typu jádra a volného členu lze lineární rovnice rozdělit na několik dalších typů. $\varphi(x)$ $f(x)$ $K(x,\;s)$ $\lambda$ $K(x,\;s)$

Fredholmovy rovnice Fredholmovy rovnice 2. druhu

Fredholmovy rovnice 2. druhu jsou rovnice tvaru:

\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x).

Limity integrace mohou být buď konečné, nebo nekonečné. Proměnné splňují nerovnost: a jádro a volný člen musí být spojité: nebo splňovat podmínky: $a\leqslant x,\;s\leqslant b$ $K(x,\;s)\in C(a\šikmý x,\;s\šikmý b),\;f(x)\in C([a,\;b])$

\int\limits_a^b\int\limits_a^b|K(x,\;s)|^2\,dx\,ds<+\infty,\qquad\int\limits_a^b|f(x)|^ 2\,dx<+\infty.

Jádra, která splňují poslední podmínku, se nazývají Fredholm . Je-li zapnuto , pak se rovnice nazývá homogenní , jinak se nazývá nehomogenní integrální rovnice . $f(x)\ekviv 0$ $[a,\;b]$

Fredholmovy rovnice 1. druhu

Fredholmovy rovnice 1. druhu vypadají stejně jako Fredholmovy rovnice 2. druhu, jen nemají část obsahující neznámou funkci mimo integrál:

\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x),

v tomto případě jádro a volný člen splňují podmínky formulované pro Fredholmovy rovnice druhého druhu.

Volterrovy rovnice Volterrovy rovnice 2. druhu

Volterrovy rovnice se liší od Fredholmových rovnic tím, že jedna z integračních mezí v nich je proměnná:

\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.

Volterrovy rovnice 1. druhu

Také, pokud jde o Fredholmovy rovnice, ve Volterrových rovnicích 1. druhu není žádná neznámá funkce mimo integrál:

\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x).

V zásadě lze Volterrovy rovnice považovat za speciální případ Fredholmových rovnic, pokud je jádro předefinováno:

\mathcal{K}(x,\;s)=\begin{cases}K(x,\;s), & a\leqslant s\leqslant x, \\ 0, & x<s\leqslant b.\end {případy}

Některé vlastnosti Volterrových rovnic však nelze aplikovat na Fredholmovy rovnice.

Nelineární rovnice

Můžete přijít s nemyslitelnou řadou nelineárních rovnic, takže není možné dát jim úplnou klasifikaci. Zde jsou jen některé z jejich typů, které mají velký teoretický i aplikační význam.

Urysohnovy rovnice

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s,\;\varphi(s)\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi)\v C (a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant\varphi\leqslant M).

Konstanta je nějaké kladné číslo, které nelze vždy předem určit. $M$

Hammersteinovy rovnice

Hammersteinovy rovnice jsou důležitým speciálním případem Urysohnovy rovnice:

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)F(s,\;\varphi(s)\,ds,

kde je jádro Fredholm. $K(x,\;s)$

Ljapunov-Lichtensteinovy rovnice

Je obvyklé pojmenovat Ljapunov-Lichtensteinovy rovnice obsahující v podstatě nelineární operátory, například rovnice ve tvaru:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b K_{[1]}(x,\;s)\varphi(s)\,ds+\mu\int\limits_a^b\int \limits_a^b K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi(x)\varphi(z)\,ds\,dz+\ldots

Nelineární Volterrova rovnice

\varphi(x)=\int\limits_a^x F(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,

kde funkce je spojitá v celku svých proměnných. $F(x,\;s,\;\varphi)$

Metody řešení

Před zvažováním některých metod řešení integrálních rovnic je třeba poznamenat, že pro ně, stejně jako pro diferenciální rovnice , není vždy možné získat přesné analytické řešení. Volba metody řešení závisí na typu rovnice. Zde budeme uvažovat o několika metodách řešení lineárních integrálních rovnic.

Laplaceova transformace

Metodu Laplaceovy transformace lze aplikovat na integrální rovnici, pokud integrál v ní obsažený má formu konvoluce dvou funkcí :

\int\limits_0^xf(xt)g(t)\,dt\risingdotseq F(p)G(p),

to znamená, že když je jádro funkcí rozdílu dvou proměnných:

\varphi(x)=f(x)+\int\limits_0^x K(xs)\varphi(s)\,ds.

Například za předpokladu následující rovnice:

\varphi(x)=\sin x+2\int\limits_0^x \cos(xs)\varphi(s)\,ds.

Aplikujme Laplaceovu transformaci na obě strany rovnice:

\varphi(x)\risingdotseq\Phi(p),

\Phi(p)=\frac{1}{1+p^2}+2\frac{p}{1+p^2}\Phi(p)\Rightarrow\Phi(p)=\frac{1} {(p-1)^2}.

Aplikací inverzní Laplaceovy transformace dostaneme:

\varphi(x)=\underset{p=1}{\mathrm{res}}\,\frac{1}{(p-1)^2}e^{px}=(e^{px})' _p\Big|_{p=1}=xe^x.

Metoda postupných aproximací

Metoda postupných aproximací se aplikuje na Fredholmovy rovnice 2. druhu, pokud je splněna následující podmínka:

|\lambda||ba|\max_{a\leqslant x,\;s\leqslant b}|K(x,\;s)|<1.

Tato podmínka je nezbytná pro konvergenci Liouville-Neumannovy řady :

\varphi(x)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k(K^kf)(x),

což je řešení rovnice. -tý stupeň integrálního operátoru : $(K^kf) (x)$ $k$ $(Kf) (x)$

(Kf)(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)f(s)\,ds.

Takové řešení je však dobrou aproximací pouze pro dostatečně malé . $|\lambda|$

Tato metoda je použitelná i pro řešení Volterrových rovnic 2. druhu. V tomto případě řada Liouville-Neumann konverguje pro jakékoli hodnoty , a nejen pro malé. $|\lambda|$

Metoda resolventu

Solventní metoda není nejrychlejším řešením Fredholmovy integrální rovnice druhého druhu, ale někdy není možné naznačit jiné způsoby řešení problému.

Zavedeme-li následující zápis:

\begin{align} K_0(x,\;t)=K(x,\;t),\\ K_1(t,\;s)=K(t,\;s), \end{align}

pak opakovaná jádra jádra budou jádra : $K(x,\;s)$ $K_p(x,\;s)$

K_p(x,\;s)=\int\limits_a^b K(x,\;t)K_{p-1}(t,\;s)\,dt.

Série tvořená opakovanými jádry,

\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k K_{k+1}(x,\;s),

se nazývá rezolvent jádra a je pravidelně konvergentní v , a výše uvedená podmínka pro konvergenci Liouville-Neumannovy řady . Řešení integrální rovnice představuje vzorec: $K(x,\;s)$ $a\leqslant x$ $s\leqslant b$

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)f(s)\,ds.

Například pro integrální rovnici

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1 xs\varphi(s)\,ds

budou se opakovat následující jádra:

K_0(x,\;s)=xs,

K_1(x,\;t)=xt,

K_2(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\,st\,ds=\frac{xt}{3},

K_3(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\frac{st}{3}\,ds=\frac{xt}{9},

\ldots

K_{n+1}=\frac{xt}{3^n},

a rozpouštědlem je funkce

\mathcal{R}(x,\;t,\;\lambda)=\sum_{n=0}^\infty\lambda^n K_{n+1}=\sum_{n=0}^\infty\ lambda^n\frac{xt}{3^n}=xt\frac{1}{1-\dfrac{\lambda}{3}}=\frac{3xt}{3-\lambda}.

Pak řešení rovnice najdeme podle vzorce:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1\frac{3xt}{3-\lambda}f(t)\,dt.

Metoda redukce na algebraickou rovnici

Jestliže jádro Fredholmovy integrální rovnice je degenerované , to znamená , že samotná integrální rovnice může být redukována na systém algebraických rovnic . V tomto případě lze rovnici skutečně přepsat takto: $K(x,\;s)=\sum_{i=1}^N f_i(x)g_i(s)$

\varphi(x)=\lambda\sum_{i=1}^N f_i(x)\int\limits_a^b g_i(s)\varphi(s)\,ds+f(x)=\lambda\sum_{ i=1}^N c_if_i(x)+f(x),

kde . Vynásobením předchozí rovnosti a jejím integrováním na segment dospějeme k systému algebraických rovnic pro neznámá čísla : $c_i=\int\limits_a^b\varphi(s)g_i(s)\,ds$ $g_i(x)$ $X$ $[a,\;b]$ $c_{i}$

c_i=\lambda\sum_{k=0}^N a_{ik}c_k+b_i,\qquad i=1,\;\ldots,\;N,

kde a jsou číselné koeficienty. $a_{ik}=\int\limits_a^b g_i(x)f_k(x)\,dx$ $b_i=\int\limits_a^b g_i(x)f(x)\,dx$

Přibližně touto metodou lze vyřešit Fredholmovu integrální rovnici s libovolným jádrem, vezmeme-li segment Taylorovy řady pro funkci jako degenerované jádro blízké skutečnému . [jeden] $K(x,\;s)$

Nahrazení integrálu konečným součtem

Uvažujme Fredholmovu integrální rovnici 2. druhu: , kde a mají spojité derivace požadovaného řádu, je dané číslo. Použijeme kvadraturní vzorec: , kde jsou body na segmentu , a koeficienty nezávisí na typu funkce . Uvažujme původní rovnici v bodech : . Nahraďme integrál na levé straně rovnice kvadraturním vzorcem: . Získáme lineární systém algebraických rovnic s neznámými , což jsou přibližné hodnoty řešení v bodech . Jako přibližné řešení původní integrální rovnice můžete vzít funkci: [1] . $\varphi(x) - \lambda \int_{a}^{b} K(x,t) \varphi(t) dt = f(x)$ $K(x,t)$ $f(x)$ $\lambda$ $\int_{a}^{b}\Phi(x)dx\approx\sum_{k=1}^{n}A_{k}\Phi(x_{k})$ $x_{1}, x_{2}, ... x_{n}$ $[a,b]$ $A_{1}, A_{2}, ... , A_{n}$ $\Phi (x)$ $x_{k}$ $\varphi(x_{k}) - \lambda \int_{a}^{b} K(x_{k},t) \varphi(t) dt = f(x_{k})$ $\varphi(x_{k}) - \lambda \sum_{m=1}^{n} K(x_{k}, x_{m}) \varphi(x_{m}) = f(x_{k})$ $n$ $n$ $\varphi(x_{1}), \varphi(x_{2}), ... \varphi(x_{n})$ $\varphi(x)$ $x_{1}, x_{2}, ... x_{n}$ $\overline{\varphi(x)} = \lambda \sum_{m=1}^{n} A_{m}K(x, x_{m}) \varphi(x_{m})$

Aplikace

Termín „integrální rovnice“ zavedl v roce 1888 P. Dubois-Reymond , nicméně první problémy s integrálními rovnicemi byly vyřešeny již dříve. Například v roce 1811 Fourier vyřešil problém integrální inverze , který nyní nese jeho jméno.

Fourierův inverzní vzorec

Úkolem je najít neznámou funkci ze známé funkce : $f(y)$ $g(x)$

g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{ixy}f(y)\,dy.

Fourier dostal výraz pro funkci : $f(y)$

f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-ixy}g(x)\,dx.

Redukce Cauchyho problému na integrální rovnici

Cauchyho problém pro obyčejné diferenciální rovnice vede k nelineárním Volterrově integrálním rovnicím :

\frac{dx}{dt}=F(t,\;x(t)),\qquad x(a)=x_0.

Tuto rovnici lze skutečně integrovat od do : $t$ $A$ $t$

x(t)=x_0+\int\limits_a^t F(s,\;x(s))\,ds.

Řešení počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice vede k lineárním Volterrově integrálním rovnicím 2. druhu. Liouville toho využil již v roce 1837 . Nechť je úkol například nastaven:

x''(t)+[\lambda^2-\nu(t)]x(t)=0\qquad (\lambda=\mathrm{const}),\;x(a)=1,\;x '(a)=0.

Pro rovnici s konstantními koeficienty se stejnými počátečními podmínkami:

x''(t)+\lambda^2x(t)=g(t)

řešení lze nalézt metodou variace konstant a je reprezentováno jako:

x(t)=\cos\lambda(ta)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^tg(\tau)\sin\lambda(t-\tau)\,d\tau.

Pak to pro původní rovnici vyjde:

x(t)=\cos\lambda(ta)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^t \nu(\tau)\sin\lambda(t-\tau)x(\tau)\ ,d\tau

je Volterrova integrální rovnice 2. druhu.

Lineární diferenciální rovnice -tého řádu $n$

\frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\ldots+a_n(t)x(t) =F(t),\qquad t>a,

x(a)=C_0,\;x'(a)=C_1,\;\ldots,\;x^{(n-1)}(a)=C_{n-1}

lze také redukovat na Volterrovu integrální rovnici 2. druhu.

Abelův problém

Historicky se věří, že prvním problémem, který vedl k nutnosti uvažovat o integrálních rovnicích, je Abelův problém . V roce 1823 Abel zobecnil problém tautochrony a dospěl k rovnici:

f(x)=\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta,

kde je daná funkce a je požadovaná. Tato rovnice je speciálním případem Volterrovy lineární integrální rovnice 1. druhu. Abelova rovnice je zajímavá tím, že k ní přímo vede formulace toho či onoho konkrétního problému mechaniky nebo fyziky (obcházení diferenciálních rovnic ). Například problém určení potenciální energie z periody kmitů vede k rovnici tohoto typu [2] $f(x)$ $\varphi(x)$

Abelova formulace problému vypadala asi takto:

Hmotný bod se působením gravitace pohybuje ve svislé rovině po určité křivce. Tuto křivku je potřeba definovat tak, aby hmotný bod, který se začal pohybovat bez počáteční rychlosti v bodě křivky s pořadnicí , dosáhl osy v čase , kde je daná funkce. $(\xi,\;\eta)$ $X$ $O\xi$ $t=f_1(x)$ $f_1(x)$

Pokud označíme úhel mezi tečnou k trajektorii a osou jako a použijeme Newtonovy zákony , můžeme dospět k následující rovnici: $O\xi$ $\beta$

\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta=-\sqrt{2g}f_1(x),\qquad\varphi(\beta )=\frac{1}{\sin\beta}.

Poznámky

↑ 1 2 Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Integrální rovnice. - M.: Nauka, 1976. - S. 214.
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Teoretická fyzika: učebnice. příspěvek: Pro vysoké školy. V 10 dílech T. I. Mechanics .. - 5. vyd. Stereot.. - M. : FIZMATLIT, 2004. - S. 42-43. — 224 s. - ISBN 5-9221-0055-6 .

Literatura

Krasnov M. L. Integrální rovnice: Úvod do teorie. — M.: Nauka, 1975.
Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Rovnice matematické fyziky. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
Petrovský I. G. Přednášky o parciálních diferenciálních rovnicích, 3. vyd. — 1961.
Vasiljeva A. B., Tichonov N. A. Integrální rovnice. - 2. vyd., stereotyp. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 160 s. — ISBN 5-9221-0275-3 .
Zabreiko P. P. , Koshelev A. I., Krasnoselsky M. A. Integrální rovnice. — M.: Nauka, 1968.

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata