Problém Sturm-Liouville

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. dubna 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Sturm-Liouvilleův problém , pojmenovaný po Jacquesu Charlesi Francoisovi Sturmovi a Josephu Liouvilleovi , má najít netriviální (tj. odlišná od identické nuly) řešení na intervalu Sturm-Liouvilleovy rovnice. $(a,\;b)$

L[y]=\lambda \rho (x)y(x),

splňující homogenní okrajové (okrajové) podmínky

{\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _ {1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2} +\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}

a hodnoty parametru , pro který taková řešení existují. $\lambda$

Operátor je zde lineární diferenciální operátor druhého řádu působící na funkci formy $L[y]$ $y(x)$

L[y]\equiv {\frac {d}{dx}}\left[-p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)

( Sturm-Liouville operátor nebo Schrödinger operátor), je skutečný argument. $X$

Předpokládá se, že funkce jsou spojité na , navíc jsou funkce kladné na . $p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho (x)$ $(a,\;b)$ $p(x),\;\rho (x)$ $(a,\;b)$

Požadovaná netriviální řešení se nazývají vlastní funkce tohoto problému a hodnoty, pro které takové řešení existuje, jsou jeho vlastní čísla (každé vlastní číslo odpovídá své vlastní funkci). $\lambda$

Prohlášení o problému

Typ rovnice

Jestliže funkce a jsou dvakrát spojitě diferencovatelné a kladné na intervalu a funkce je spojitá na , pak Sturmova–Liouvilleova rovnice tvaru $\rho$ $p$ $[a,b]$ $q$ $[a,\;b]$

(p(x)y')'-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0

pomocí Liouvilleovy transformace je redukován do tvaru [1] [2]

-y''+q_{1}(x)y=\lambda y.\qquad (1)

Proto je Sturmova-Liouvilleova rovnice často uvažována ve tvaru (1), funkce se nazývá potenciál [3] [4] . Studují se Sturm-Liouvilleovy problémy s potenciály z různých tříd funkcí: spojitý , (součtový) a další. $q_{1}(x)$ $L$ $L_{2}$

Typy okrajových podmínek

Dirichletovy podmínky $y(a) = y(b) = 0.$
Neumannovy podmínky $y'(a) = y'(b) = 0$
Robin podmínky $y'(a) - hy(a) = 0, \quad y'(b) + Hy(b) = 0.$
Smíšené podmínky: podmínky různých typů na různých koncích segmentu . $[a,\;b]$
Rozpadající se okrajové podmínky obecného tvaru

\begin{array}{l} \alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ \alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0. \\ \end{array}

Pravidelné podmínky . $y(a) = y(b), \quad y'(a) = y'(b)$
Antiperiodické podmínky . $y(a) = -y(b), \quad y'(a) = -y'(b)$
Obecné okrajové podmínky

a_{i1}y(a)+a_{i2}y'(a)+a_{i3}y(b)+a_{i4}y'(b)=0,\quad i=1,\ ;2.

V druhém případě jsou na koeficienty obvykle kladeny další podmínky pravidelnosti . [3] [5] $a_{{ij}}$

Pro usnadnění se libovolný segment často převádí na segment nebo pomocí změny proměnné. $[a,\;b]$ $[0,\;l]$ $[0,\;\pi ]$

Operátor Sturm-Liouville

L y = -\frac{1}{\rho(x)} \Bigl( \frac{d}{dx}\left[ p(x) \frac{d}{dx}y \right] - q(x ) y \Bigr)

je speciální případ lineárního diferenciálního operátoru [6]

p_{0}(x)y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+\ldots +p_{n}(x)y.

Definiční obor operátoru se skládá z funkcí , které jsou na intervalu dvakrát spojitě derivovatelné a splňují okrajové podmínky Sturmovy–Liouvilleovy úlohy. Sturm-Liouvilleův problém lze tedy považovat za problém pro vlastní čísla a vlastní funkce operátoru : . Pokud jsou funkce a koeficienty okrajových podmínek reálné , pak je operátor v Hilbertově prostoru samoadjungovaný . Proto jsou jeho vlastní hodnoty skutečné a vlastní funkce jsou ortogonální s váhou . $L$ $[a,\;b]$ $y$ $L$ $L y = \lambda y$ $p,\ q,\ \rho$ $L$ $L_{2}([a,\;b],\;\rho (x)\,dx)$ $\rho(x)$

Řešení problému

Příklad

Řešení problému Sturm-Liouville s nulovým potenciálem:

-y''=\lambda y,\qquad (2)

y(0)=y(l)=0

lze explicitně nalézt [7] . Nechte _ Obecné řešení rovnice (2) pro každou pevnou má tvar $\lambda = \rho^2$ $\lambda$

y(x)=A{\frac {\sin \rho x}{\rho }}+B\cos \rho x\qquad (3)

(zejména když (3) dává ). Od vyplývá . Dosazením (3) do okrajové podmínky získáme . Protože hledáme netriviální řešení, pak , a dospějeme k rovnici vlastních čísel $\rho=0$ $y(x) = Ax + B$ $y(0) = 0$ $B=0$ $y(l) = 0$ $A{\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0$ $A \ne 0$

{\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0.

Jeho kořeny jsou tedy požadované vlastní hodnoty tvaru $\rho_n = \frac{\pi n}{l}$

\lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;3,\;\ ldots

a jejich odpovídající vlastní funkce jsou

y_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots

(až do konstantního faktoru).

Obecný případ

Obecně jakékoli řešení Sturm-Liouvilleovy rovnice

-y'' + q(x)y = \lambda y \qquad (4)

reprezentovatelné jako lineární kombinace

y(x)=AS(x,\;\lambda )+BC(x,\;\lambda )\qquad (5)

jeho řešení a splnění výchozích podmínek $S(x,\;\lambda )$ $C(x,\;\lambda )$

S(0,\;\lambda )=C'(0,\;\lambda )=0,\quad S'(0,\;\lambda )=C(0,\;\lambda )=1

Řešení a tvoří základní systém řešení rovnice (4) a jsou celými funkcemi s ohledem na každou pevnou . (Pro , , ). Dosazením (5) do okrajových podmínek získáme, že vlastní čísla se shodují s nulami charakteristické funkce $S(x,\;\lambda )$ $C(x,\;\lambda )$ $\lambda$ $X$ $q(x) \ekviv 0$ $S(x,\;\lambda )=\sin \rho x$ $C(x,\;\lambda )=\cos \rho x$ $\rho = \sqrt \lambda$ $y(0) = y(\pi) = 0$

\Delta (\lambda )=S(\pi ,\;\lambda ),

analytické v celé rovině. [čtyři] $\lambda$

V obecném případě nelze vlastní čísla a vlastní funkce explicitně nalézt, ale byly pro ně získány asymptotické vzorce:

\sqrt \lambda_n = n + \frac{c}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right), \quad c = \frac{1}{2\pi} \int_0 ^{\pi} q(\tau) \, d \tau,

y_{n}(x)=\sin nx+O\left({\frac {1}{n^{2))}\right),

(v případě spojitého na potenciálu ). [8] Pro velké jsou vlastní hodnoty a vlastní funkce blízké vlastním číslům a vlastním funkcím problému z příkladu s nulovým potenciálem. $[0,\;\pi ]$ $q(x)$ $n$

Vlastnosti vlastních čísel a vlastních funkcí

Existuje nekonečná spočetná množina vlastních hodnot: $\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}<\ldots$
Každé vlastní číslo odpovídá jedinečné vlastní funkci až do konstantního faktoru . $\lambda_n$ $y_{n}$
Všechna vlastní čísla jsou skutečná .
V případě okrajových podmínek a při splnění podmínky jsou všechna vlastní čísla kladná . $y(a)=y(b)=0$ $q(x)\geqslant 0$ $\lambda _{n}>0$
Vlastní funkce tvoří ortogonální systém s váhou : $y_{n}(x)$ $[a,\;b]$ $\rho (x)$ $\{y_{n}(x)\}$

\int \limits _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)\rho (x)\,dx=0,\quad n\neq m.

Steklovův teorém platí .

Numerické metody řešení

metoda střelby . K vyřešení Sturm-Liouvilleho problému s Dirichletovými okrajovými podmínkami můžeme vzít Cauchyho problém s počátečními podmínkami pro počáteční rovnici a upravovat parametr, dokud není splněna správná okrajová podmínka. [9] $y(a) = y(b) = 0$ $u(a) = 0$ $u'(a) = 1$ $\lambda$
Metoda konečných diferencí [10] [11] . Je konstruována aproximace konečných rozdílů , která umožňuje nahradit Sturmův-Liouvilleův problém problémem hledání vlastních hodnot matice.
Metoda rozšířeného vektoru. Rozdíl vlastní funkce je doplněn složkou . Vzhledem k rozšířenému vektoru se získá nelineární systém , který lze vyřešit Newtonovou metodou . [12] ${\displaystyle y=\{y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{N}\))$ $y_{N + 1} = \lambda$
Galerkinova metoda . [13]
Variační metody . [čtrnáct]

Aplikace na řešení parciálních diferenciálních rovnic

Sturm-Liouvilleovy problémy vznikají při řešení parciálních diferenciálních rovnic metodou separace proměnných .

Jako příklad uvažujme okrajový problém pro rovnici hyperbolického typu :

\rho (x)u_{tt}=(k(x)u_{x})_{x}-q(x)u,\quad 0<x<l,\;t>0,\qquad (6)

(h_1 u_x - hu)_{|x = 0} = 0, \quad (H_1 u_x + H u)_{|x = l} = 0, \qquad (7)

u_{|t = 0} = \Phi(x), \quad u_{t|t = 0} = \Psi(x). \qquad (8)

Zde a jsou nezávislé proměnné , jsou neznámá funkce, , , , , jsou známé funkce a jsou reálná čísla . [15] Budeme hledat dílčí řešení rovnice (6), která nejsou shodně nulová a splňují okrajové podmínky (7) ve tvaru $X$ $t$ $u(x,\;t)$ $\rho$ $k$ $q$ $\Phi$ $\psi$ ${\displaystyle h,\ h_{1},\ H,\ H_{1))$

u(x,t)=Y(x)T(t).\qquad (9)

Dosazením tvaru (9) do rovnice (6) vznikne

\frac{(k(x)Y'(x))' - q(x)Y(x)}{\rho(x) Y(x)} = \frac{T''(t)}{T( t)}.

Protože a jsou nezávislé proměnné, je rovnost možná pouze tehdy, jsou-li oba zlomky rovny konstantě. Označme tuto konstantu . Dostaneme $X$ $t$ $-\lambda$

T''(t) + \lambda T(t) = 0, \qquad (10)

-(k(x)Y'(x))' + q(x) Y(x) = \lambda \rho(x) Y(x), \quad 0 < x < l. \qquad (11)

Dosazením tvaru (9) do okrajových podmínek (7) vznikne

h_1 Y'(0) - h Y(0) = 0, \quad H_1 Y'(l) + HY(l) = 0. \qquad (12)

Netriviální řešení (6) - (7) tvaru (9) existují pouze pro hodnoty , které jsou vlastními hodnotami problému Sturm - Liouville (11) - (12) . Tato řešení mají tvar , kde jsou vlastní funkce úlohy (11)–(12) a jsou řešeními rovnice . Řešení úlohy (6) - (8) je ve formě součtu partikulárních řešení ( Fourierova řada z hlediska vlastních funkcí Sturmovy - Liouvilleovy úlohy ): $\lambda$ $\lambda_n$ $T_n(t) Y_n(x)$ $Y_n(x)$ $T_n(t)$ $\lambda = \lambda_n$ $Y_n(x)$

u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} T_n(t) Y_n(x).

Inverzní Sturm-Liouvilleovy problémy

Inverzní Sturm-Liouvilleovy problémy spočívají v obnovení potenciálu Sturm-Liouvilleova operátoru a koeficientů okrajových podmínek ze spektrálních charakteristik. [8] [3] [4] Inverzní Sturm-Liouvilleovy problémy a jejich zobecnění mají aplikace v mechanice , fyzice , elektronice , geofyzice , meteorologii a dalších oblastech přírodních věd a techniky. Existuje důležitá metoda pro integraci nelineárních evolučních rovnic (například rovnice KdV ) spojená s použitím inverzní Sturm-Liouvilleovy úlohy na ose ( ). $q(x)$ $-y'' + q(x)y$ $-\infty < x < \infty$

Jedno spektrum (množina vlastních hodnot) zpravidla nestačí k jednoznačné obnově operátoru. Proto se jako počáteční data inverzního problému obvykle používají následující spektrální charakteristiky:

Dvě spektra odpovídající různým okrajovým podmínkám (Borgův problém).
Spektrální data včetně vlastních hodnot a váhových čísel rovných čtvercům norem vlastních $L_{2}$ funkcí v .
Weylova funkce je meromorfní funkce rovna poměru dvou charakteristických funkcí různých okrajových úloh.

Každá z datových sad 1-3 jednoznačně definuje potenciál . Specifikace Weylovy funkce je navíc ekvivalentní specifikaci dvou spekter nebo spektrálních dat, takže inverzní problémy na datech 1-3 jsou ekvivalentní. Existují konstruktivní metody pro řešení inverzních Sturm-Liouvilleových problémů založené na redukci nelineárních inverzních úloh na lineární rovnice v určitých Banachových prostorech . [čtyři] $q(x)$

Viz také

Poznámky

↑ Levitan, Sargsyan, 1988 , str. deset.
↑ Yurko, 2010 , str. 45.
↑ 1 2 3 Marčenko, 1977 .
↑ 1 2 3 4 Yurko, 2007 .
↑ Naimark, 1969 , s. 72.
↑ Naimark, 1969 .
↑ Yurko, 2010 , str. 25.
↑ 1 2 Levitan, Sargsyan, 1988 .
↑ Kalitkin, 1978 , str. 281.
↑ Kalitkin, 1978 , str. 284.
↑ Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobelkov G. M. Numerické metody. - Binom, 2008. - ISBN 978-5-94774-815-4 .
↑ Kalitkin, 1978 , str. 286.
↑ Kalitkin, 1978 , str. 287.
↑ Gelfand I. M., Fomin S. V. Variační počet. — 1961.
↑ Yurko, 2010 , str. třicet.

Literatura

Operátoři Levitan B. M. , Sargsyan I. S. Sturm-Liouville a Dirac. - M .: Věda. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1988. - 432 s. — ISBN 5-02-013751-0 .
Operátoři Marchenko V. A. Sturm-Liouville a jejich aplikace. - Kyjev: Naukova Dumka, 1977.
Akhtyamov A. M. , Sadovnichy V. A. , Sultanaev Ya. T. Inverzní Sturm-Liouvilleovy problémy s nerozpadajícími se okrajovými podmínkami. - M. : Nakladatelství Moskevské univerzity, 2009. - 184 s. - ISBN 978-5-211-05557-5 .
Yurko VA Rovnice matematické fyziky. — Saratov, 2010.
Yurko VA Úvod do teorie inverzních spektrálních problémů. - M. : Fizmatlit, 2007. - 384 s. — ISBN 978-5-9221-07 .
Naimark M. A. Lineární diferenciální operátory. - M .: Nauka, 1969.
Kalitkin N. N. Numerické metody. — M .: Nauka, 1978.

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata