Ortogonální funkce

Dvě, v obecném případě, komplexní funkce a , patřící do Lebesgueova prostoru , kde je měřitelná množina , se nazývají ortogonální , pokud $\varphi _{1}(t)$ $\varphi _{2}(t)$ $L_2(E)$ $E$

\int\limits_{E}\!\varphi_1(t)\overline{\varphi_2(t)}\,dt = 0

Pro vektorové funkce je zaveden skalární součin funkcí pod integrálem a integrace přes segment je nahrazena integrací přes oblast odpovídající dimenze. Užitečným zobecněním pojmu ortogonalita je ortogonalita s určitou váhou. Jsou ortogonální s váhou funkce a if $w$ $F$ $G$

\ \int\limits_\Omega\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega = 0

kde je skalární součin vektorů a jsou hodnoty funkcí s hodnotou vektoru a v bodě , je bod oblasti a je prvek jejího objemu ( míra ). Tento vzorec je napsán nejobecnějším způsobem ve srovnání se všemi výše uvedenými. V případě skutečných skalárů by měl být skalární součin nahrazen obvyklým; v případě složitých skalárů : . $\langle f(x), g(x)\rangle$ $f(x)$ $g(x)$ $F$ $G$ $X$ $X$ $\Omega$ $d\Omega$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $\langle f(x), g(x)\rangle = \bar f(x) g(x)$

Požadavek, aby funkce patřily do prostoru, je dán tím, že pro prostory netvoří Hilbertův prostor , a proto na ně nelze zavést skalární součin a s ním ortogonalitu. $L_2(E)$ $p \neq 2$ $L_p(E)$

Příklad

$\sin x$ a jsou ortogonální funkce na intervalu $\cos x$ $[0,\pi ]$
$\sin (2\pi knx$ ) a , kde je celé číslo, jsou na intervalu ortogonální $\cos (2\pi knx)$ $n$ $[0, T], T = 1/k$
$X$ a ortogonální na intervalu $jeden$ $[-1,1]$

Ortogonální funkce

Příklad

Viz také