Helmholtzova rovnice

Helmholtzova rovnice je eliptická parciální diferenciální rovnice :

(\Delta +k^{2})U=f,

kde je Laplaceův operátor a neznámá funkce je definována v (v praxi se Helmholtzova rovnice používá pro ). $\Delta =\nabla ^{2}$ $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n=1,2,3$

Odvození rovnice

Je snadné vidět, že Helmholtzova rovnice nezahrnuje operátory časové diferenciace, takže redukce původního problému v parciálních derivacích na Helmholtzovu rovnici může zjednodušit jeho řešení. Zvažte vlnovou rovnici :

\triangle u({\bar {x)),t)-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}u({\bar {x} },t)}{\částečné t^{2))}=f({\bar {x)),t).

Nechť funkce a umožňují separaci proměnných: , a nechť . Všimněte si, že v prostoru Fourierových transformací derivace s ohledem na čas odpovídá násobení faktorem iω . Naše rovnice je tedy redukována do tvaru: $u$ $F$ $u({\bar {x)),t)=U({\bar {x)))T(t),\ f({\bar {x)),t)=F({\bar {x} })T(t)$ $T(t)=e^{{i\omega t}}$

\triangle U({\bar {x)))+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}U({\bar {x}})=F({\bar {x }}),

kde je druhá mocnina modulu vlnového vektoru. ${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k^{2}$

Řešení Helmholtzovy rovnice

Případ homogenní rovnice

Řešení Helmholtzovy rovnice závisí na typu okrajových podmínek. V dvourozměrném případě se k řešení problému kmitající membrány použije Helmholtzova rovnice, pak jsou přirozeně nastaveny homogenní okrajové podmínky , které fyzikálně odpovídají upevnění membrány na hranici. V tomto případě bude řešení záviset na tvaru membrány. Takže pro kulatou membránu o poloměru v polárních souřadnicích ( ) má rovnice tvar: $A$ $r,\,\varphi$

U_{{rr))+{\frac {1}{r}}U_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}U_{{\varphi \varphi }}+k^{2 }U=0,\qquad U(a,\varphi )=0.

Pomocí metody separace proměnných dospějeme k problému vlastních čísel pro tu část řešení, která závisí pouze na : $\varphi$

U(r,\varphi )=R(r)\Phi (\varphi),

{\frac {\Phi ''}{\Phi }}=-\lambda ^{2},

a funkce, která závisí pouze na poloměru, splní rovnici:

\displaystyle r^{2}R''+rR'+R(r^{2}k^{2}-\lambda ^{2})=0.

Základními řešeními těchto rovnic jsou funkce a kde je tý kořen Besselovy funkce t. řádu . $\scriptstyle \sin(\lambda \varphi ),\ \cos(\lambda \varphi )$ $\scriptstyle J_{\lambda }\left({\frac {\mu _{i}^{{(\lambda )}}}{a}}r\right),$ $\mu _{i}^{{(\lambda )}}$ $i$ $\lambda$

Případ nehomogenní rovnice

Uvažujme Helmholtzovu rovnici v prostoru zobecněných funkcí :

\triangle U+k^{2}U=\delta (x).

Ukažme, že v trojrozměrném případě jsou základními řešeními této rovnice funkce: $(x=(x_{1},x_{2},x_{3}))$

U_{1}^{{(3)}}(x)=-{\frac {e^{{ik|x|}}}{4\pi |x|}},\qquad U_{2}^{ {(3)}}=-{\frac {e^{{-ik|x|}}}{4\pi |x|}}.

Ve skutečnosti používáme rovnosti:

{\frac {\partial }{\partial x_{j))}{\frac {1}{|x|}}=-{\frac {x_{j}}{|x|^{3}}}

{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}e^{{ik|x|}}={\frac {ikx_{j}}{|x|}}e^{{ik|x| }}

\triangle e^{{ik|x|}}=\left({\frac {2ik}{|x|}}-k^{2}\right)e^{{ik|x|}}

a vzorec dokázaný v průběhu matematické fyziky:

\triangle {\frac {1}{|x|}}=-{\frac {2\pi ^{{3/2}}}{\Gamma (3/2)))\delta (x).

Dostaneme:

(\triangle +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{{ik|x|}}=e^{{ik|x|}}\triangle {\frac {1 }{|x|}}+2\left(\jméno operátora {grad}\,\,e^{{ik|x|}},\jméno operátora {grad}{\frac {1}{|x|}}\ vpravo)+{\frac {1}{|x|}}\trojúhelník e^{{ik|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{{ik| x|}}=

$=-4\pi e^{{ik|x|}}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2}}}+{\frac {2ik}{| x|^{2))}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{{ik |x|}}=-4\pi \delta (x).$

Přímými výpočty je také ověřeno, že ve dvourozměrném případě budou základním řešením Hankelovy funkce prvního a druhého druhu :

U_{1}^{{(2)}}=-{\frac {i}{4}}H_{0}^{{(1)}}(k|x|),\qquad U_{2}^ {{(2)}}={\frac {i}{4}}H_{0}^{{(2)}}(k|x|),

a v jednorozměrném :

U_{1}^{{(1)}}(x)={\frac {e^{{ik|x|}}}{2ik}},\qquad U_{2}^{{(1))) =-{\frac {e^{{-ik|x|}}}{2ik}}.

Literatura

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Rovnice matematické fyziky. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-5 .

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata