Tepelná rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. ledna 2019; kontroly vyžadují 5 úprav .

Tepelná rovnice je parciální diferenciální rovnice druhého řádu , která popisuje rozložení teploty v dané oblasti prostoru a její změnu v čase.

Typ rovnice

V prostoru s libovolným souřadnicovým systémem má rovnice tepla tvar ${\mathbf {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})$

${\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=f({\mathbf {r}},t),$

kde je kladná konstanta (číslo je tepelná difuzivita ), je Laplaceův operátor a je funkcí zdrojů tepla [1] . Požadovaná funkce nastaví teplotu v bodě se souřadnicemi v okamžiku času . $A$ $a^2$ $\Delta =\nabla ^{2}$ $f({\mathbf {r)),t)$ $u=u({\mathbf {r}},t)$ $\mathbf {r}$ $t$

Tuto rovnici lze vysvětlit následovně. Rychlost změny teploty v čase je úměrná zakřivení rozložení teploty v prostoru (druhá derivace). Jinými slovy, čím vyšší je zakřivení teplotních „hrbů“ v těle, tím rychleji dochází v těchto místech k vyrovnání teplot.

V prostoru s kartézskými souřadnicemi má rovnice tepla tvar $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$

${\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{ \frac {\částečné ^{2}u}{\částečné x_{2}^{2))}+\cdots +{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné x_{n}^{2 }}}\right)=f(x,t).$

Rovnice vedení tepla se nazývá homogenní , pokud , tzn. uvnitř systému nejsou žádné zdroje a „propady“ tepla. $f(x,t)\ekviv 0$

Cauchyho problém pro rovnici tepla

Homogenní rovnice

Zvažte Cauchyho problém pro rovnici homogenního tepla:

{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))-a^{2}\Delta u=0,\quad x\in {\mathbb {R))^ {n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\\ \end{array}}

kde je počáteční funkce spojitá a ohraničená celým prostorem a požadovaná funkce je spojitá a omezená pro všechny hodnoty argumentu . $\varphi(x)$ $u=u(x,t)$ $t\geqslant 0$ $X$

Pro homogenní Cauchyho problém platí následující vlastnosti [2] :

Princip maxima (věta maxima a minima): Řešení homogenní Cauchyho úlohy vyhoví nerovnostem pro všechny a . [3] $\inf \varphi \leqslant u(x,t)\leqslant \sup \varphi$ $x \in \mathbb{R}^n$ $t>0$
Věta o existenci a jednoznačnosti: Pro jakékoli řešení homogenního Cauchyho problému existuje, je jedinečné a závisí spojitě na počáteční funkci v pruhu . Jinými slovy, tento Cauchyho problém je dobře položený [4] . $T>0$ $\varphi(x)$ ${\displaystyle S=\{(x,t)\mid 0\leqslant t\leqslant T,\ x\in \mathbb {R} ^{n}\))$
Jádro rovnice tepla je řešením Cauchyho úlohy pro rovnici homogenního tepla s počáteční podmínkou , kde je Diracova delta funkce . Vypadá to, že: $\varphi(x)=\delta(x)$ $\delta(x)$

\Phi (x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\exp {\biggl (}-{\frac {|x|^{ 2}}{4a^{2}t}}{\biggr )},\ \ x\in {\mathbb {R}}^{n},\ t>0.

kde je standardní skalární čtverec vektoru . Někdy se jádro tepelné rovnice nazývá také jeho fundamentální řešení , i když nejčastěji je fundamentální řešení chápáno jako funkce, která se získá z jádra vynásobením Heavisideovou funkcí .

|x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}

x \in \mathbb{R}^n

Shoda vzorce pro jádro rovnice tepla s hustotou normálního rozdělení s nulovým matematickým očekáváním a disperzí úměrnou k není náhodná. Vysvětluje se to tím, že přenos tepla je spojen s Brownovým pohybem částic, který je matematicky popsán pomocí Wienerova náhodného procesu . $a^{2}t$
Poissonův integrál: V prostoru s kartézskými souřadnicemi je řešení homogenního Cauchyho problému dáno ve formě integrálního vzorce zvaného Poissonův integrál . Totiž, pro všechny existuje konvoluce s ohledem na prostorovou proměnnou jádra s počáteční funkcí: $u(x, t)$ $t>0$ $X$

u(x,t)=\int \limits _{{{\mathbf {R}}^{n}}}\Phi (xy,t)\,\varphi (y)\,dy={\frac {1 }{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\int \limits _{({\mathbf {R))^{n))}\exp {\biggl (}-{\ frac {|xy|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy.

Poissonův integrál definuje jedinečné spojité a omezené řešení daného Cauchyho problému (všimněte si, že neomezených řešení je nekonečně mnoho).
Fyzikální paradox: z Poissonova vzorce vyplývá, že pokud je počáteční funkce všude rovna nule, kromě nějaké omezené oblasti, například dané podmínkou , ve které je kladná, pak po libovolně krátké době řešení bude přísně pozitivní ve všech bodech prostoru s libovolně velkými hodnotami . To implikuje z fyzikálního hlediska paradoxní tvrzení, že teplo se šíří nekonečnou rychlostí. Vysvětlením paradoxu je, že rovnice tepla nepopisuje zcela přesně skutečný fyzikální proces šíření tepla. Praxe ukazuje, že ve většině případů tato rovnice stále poskytuje poměrně dobrou aproximaci [2] . $\varphi$ $|x|<\epsilon$ $t>0$ $u(x, t)$ $|x|$

Nehomogenní rovnice

Zvažte Cauchyho problém pro rovnici nehomogenního tepla:

{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\částečné u}{\částečné t))-a^{2}\Delta u=f(x,t),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{ n}.\\\end{array}}

V tomto případě má Poissonův integrál tvar [5] :

u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\int \limits _{({\mathbf {R))^{n} }}\exp {\biggl (}-{\frac {|xy|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy+

$+\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{({\mathbf {R}}^{n}}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (ts ))))^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|xy|^{2}}{4a^{2}(ts))){\biggr )}\,f( y,s)\,dy\,ds.$

Jednorozměrná tepelná rovnice

Pro případ jedné prostorové proměnné x (problém ohřevu nebo chlazení tyče) má rovnice tepla tvar

u_{t}-a^{2}u_{xx}=0.

Pro tuto rovnici můžete nastavit a řešit různé okrajové úlohy , což je jedna z metod řešení, kterou navrhl francouzský matematik Fourier a nese jeho jméno [6]

Metoda separace proměnných (Fourierova metoda)

Rovnice homogenního tepla s homogenními okrajovými podmínkami

Zvažte následující problém:

{\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{{xx}},\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T\\u(x,\; 0)=\varphi (x);\quad 0\leqslant x\leqslant l\\\left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=0,\\u(l,\ ;t)=0.\\\end{array}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T\\\end{array}}

Je třeba najít funkci pro . $u(x,\;t)$ $\forall (x,\;t):0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T$

Požadovanou funkci reprezentujeme jako produkt

u(x,\;t)=X(x)T(t).

Poté dosadíme navržený tvar řešení do původní rovnice, dostaneme

X(x)T'(t)=a^{2}X''(x)T(t).

Rozdělme výraz na : $a^{2}X(x)T(t)$

{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {T'(t)}{T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x))) =-\lambda ,\;\lambda ={\mathrm {const}}.

Protože na levé straně rovnice máme funkci, která závisí pouze na , a na pravé - pouze na , pak, když libovolnou hodnotu stanovíme na pravou stranu, dostaneme, že pro jakoukoli hodnotu levé strany rovnice je konstantní . Stejně tak se můžete ujistit, že pravá strana je konstantní, tedy rovna určité konstantě (mínus se bere pro pohodlí). Dostaneme tedy dvě obyčejné lineární diferenciální rovnice: $t$ $X$ $X$ $t$ $-\lambda$

{\begin{array}{l}X''(x)+\lambda X(x)=0,\\T'(t)+a^{2}\lambda T(t)=0.\end{ pole}}

Dáme pozor na okrajové podmínky původní úlohy a dosadíme do nich navržený tvar rovnice, dostaneme:

{\begin{array}{l}u(0,\;t)=X(0)T(t)=0,\\u(l,\;t)=X(l)T(t)=0 ,\end{array}}

odkud ( , protože jinak bychom měli řešení a hledáme pouze netriviální řešení). $X(0)=X(l)=0$ $T(t)\neq 0$ $u(x,\;t)=0$

Vezmeme-li v úvahu získané okrajové podmínky, získáme Sturmův-Liouvilleův problém :

{\begin{array}{l}X''(x)+\lambda X(x)=0;\\X(0)=0,\\X(l)=0.\\\end{pole} }

Jeho řešení je redukováno na řešení lineární diferenciální rovnice a uvažování tří případů:

$\lambda<0.$ V tomto případě bude obecná forma řešení následující: $X(x)=C_{1}e^{{{\sqrt {-\lambda }}x}}+C_{2}e^{{-{\sqrt {-\lambda }}x}}.$ Dosazením okrajových podmínek zajistíme, že řešení bude , a hledáme pouze netriviální řešení, proto tento případ není vhodný. $X(x)\ekviv 0$
$\lambda=0.$ Celkový pohled na řešení $X(x)=C_{1}x+C_{2}.$ Je snadné vidět, že ani tato možnost nám nevyhovuje.
$\lambda>0.$ Celkový pohled na řešení $X(x)=C_{1}\cos({\sqrt \lambda }x)+C_{2}\sin({\sqrt \lambda }x).$ Dosadíme okrajové podmínky: ${\begin{array}{l}X(0)=C_{1}=0,\\X(l)=C_{2}\sin({\sqrt \lambda }l)=0.\end{array }}$ Protože hledáme pouze netriviální řešení, není to pro nás vhodné $C_{2}=0$ ${\begin{array}{l}\sin({\sqrt \lambda }l)=0,\\{\sqrt \lambda }l=\pi n,\quad n=1,\;2,\;\ ldots \\\end{array}}$ $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;\ldots$ Odtud $X_{n}(x)=C_{n}\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right),\;\quad n=1,\;2,\;\ldots$

Vezmeme-li v úvahu zjištěné , odvodíme obecné řešení lineární diferenciální rovnice $\lambda$

T'(t)+a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}T(t)=0.

Měl by dostat odpověď

T_{n}(t)=D_{n}\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}t\right), \quad D_{n}={\mathrm {const}}.

Nyní je vše připraveno napsat řešení původního problému:

u_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)T_{n}(t)=C_{n}\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\ vpravo)\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}t\right),\quad n=1,\;2, \;\ldots

V důsledku toho máme nekonečný počet konkrétních řešení rovnice. Všechna tato konkrétní řešení jsou lineárně nezávislá , to znamená, že lineární kombinace libovolného počtu řešení je rovna nule pouze tehdy, jsou-li všechny jejich koeficienty rovny nule. Proto je logické předpokládat, že sečtením všech partikulárních řešení od jednoty do nekonečna získáme obecné řešení původního problému. $n$

u(x,\;t)=\součet \limits _{{n=1}}^{\infty }u_{n}(x,\;t)=\součet \limits _{{n=1}} ^{\infty }C_{n}\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right)\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}t\right).

Zbývá určit hodnotu konstanty (v závislosti na ) z počáteční podmínky $C$ $n$

u(x,\;0)=\varphi (x).

Aby bylo možné určit hodnotu , je nutné rozšířit funkci do Fourierovy řady : $C_{n}$ $\varphi(x)$

{\begin{array}{l}\varphi (x)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{ l}}x\right),\\A_{n}={\dfrac {2}{l}}\displaystyle \int \limits _{0}^{l}\varphi (\xi )\sin \left( {\dfrac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi .\end{array}}

Dostaneme:

{\begin{array}{l}u(x,\;0)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }C_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x\right)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x \right),\\C_{n}=A_{n}={\dfrac {2}{l}}\displaystyle \int \limits _{0}^{l}\varphi (\xi )\sin \left ({\dfrac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi .\end{array}}

Odkud pochází obecné řešení:

u(x,\;t)=\součet \limits _{{n=1}}^{\infty }\left({\dfrac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l }\varphi (\xi )\sin \left({\dfrac {\pi n}{l))\xi \right)\,d\xi \right)\sin \left({\dfrac {\pi n} {l}}x\right)\exp \left(-a^{2}\left({\dfrac {\pi n}{l}}\right)^{2}t\right).

V průběhu matematické fyziky je dokázáno, že výsledná řada splňuje všechny podmínky tohoto problému, to znamená, že funkce je diferencovatelná (a řada konverguje rovnoměrně ), splňuje rovnici v oboru definice a je spojitá v body hranice této domény. $u(x,\;t)$

Rovnice nehomogenního tepla s homogenními okrajovými podmínkami

Zvažte následující problém pro nehomogenní rovnici :

{\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T\\u(x,\;0)=0;\quad 0\leqslant x\leqslant l\\\left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=0,\\ u(l,\;t)=0.\\\end{array}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T\end{array}}

Nechat

{\begin{array}{l}u_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)T_{n}(t),\\f_{n}(x,\;t)= X_{n}(x)F_{n}(t),\\X_{n}(x)=\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x\right).\end{ pole}}

Poté pomocí zřejmého vztahu přepíšeme původní rovnici jako: $X''_{n}(x)=-\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}X_{n}(x)$

{\begin{array}{l}X_{n}(x)T'_{n}(t)=-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{ 2}X_{n}(x)T_{n}(t)+X_{n}(x)F_{n}(t),\\T'_{n}(t)=-\left({\ dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}T_{n}(t)+F_{n}(t).\end{array}}

Vyřešme poslední lineární nehomogenní rovnici metodou variace konstanty . Nejprve najdeme obecné řešení homogenní lineární rovnice

{\begin{array}{l}T'_{n}(t)=-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}T_{n}( t),\\T_{n}(t)=D_{n}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right). \end{array}}

V obecném řešení nahradíme konstantu proměnnou a dosadíme ji do původní rovnice. $D_{n}$ $D_{n}(t)$

{\begin{array}{l}T_{n}(t)=D_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right )^{2}t\right),\\D'_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}t \right)-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right) ^{2}t\right)D_{n}(t)=-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}\exp \left(-\left({\ dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)D_{n}(t)+F_{n}(t),\\D'_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)=F_{n}(t),\\D_{n}(t)=\ styl zobrazení \int F_{n}(t)\exp \left(\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}t\right)\,dt+A_{n}, \\T_{n}(t)=A_{n}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}t\right)+\exp \ left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)\displaystyle \int F_{n}(t)\exp \left(\left({\ dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)\,dt.\end{array}}

Z počáteční podmínky dostaneme:

{\begin{array}{l}u_{n}(x,\;0)=X_{n}(x)T_{n}(0)=0,\\T_{n}(0)=0. \end{array}}

Vezmeme-li v úvahu podmínku pro , získáme $T$

T_{n}(t)=\int \limits _{0}^{t}\exp \left(-\left({\frac {\pi na}{l))\right)^{2 }(t-\tau )\right)F_{n}(\tau )\,d\tau .

Protože

f_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)F_{n}(t)=\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right)F_{ n} (t),

pak je samozřejmě koeficient Fourierovy řady a rovná se $F_{n}(t)$

F_{n}(t)={\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(\xi ,\;t)\sin \left({\frac {\pi n}{l}}\xi \vpravo)\,d\xi .

V důsledku toho je obecný vzorec:

u(x,\;t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\součet \limits _{n= 1}^{\infty }\left[\int \limits _{0}^{t}\exp \left(-\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2} (t-\tau )\right)\left\{{\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(\xi ,\;\tau )\sin \left( {\frac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi \right\}\,d\tau \right]\sin \left({\frac {\pi n}{l} }x\vpravo).

Obecný první okrajový problém

V mnoha případech je možné řešit rovnici nehomogenního tepla s nehomogenními okrajovými a počátečními podmínkami

{\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,\;t),\\u(x,\;0)=\varphi (x ),\\u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t)\end{array}}

pomocí výše popsaných metod a následujícího jednoduchého triku. Požadovanou funkci reprezentujeme jako součet:

{\begin{array}{l}u(x,\;t)={\tilda u}(x,\;t)+U(x,\;t),\\{\tilde u}(x, \;0)=u(x,\;0)-U(x,\;0)=\varphi (x)-U(x,\;0),\\{\tilde u}(0,\; t)=0,\\{\tilde u}(l,\;t)=0.\end{array}}

Pojďme najít funkci : $U(x,\;t)$

{\begin{array}{l}U(x,\;t)=Ax+b,\\U(0,\;t)=b=\mu _{1}(t),\\U(l ,\;t)=Al+\mu _{1}=\mu _{2}\Šipka doprava A={\dfrac {\mu _{2}(t)-\mu _{1}(t)}{l )),\\U(x,\;t)={\dfrac {\mu _{2}(t)-\mu _{1}(t)}{l}}x+\mu _{1}( t).\end{array}}

Původní problém je tedy redukován na následující:

{\begin{array}{l}{\tilde u}_{t}=a^{2}{\tilde u}_{{xx))+f(x,\;t)-{\dfrac {\ mu '_{2}(t)-\mu '_{1}(t)}{l}}x-\mu '_{1}(t),\\{\tilde u}(x,\; 0)=\varphi (x)-{\dfrac {\mu _{2}(0)-\mu _{1}(0)}{l))x-\mu _{1}(0),\ \{\tilde u}(0,\;t)=0,\\{\tilde u}(l,\;t)=0.\end{array))

Poté, co najdeme funkci , najdeme požadovanou funkci podle vzorce ${\tilde u} (x,\;t)$

u(x,\;t)={\tilde u}(x,\;t)+{\frac {\mu _{2}-\mu _{1}}{l}}x+\mu _{1 }.

Literatura

V ruštině

Petrovský IG Přednášky o parciálních diferenciálních rovnicích. - ch. IV, § 40. - Libovolné vydání.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Rovnice matematické fyziky. - ch. III. - Jakékoli vydání.

V angličtině

Cannon, John Rozier (1984), The One–Dimensional Heat Equation , sv. 23 (1. vyd.), Encyklopedie matematiky a jejích aplikací, Reading-Menlo Park-London-Don Mills-Sidney-Tokio/ Cambridge-New York-New Rochelle-Melbourne-Sidney: Addison-Wesley Publishing Company / Cambridge University Press , S. XXV+483, ISBN 978-0-521-30243-2 , < https://books.google.com/?id=XWSnBZxbz2oC&printsec=frontcover#v=onepage&q= > .

Crank, J.; Nicolson, P. & Hartree, D. R. (1947), Praktická metoda pro numerické hodnocení řešení parciálních diferenciálních rovnic typu tepelného vedení , Proceedings of the Cambridge Philosophical Society vol. 43: 50–67 , DOI 10.1017/S01020700
Einstein, Albert (1905), Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen , Ann. Phys. Leipzig 17 Vol. 322 (8): 549–560 , DOI 10.1002/andp.19053220806
Evans, L.C. (1998), Parciální diferenciální rovnice , Americká matematická společnost, ISBN 0-8218-0772-2
John, Fritz (1991), Parciální diferenciální rovnice (4. vydání), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
Wilmott, P.; Howison, S. & Dewynne, J. (1995), The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction , Cambridge University Press
Carslaw, H. S. & Jaeger, J. C. (1959), Vedení tepla v pevných látkách (2. vydání), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9
Thambynayagam, RKM (2011), The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers , McGraw-Hill Professional, ISBN 978-0-07-175184-1
Perona, P & Malik, J. (1990), Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence vol . 12 (7): 629–639
Unsworth, J. & Duarte, FJ (1979), Tepelná difúze v pevné sféře a Fourierova teorie , Am. J Phys. T. 47 (11): 891–893 , DOI 10.1119/1.11601

Odkazy

Odvození rovnice tepla
Lineární rovnice tepla : Konkrétní řešení a okrajové úlohy — z EqWorld

Poznámky

↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Rovnice matematické fyziky. - ch. III, § 1. - Libovolné vydání.
↑ 1 2 Petrovský I. G. Přednášky o parciálních diferenciálních rovnicích. - ch. IV, § 40. - Libovolné vydání.
↑ Pokud spolu s omezenými řešeními uvažujeme i neohraničená, neplatí princip maxima: omezenost řešení nevyplývá z ohraničenosti počátečních dat. V souladu s tím neexistuje žádné jedinečné řešení. Viz například A. Tychonoff, „Théorèmes d'unicité pour l'équation de la chaleur“, Mat. So, 42:2 (1935), 199–216
↑ Tvrzení o jedinečnosti a spojité závislosti řešení jsou jednoduchým důsledkem principu maxima.
↑ Erich Miersemann. Partielle Differenzialgleichungen, str. 156 . Získáno 11. června 2015. Archivováno z originálu dne 27. března 2016. (neurčitý)
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Rovnice matematické fyziky. - ch. III, § 2. - Libovolné vydání.

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata