Správně položený problém v matematice je aplikovaný problém, jehož matematické řešení existuje, je jedinečné a stabilní [1] . Odvozeno z definice Jacquese Hadamarda , podle níž matematické modely fyzikálních jevů musí mít následující vlastnosti:
Špatně položený problém je problém, který nemá žádnou z vlastností dobře položeného problému.
Příklady typických dobře položených problémů jsou Dirichletův problém pro Laplaceovu rovnici a rovnice difúze s danými počátečními podmínkami . Lze je považovat za „přirozené“ problémy v tom smyslu, že existují fyzikální procesy popsané řešeními těchto problémů. Na druhou stranu inverzní problém pro difúzní rovnici - nalezení předchozího rozložení teplot z konečných dat - není dobře položen, protože jeho řešení je velmi citlivé na změny konečných dat.
Inverzní problémy se velmi často ukáží jako špatně postavené . Takové spojité problémy se často musí diskretizovat, aby bylo možné získat numerické řešení. I když z hlediska funkcionální analýzy jsou takové problémy obvykle spojité, mohou být vystaveny nestabilitě numerického řešení při výpočtu s konečnou přesností nebo kvůli chybám v datech. Špatně položené problémy mohou nastat při zpracování geofyzikálních , geologických , astronomických pozorování, při řešení problémů optimálního řízení a plánování.
I když je problém dobře položený, může být stále špatně podmíněný , to znamená, že malá chyba v počátečních datech může vést k mnohem větším chybám v řešeních. Špatně podmíněné úkoly se vyznačují velkým množstvím podmíněnosti .
Pokud je problém správně uveden, je velká šance na jeho numerické řešení pomocí stabilního algoritmu . Pokud je úkol nastaven špatně, je nutné změnit jeho formulaci; obvykle jsou za tímto účelem zavedeny některé další předpoklady (například předpoklad, že řešení je hladké). Tento postup se nazývá regularizace a Tikhonovova regularizace je nejrozšířenější , použitelná na lineární špatně položené problémy.