Dirichletův problém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. května 2019; kontroly vyžadují 5 úprav .

Dirichletův problém je typ problému, který se objevuje při řešení parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu . Pojmenováno po Peteru Gustavu Dirichletovi .

Prohlášení o problému

Dirichletův problém je položen následovně: nechť rovnici $\Omega$

\Delta u=0.

kde je Laplaceův operátor . S okrajovými podmínkami : $\Delta$

{\Bigl .}u{\Bigr |}_{\partial \Omega }=g(\mathbf {x} ).

Takový problém se nazývá vnitřní Dirichletův problém nebo první okrajový problém . Samotné podmínky se nazývají Dirichletovy podmínky nebo první okrajové podmínky . Druhý název lze vyložit šířeji, označující jakýkoli problém řešení diferenciální rovnice, kdy je známa hodnota požadované funkce na celé hranici oblasti. V případě, že je potřeba najít hodnoty funkce mimo oblast , problém se nazývá externí Dirichletův problém . $\Omega$

Související věty

Teorém.
Řešení Dirichletova problému, interního nebo externího, je jedinečné [1]

Analytický roztok

Analyticky lze Dirichletův problém vyřešit pomocí teorie potenciálu . Řešení homogenní rovnice lze znázornit jako [1] :

u(\mathbf {y} )=\int _{\partial \Omega }{g(\mathbf {x} ){\frac {\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ) }{\částečné n}}dx},

kde je Greenova funkce pro Laplaceův operátor v doméně . $G(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\Omega$

Numerické řešení

Konstrukce analytického výrazu pro Greenovu funkci v komplexních doménách může být obtížná, takže k řešení takových problémů je třeba použít numerické metody. Každá metoda má své vlastní zvláštnosti zohlednění prvních okrajových podmínek:

v metodě konečných diferencí pro uzly na hranici oblasti se zapíše rovnice , kde je číslo odpovídajícího uzlu; $\mathbf {q} _{i}=g(\mathbf {x} _{i})$ $i$
v metodě konečných prvků se takové okrajové podmínky nazývají hlavní okrajové podmínky a jsou brány v úvahu ve fázi sestavování matice; pro všechny váhy spojené s hranicí jsou rovnice nahrazeny rovnicemi ve tvaru ; poté se provede několik kroků Gaussovy metody tak, aby výsledná matice byla symetrická [2] . $\mathbf {q} _{i}=g(\mathbf {x} _{i})$

Fyzická interpretace

Fyzikální interpretace Dirichletových podmínek je chování požadované veličiny na hranici:

teplota, je-li uvažována rovnice vedení tepla ;
rychlostní pole, pokud je uvažována Stokesova rovnice ;
magnetické nebo elektrické pole, uvažujeme-li nějakou rovnici získanou z Maxwellových rovnic (pak se okrajové podmínky nazývají magnetické , resp . elektrické okrajové podmínky ).

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 M. M. Smirnov. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu. - Moskva: Nauka, 1964 .
↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Peršová M.G. Metoda konečných prvků pro skalární a vektorové problémy. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata