Třetí okrajový problém

Robinův problém , Newtonův problém , třetí okrajový problém , problém impedančního typu - druh okrajového problému pro diferenciální rovnice . Pojmenováno po francouzském matematikovi Victoru Robinovi a britském fyzikovi Isaacu Newtonovi .

Prohlášení o problému

Ve své nejobecnější podobě je problém položen následovně: vyřešte parciální diferenciální rovnici tvaru

Lu=f(\mathbf {x} )

v oblasti

\Omega

Za okrajových podmínek následujícího tvaru:

\left.\left(au+b{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}\right)\right|_{\partial \Omega }=g(\mathbf {x } )

Taková úloha se nazývá třetí okrajový problém .

Fyzická interpretace

Protože třetí hranice definuje spojení mezi požadovanou funkcí a její normální derivací na hranici oblasti, pak se v závislosti na řešeném problému používají různé způsoby specifikace a interpretace třetí hranice:

Pro rovnici vedení tepla jsou uvedeny ve tvaru - přenos tepla podle Newton-Richmannova zákona [1] . $-\lambda {\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}=\beta (u-u_{\beta }(\mathbf {x} ))$
Pro skalární rovnice získané z Maxwellových rovnic je , uvedeno v podobném tvaru (pokud je rovnice relativní k intenzitě elektrického pole ) a znamená vztah mezi elektrickým a magnetickým polem na hranici oblasti. $-\mu ^{-1}{\frac {\partial E}{\partial \mathbf {n} }}=\beta (E-u_{\beta }(\mathbf {x} ))$
Pro vektorové rovnice získané z Maxwellových rovnic lze zapsat třetí okrajové rovnice s přihlédnutím ke spojení následovně [2] : $\mathbf {H} =\mu ^{-1}\nabla \times \mathbf {E}$

-\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} =Q(\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} )+\mathbf {g} =0

Analytický roztok

Analytické řešení třetího okrajového problému lze nalézt pomocí teorie potenciálu .

Numerické řešení

Každá numerická metoda pro řešení diferenciálních rovnic má své vlastní rysy zohlednění třetí hranice, například:

V metodě konečných rozdílů se sestrojí diferenční schéma formuláře , kde je diferenční operátor a výsledná rovnice se přidá do systému. $au_{i}+Ru_{i}=g(\mathbf {x} _{i})$ $R$
V metodě konečných prvků jsou třetí hraniční přirozené a berou se v úvahu na úrovni variační formulace, získávají se přídavky do matice a na pravou stranu [1] :

{\displaystyle \int _{\partial \Omega }{\beta \varphi _{i}(\mathbf {x} )\varphi _{j}(\mathbf {x} )dx))

je přidání k -tému, -tému prvku matice;

i

j

{\displaystyle \int _{\partial \Omega }{\beta u_{\beta }(\mathbf {x} )\varphi _{i}(\mathbf {x} )dx))

je přidání k i-tému prvku pravé strany.

i

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Peršová M.G. Metoda konečných prvků pro skalární a vektorové problémy. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .
↑ T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk. Řešení Maxwellových rovnic pomocí ultra slabé variační formulace . - 2006. - S. 46 .

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata