Difúzní rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. července 2017; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Rovnice difúze je zvláštní forma parciální diferenciální rovnice . Je nestacionární a stacionární.

Ve smyslu výkladu při řešení difúzní rovnice mluvíme o zjištění závislosti koncentrace látky (nebo jiných objektů) na prostorových souřadnicích a čase a je dán koeficient (v obecném případě i v závislosti na prostorové souřadnice a čas), charakterizující propustnost média pro difúzi. Při řešení rovnice tepla mluvíme o hledání závislosti teploty média na prostorových souřadnicích a čase a udává se tepelná kapacita a tepelná vodivost média (také obecně nehomogenní).

Fyzikálně se v obou případech předpokládá absence či zanedbání makroskopických toků hmoty. Toto je fyzikální rámec pro použitelnost těchto rovnic. Také rovnice difúze a vedení tepla, představující spojitou mez těchto problémů (tj. ne více než určitá aproximace), obecně nepopisují statistické fluktuace a procesy, které se co do měřítka blíží délce a střední volné dráze, a také se velmi odchylují. silně od předpokládaného přesného řešení problému, pokud jde o korelace na vzdálenosti srovnatelné (a velké) se vzdálenostmi, které urazí zvuk (nebo částice bez středního odporu při jejich charakteristických rychlostech) v daném médiu za uvažovanou dobu.

V naprosté většině případů to okamžitě znamená, že rovnice difúze a vedení tepla jsou daleko od těch oblastí, kde nabývají na významu kvantové efekty nebo konečnost rychlosti světla, tedy v drtivé většině případů nejen v jejich závěr, ale také v zásadě omezený na oblast klasické newtonovské fyziky.

V problémech difúze nebo vedení tepla v tekutinách a plynech v pohybu se místo difúzní rovnice používá přenosová rovnice , která rozšiřuje difúzní rovnici pro případ, kdy je zanedbání makroskopického pohybu nepřijatelné.

Nejbližší formální a v mnoha ohledech smysluplná analogie rovnice difúze je Schrödingerova rovnice , která se od rovnice difuze liší o imaginární jednotkový faktor před časovou derivací. Mnoho vět o řešení Schrödingerovy rovnice a dokonce i některé typy formálního zápisu jejích řešení jsou přímo analogické s odpovídajícími větami o difuzní rovnici a jejích řešeních, ale kvalitativně se jejich řešení velmi liší.

Celkový pohled

Rovnice se obvykle píše takto:

$\frac{\partial\varphi(\mathbf{r},t)}{\částečné t} = \nabla \cdot \big[ D(\varphi,\mathbf{r}) \ \nabla\varphi(\mathbf{ r},t) \big],$

kde φ( r , t ) je hustota difundující látky v bodě r a v čase t a D (φ, r ) je zobecněný difúzní koeficient pro hustotu φ v bodě r ; ∇ je operátor nabla . Pokud difúzní koeficient závisí na hustotě, je rovnice nelineární, jinak je lineární.

Pokud je D symetrický pozitivně-definitivní operátor , rovnice popisuje anizotropní difúzi:

${\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t))=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{ 3}{\frac {\partial }{\partial x_{i))}\left[D_{ij}(\varphi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} , t)}{\částečné x_{j))}\vpravo].$

Pokud je D konstantní, pak se rovnice redukuje na lineární diferenciální rovnici:

{\frac {\partial \phi ({\mathbf {r)),t)}{\částečné t))=D\nabla ^{2}\phi ({\mathbf {r)),t),

také nazývaná tepelná rovnice .

Příběh původu

Parciální diferenciální rovnici původně vyvinul Adolf Fick v roce 1855. [jeden]

Nestacionární rovnice

Nestacionární difúzní rovnice je klasifikována jako parabolická diferenciální rovnice . Popisuje šíření rozpuštěné látky v důsledku difúze nebo redistribuce tělesné teploty v důsledku vedení tepla .

Jednorozměrný případ

V případě jednorozměrného difúzního procesu s koeficientem difúze (tepelné vodivosti) má rovnice tvar: $D$

{\frac {\partial }{\partial t}}c(x,\;t)={\frac {\partial }{\partial x}}D{\frac {\partial }{\partial x}}{ c(x,\;t)}+f(x,\;t).

Když je konstantní , má tvar: $D$

{\frac {\částečné }{\částečné t}}c(x,\;t)=D{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné x^{2}}}{c(x,\ ;t)}+f(x,\;t),

kde je koncentrace difundující látky, a je funkce popisující zdroje látky (tepla). $c(x,\;t)$ $f(x,\;t)$

3D pouzdro

V trojrozměrném případě má rovnice tvar:

{\frac {\partial }{\partial t))c({\vec {r)),\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r)),\;t ))+f({\vec {r)),\;t),

kde je operátor nabla a je skalární součin. Může být také zapsán jako $\nabla =(\částečné _{x},\;\částečné _{y},\;\částečné _{z})$ $(\;,\;)$

\partial _{t}c={\mathbf {div}}\,(D\,{\mathbf {grad}}\,c)+f,

a neustále má tvar: $D$

{\frac {\partial }{\partial t}}c({\vec {r)),\;t)=D\Delta c({\vec {r)),\;t)+f({\ vec{r}},\;t),

kde je Laplaceův operátor . $\Delta =\nabla ^{2}={\frac {\částečné ^{2}}{\částečné x^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné y^{2 ))}+{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné z^{2}}}$

n -rozměrný případ

$n$ -dimenzionální případ - přímé zobecnění výše uvedeného, pouze operátor nabla, gradient a divergence, stejně jako Laplaceův operátor, by měly být chápány jako -rozměrné verze odpovídajících operátorů: $n$

\nabla =(\částečné _{1},\;\částečné _{2},\;\ldots ,\;\částečné _{n}),

\Delta =\nabla ^{2}=\částečné _{1}^{2}+\částečné _{2}^{2}+\ldots +\částečné _{n}^{2}.

To platí i pro dvourozměrný případ . $n=2$

Motivace

Difúzní rovnice obvykle vychází z empirické (nebo nějak teoreticky získané) rovnice, která prosazuje úměrnost toku hmoty (nebo tepelné energie) k rozdílu koncentrací (teplot) oblastí oddělených tenkou vrstvou hmoty. daná propustnost charakterizovaná koeficientem difúze (nebo tepelné vodivosti):

\Phi=-\varkappa\frac{\částečné c}{\částečné x}

(jednorozměrný případ),

\mathbf j=-\varkappa\nabla c

(pro jakýkoli rozměr),

v kombinaci s rovnicí kontinuity vyjadřující zachování hmoty (nebo energie):

{\frac {\částečné c}{\částečné t))+{\frac {\částečné \Phi }{\částečné x))=0

(jednorozměrný případ),

{\frac {\partial c}{\partial t))+{\mathrm {div))\,{\mathbf j}=0

(pro jakýkoli rozměr),

zohlednění tepelné kapacity v případě tepelné rovnice (teplota = hustota energie / měrná tepelná kapacita).

Zde je vynechán zdroj hmoty (energie) na pravé straně, ale samozřejmě jej tam lze snadno umístit, pokud je v problému přítok (odtok) hmoty (energie).
Rovněž se předpokládá, že na proudění difundující látky (nečistoty) nepůsobí žádné vnější síly včetně gravitace (pasivní nečistota).

Navíc přirozeně vzniká jako spojitá limita podobné diferenční rovnice, která zase vzniká při zvažování problému náhodné procházky po diskrétní mřížce (jednorozměrné nebo -rozměrné). (Toto je nejjednodušší model; ve složitějších modelech náhodné procházky vzniká difúzní rovnice také ve spojité limitě.) Nejjednodušší interpretací funkce je v tomto případě počet (nebo koncentrace) částic v daném bodě (nebo v jeho blízkosti) a každá částice se pohybuje nezávisle na ostatních bez paměti (setrvačnosti) své minulosti (v poněkud složitějším pouzdro, s časově omezenou pamětí). $n$ $C$

Řešení

V jednorozměrném případě je fundamentální řešení homogenní rovnice s konstantou - nezávislá na a - (za počáteční podmínky vyjádřené delta funkcí a okrajovou podmínkou ) $X$ $t$ $D$ $c_{f}(x,\;0)=\delta(x)$ $c_{f}(\infty ,\;t)=0$

c_{f}(x,\;t)={\sqrt {{\frac {1}{4\pi Dt))))\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4Dt} }\že jo).

V tomto případě to lze interpretovat jako hustotu pravděpodobnosti, že jedna částice, která byla v počátečním bodě v čase v počátečním bodě, se po čase přesune do bodu se souřadnicí . Totéž - až do faktoru rovného počtu difundujících částic - platí pro jejich koncentraci za předpokladu, že vzájemná interakce difundujících částic chybí nebo je zanedbána. Potom (za takových počátečních podmínek) střední čtverec odstranění difundujících částic (nebo odpovídající charakteristika rozložení teploty) z počátečního bodu $c_{f}(x,\;t)$ $t$ $X$

\langle x^{2}\rangle =\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}x^{2}c_{f}(x,\;t)\,dx= 2Dt.

V případě libovolného počátečního rozdělení je obecné řešení difúzní rovnice reprezentováno v integrálním tvaru jako konvoluce : $c(x,\;0)$

c(x,\;t)=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}c(x',\;0)c_{f}(xx',\;t) \,dx'=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}c(x',\;0){\frac {1}{{\sqrt {4\pi Dt} }}}\exp \left(-{\frac {(xx')^{2}}{4Dt}}\right)\,dx'.

Fyzické poznámky

Vzhledem k tomu, že aproximace realizovaná rovnicemi difúze a vedení tepla je zásadně omezena na oblast nízkých rychlostí a makroskopických měřítek (viz výše), není divu, že jejich fundamentální řešení se na velké vzdálenosti nechová příliš realisticky, formálně umožňuje nekonečné šíření akce v prostoru v konečném čase; je třeba poznamenat, že velikost tohoto efektu se vzdáleností tak rychle klesá, že tento efekt je obecně v zásadě nepozorovatelný (hovoříme například o koncentracích mnohem menších než jednotkách).

Pokud se však bavíme o situacích, kdy lze takto malé koncentrace experimentálně měřit, a to je pro nás zásadní, musíme použít alespoň ne diferenciální, ale difúzní rovnici a lepší, podrobnější mikroskopické fyzikální a statistické modely abychom v těchto případech získali adekvátnější zobrazení reality.

Stacionární rovnice

V případě, že je problém nastaven na nalezení ustáleného rozložení hustoty nebo teploty (například v případě, kdy rozložení zdrojů nezávisí na čase), jsou časově závislé členy rovnice vyhozeny z ne -stacionární rovnice. Poté se získá stacionární rovnice vedení tepla , která patří do třídy eliptických rovnic . Jeho celkový vzhled:

-(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r))))=f({\vec {r)))).

Když , nezávisí na , rovnice stacionární difúze se stane Poissonovou rovnicí (nehomogenní) nebo Laplaceovou rovnicí (homogenní, to znamená pro ): $D$ ${\vec {r))$ $f=0$

\Delta c({\vec {r)))=-{\frac {f({\vec {r)))}{D)),

\Delta c({\vec {r)))=0.

Výpis okrajových úloh

Problém s počátečními podmínkami ( Cauchyho problém ) o rozložení teploty na nekonečné čáře

Uvažujeme-li proces vedení tepla ve velmi dlouhé tyči, pak po krátkou dobu prakticky chybí vliv teplot na hranicích a teplota v uvažovaném úseku závisí pouze na počátečním rozložení teplot.

Najděte řešení rovnice tepla v oblasti a , splňující podmínku , kde je daná funkce. $-\infty \leqslant x\leqslant +\infty$ $t\geqslant t_{0}$ $u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty <x<+\infty )$ $\varphi(x)$

První okrajová úloha pro polonekonečnou tyč

Pokud se úsek tyče, který nás zajímá, nachází poblíž jednoho konce a je výrazně vzdálen od druhého, pak se dostáváme k okrajovému problému, který zohledňuje vliv pouze jedné z okrajových podmínek.

Najděte řešení rovnice tepla v oblasti a , splňující podmínky $-\infty \leqslant x\leqslant +\infty$ $t\geqslant t_{0}$

\left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0<x<\infty )\\u(0,\;t )=\mu (t),\quad (t\geqslant t_{0})\end{array}}\right.

kde a jsou dány funkce. $\varphi(x)$ $\mu (t)$

Okrajový problém bez počátečních podmínek

Pokud je časový okamžik, který nás zajímá, dostatečně vzdálen od počátečního, pak má smysl počáteční podmínky zanedbat, protože jejich vliv na proces časem slábne. Dostáváme se tedy k problému, ve kterém jsou dány okrajové podmínky a žádné počáteční nejsou.

Najděte řešení rovnice tepla v oblasti a , splňující podmínky $0\leqslant x\leqslant l$ $-\infty<t$

\left\{{\begin{array}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}( t),\end{array}}\right.

kde a jsou dány funkce. $\mu _{1}(t)$ $\mu _{2}(t)$

Problémy s hraniční hodnotou pro omezený prut

Zvažte následující okrajový problém:

u_{t}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T

je tepelná rovnice.

Jestliže , pak se taková rovnice nazývá homogenní , jinak - nehomogenní . $f(x,\;t)=0$

u(x,\;0)=\varphi (x),\quad 0\leqslant x\leqslant l

je počáteční stav v okamžiku času , teplota v bodě je dána funkcí .

t=0

X

\varphi(x)

\left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t ),\end{array}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T

— okrajové podmínky. Funkce a nastavení hodnoty teploty na hraničních bodech 0 a kdykoli .

\mu _{1}(t)

\mu _{2}(t)

l

t

V závislosti na druhu okrajových podmínek lze úlohy pro rovnici tepla rozdělit do tří typů. Zvažte obecný případ ( ). $\alpha _{i}^{2}+\beta _{i}^{2}\neq 0,\;(i=1,\;2)$

{\begin{array}{l}\alpha _{1}u_{x}(0,\;t)+\beta _{1}u(0,\;t)=\mu _{1}(t ),\\\alpha _{2}u_{x}(l,\;t)+\beta _{2}u(l,\;t)=\mu _{2}(t).\end{ pole}}

Jestliže , pak se taková podmínka nazývá podmínka prvního druhu , jestliže - druhého druhu , a jestliže a jsou nenulové, pak podmínka třetího druhu . Odtud dostáváme úlohy pro rovnici tepla — první, druhou a třetí okrajovou úlohu. $\alpha _{i}=0,\;(i=1,\;2)$ $\beta _{i}=0,\;(i=1,\;2)$ $\alpha_i$ $\beta _{i}$

Princip maxima

Nechť funkci v prostoru splňuje rovnici homogenního tepla a je ohraničená oblast. Princip maxima říká, že funkce může nabývat extrémních hodnot buď v počátečním čase, nebo na hranici oblasti . $u(x,\;t)$ $D\times [0,\;T],\;D\in \mathbb{R} ^{n}$ ${\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=0$ $D$ $u(x,\;t)$ $D$

Poznámky

↑ Fick A. , Ueber Diffusion, Pogg. Ann. Phys. Chem - 1855. - 170 (4. Reihe 94). - str. 59-86.

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata