Vortexová rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. října 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Vírová rovnice (rovnice vývoje víru) je parciální diferenciální rovnice popisující vývoj v prostoru a čase víru rychlosti proudění tekutiny nebo plynu . Rychlostním vírem ( vorticitou ) se rozumí otáčkový rotor . Vírová rovnice se používá v hydrodynamice , geofyzikální hydrodynamice , astrofyzikální hydrodynamice a numerické předpovědi počasí . ${\omega \equiv \operatorname {rot} ~v}\equiv \nabla \times v$

Vírová rovnice pro ideální tekutinu

Kapalina (nebo plyn), ve které jsou účinky spojené s vnitřním třením ( viskozitou ) a přenosem tepla zanedbatelné, se nazývá „ ideální “ . Dynamika ideální tekutiny se řídí Eulerovou rovnicí [1] (1755). Pokud tuto rovnici zapíšeme za nepřítomnosti vnějších sil ve tvaru Gromeka-Lamb

\ {\frac {\partial v}{\partial t}}-[v\times [\nabla \times v]]=-{\frac {\nabla p}{\rho }}-\nabla \ vlevo({\frac {v^{2}}{2}}\right),

(jeden)

kde je vektor rychlosti, je tlak, je hustota, přijměte podmínku nestlačitelnosti a aplikujte operaci na obě strany této rovnice s přihlédnutím ke známým vlastnostem tohoto operátoru, pak získáme vírovou rovnici pro ideální nestlačitelnou tekutina $\proti$ $\p$ ${\displaystyle \ {\rho ))$ $\ \rho =\operatorname {const} ,(\nabla \cdot v)=0$ $\ \operatorname {rot}$

${\begin{aligned}{\frac {\partial \omega }{\partial t))+(v\cdot \nabla )\omega -(\omega \cdot \nabla )v=0\end{aligned }}.$ (2)

Integrální tvar této rovnice odpovídá Helmholtzově-Kelvinově větě o zachování cirkulace rychlosti v barotropní kapalině [2] [3] . Rovnice (2) se nazývá Helmholtzova rovnice .

S irotačním pohybem tekutiny (také nazývaným „potenciální“) . Z rovnice (2) vyplývá, že pokud je v počátečním okamžiku pohyb irrotační, pak tomu tak zůstane i v budoucnu. $\ \omega =0$

Vírová rovnice pro viskózní nestlačitelnou tekutinu

Pokud v rovnici (1) vezmeme v úvahu i sílu vnitřního tření ( viskozitu ), pak místo rovnice (2) budeme mít

${\begin{aligned}{\frac {\partial \omega }{\partial t))+(v\cdot \nabla )\omega -(\omega \cdot \nabla )v=\nu \Delta \ omega \end{aligned}},$ (3)

kde je kinematická viskozita [4] . $\nu$

Vírová rovnice pro baroklinickou nevazkou tekutinu

Podmínka nepřítomnosti přenosu tepla (tedy adiabaticity ) proudění nestlačitelné nevazké tekutiny je ekvivalentní podmínce stálosti entropie (tj. isentropie ) [1] . Pokud se toto omezení opustí, bude rovnice (2) nahrazena obecnější

${\begin{aligned}{\frac {\partial \omega }{\partial t))+(v\cdot \nabla )\omega \ -(\omega \cdot \nabla )v+\omega (\nabla \cdot v)={\frac {1}{\rho ^{2))}\left[\nabla \rho \times \nabla p\right]\end{aligned)),$ (čtyři)

s přihlédnutím k baroklinickému efektu . Pravá strana této rovnice je nulová, pokud , to znamená, pokud je izopyknální plocha rovnoběžná s izobarickou. V opačném případě je vektorový součin hustotního gradientu a tlakového gradientu nenulový, což vede ke změně vířivosti vlivem barokliničnosti. Vliv baroclinicity na evoluci víru prokázal Wilhelm Bjerknes [5] [6] . Tato rovnice odhalila důležitou roli baroklinických efektů při vzniku a vývoji vírů v atmosféře a oceánu. $\ \nabla \rho \sim \nabla p$

Friedmannova rovnice

( Friedmannova rovnice existuje také v kosmologii. Viz Friedmannova rovnice ).

Obecně platí, že pohyb newtonské tekutiny se řídí Navier-Stokesovými rovnicemi . Na rozdíl od výše uvedeného tvaru Eulerovy rovnice pro nestlačitelnou tekutinu bere v úvahu účinky stlačitelnosti a vnitřního tření. Aplikováním diferenciálního operátoru na Navier-Stokesovu rovnici získáme rovnici A. A. Fridmana [7] [8] . $\ \operatorname {rot}$

$\ \operatorname {helm} \omega ={\frac {1}{\rho ^{2))}\left[\nabla \rho \times \nabla p\right]+\left[\nabla \times \left({\frac {f}{\rho }}\right)\right],$ (5)

kde je Helmholtzův diferenciální operátor , je hustota síly molekulární viskozity. $\ \operatorname {helm} \omega \equiv {\frac {\partial \omega }{\partial t))+(v\cdot \nabla )\omega -(\omega \cdot \nabla )v+\omega (\nabla \cdot v)$ $\F$

Hydrodynamický význam Helmholtzianu spočívá v tom, že rovnost znamená „zamrznutí“ vektorového pole do pohybující se tekutiny, chápané v tom smyslu, že každá vektorová čára tohoto pole (tj. přímka tečna, ke které má v libovolném bodě směr vektor v tomto bodě) je zachován , to znamená, že se vždy skládá ze stejných částic kapaliny a intenzita vírových trubic (jejichž stěny se skládají z vírových čar), to znamená, že vektor protéká libovolnými sekcemi těchto trubic , nemění se s časem [9] . $\ \operatorname {helm} \omega =0$ $\ \omega$ $\ \omega$ $\ \int \limits _{\sigma } (\omega \cdot d\sigma )$ $\ \omega$ $\ \sigma$

Vliv gravitace nemění tvar rovnic (2) - (5), protože tato síla je potenciální.

Friedmannova rovnice je základní rovnicí geofyzikální hydrodynamiky. Vychází z teorie numerické předpovědi počasí .

Vírová rovnice pro turbulentní tekutinu

Friedmannova rovnice je také aplikována na turbulentní proudění. Ale v tomto případě je třeba všechny veličiny v něm obsažené chápat jako zprůměrované (ve smyslu O. Reynoldse ). Je však třeba mít na paměti, že takové zobecnění zde není dostatečně přesné. Jde o to, že při odvozování rovnice (5) jsme nevzali v úvahu (kvůli relativní malosti) turbulentní vektor hustoty hybnosti , kde nad čárou je znaménko průměrování a pomlčka je odchylka od průměru. Tato okolnost se projevila v tom, že Friedmannova rovnice se ukázala jako neschopná vysvětlit jev indexového cyklu ( vaskulace ), při kterém dochází k reverzibilní barotropní výměně energie a momentu hybnosti mezi uspořádanými a turbulentními pohyby. ${\displaystyle \ S={\overline {\rho ^{'}v^{'))))$

Označme — „vektor rychlosti turbulentního přenosu“. Samozřejmě, nicméně zanedbávání turbulentního transportu v problémech geofyzikální a astrofyzikální hydrodynamiky vede ke ztrátě efektů, které se projevují pomalými, ale rozvíjejícími se procesy. Evoluční rovnici víru bez takového omezení navrhl A. M. Kriegel [10] [11] : $\ c=S/\rho$ $\ \left|c\right|\ll \left|v\right|$

$\ \operatorname {helm} \psi =\nabla \times \left[c\times \omega +c\left(\nabla \cdot c\right)+F\right]+{\frac {1}{ \rho ^{2}}}\left[\nabla \rho \times \left(\nabla p-\rho \nabla c^{2}\right)\right],$ (6)

kde je „ pseudovektor víru celkové rychlosti“, je hustota celkové třecí síly (molekulární a turbulentní). Pokud se z této rovnice vynechají vlivy barokliničnosti a viskozity, pak pravá strana zůstane, obecně řečeno, jiná než nula. V tomto případě je snadné ukázat, že Helmholtz - Kelvinův teorém zachování rychlosti cirkulace neplatí , přestože proudění je barotropní . Tento závěr je důsledkem nepotencionality " hustoty turbulentní Coriolisovy síly " . V rovnici (6) se objevil další mechanismus, který ovlivňuje vývoj víru a otevírá cestu k pochopení podstaty indexového cyklu . $\ \psi \equiv \nabla \times \left(v+c\right)$ $\ \rho F$ $\ 2\rho \left[c\times \omega \right]$

Literatura

↑ 1 2 Landau L. D. , Lifshits E. M. Hydrodynamika (Theoretical Physics. Vol. VI).—M.: Nauka.—1988.—736 s.— ISBN 5-02-013850-9 .
↑ Helmholtz H. Uber integrationle der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbewegungen entsprechen // Crelle J.—1858.— 55 .
↑ Thomson W. On vortex motion // Trans. Royi. soc. Edinburgh.—1869. — 25. —Pt.1.—str.217—260.
↑ Batchelor J. Úvod do dynamiky tekutin. M.: Mir.-1973.-760 s.
↑ Bjerknes V. O dynamice kruhového víru: s aplikacemi v atmosféře a atmosférickém víru a pohybu vln // Geofysiske publikationer.—1921.— 2. —No 4.—88s.
↑ Bjerknes V. , Bjerknes J., Solberg H., Bergeron T. Physicalische hydrodynamik.-Berlin.-1933.
↑ Fridman A. A. Teorie pohybu stlačitelné tekutiny a její aplikace na pohyb atmosféry // Geofyzikální sbírka . - 1927. - 5 . - S. 16-56 (Fridman A. A. Selected works. M .: Nauka. - 1966 – S.178-226).
↑ Fridman A. A. Zkušenosti v hydromechanice stlačitelných tekutin Archivní kopie ze dne 3. března 2016 na Wayback Machine . L.-M.: ONTI.-1934.-370 str.
↑ Monin A.S. Teoretické základy geofyzikální hydrodynamiky.- L .: Gidrometeoizdat.-1988.- S.17.
↑ Kriegel A. M. O nezachování cirkulace rychlosti v turbulentní rotující tekutině // Letters to Journal of Technical Physics —1981.
↑ Krigel AM Vortex evolution // Geophys. Astrophys. Dynamika tekutin.—1983. — 24. —str.213—223.

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata