Axiální vektor

Axiální vektor nebo pseudovektor je veličina, jejíž složky se při otáčení souřadnicového systému transformují jako složky běžného (skutečného) vektoru , ale mění své znaménko opačné, než jak se složky vektoru chovají při jakékoli inverzi (převrácení znaménka) souřadnic, které mění orientaci základny (v trojrozměrném prostoru zprava doleva nebo naopak; takovou transformací může být např. zrcadlový obraz, v nejjednodušším případě zrcadlový obraz jedné souřadnicové osy). [1] To znamená, že pseudovektor obrátí směr při zachování absolutní hodnoty (vynásobené "-1") pro každou takovou inverzi souřadnicového systému.

Graficky znázorněný pseudovektor s takovou změnou souřadnic mění směr na opačný.

Aby se zdůraznil rozdíl mezi skutečným vektorem, jehož souřadnice jsou vždy transformovány stejným způsobem jako souřadnice vektoru posunutí, nazývá se skutečný vektor skutečný nebo polární vektor .

Nejjednodušším příkladem axiálního vektoru v trojrozměrném prostoru je křížový součin dvou polárních vektorů, např. v mechanice  - moment impulsu a moment síly , ve čtyřrozměrném prostoru  - axiální proud .

V rámci externí algebry je pseudovektor reprezentován (n-1)-vektorem v n-rozměrném prostoru. Geometricky jednoduchý (n-1)-vektor je orientovaný podprostor kolmý k nějaké ose. V trojrozměrném prostoru je tedy pseudovektor bivektor , který zase může být reprezentován jako orientovaná rovina.

Základní informace

Při transformaci souřadnic se souřadnice osového vektoru násobí dodatečným faktorem (-1) ve srovnání se souřadnicovou transformací skutečných (jinak nazývaných polárních) vektorů, pokud základna změní orientaci (například pokud je základna vystavena zrcadlení odraz). Axiální vektor, stejně jako pseudoskalární , je tedy speciálním případem pseudotensoru . Graficky znázorněný pseudovektor s takovou změnou souřadnic mění směr na opačný.

• V geometrii může být nejběžnějším použitím pseudovektoru reprezentovat s jeho pomocí trojrozměrnou nekonečně malou rotaci . Pravděpodobně (?), termín axiální vektor pochází právě odtud, protože pseudovektor určuje osu rotace (její směr), ale pouze do faktoru (±1), se směrem rotace je spojena podmíněná libovolná volba správného základu z hlediska matematiky. [2] Na rozdíl od skutečného (polárního) vektoru, který představuje směrovaný segment (neboli paralelní translaci ) zcela určitě a jednoznačně daný počátečním a koncovým bodem.
• V mechanice - v kinematice - v přímé souvislosti s výše zmíněnou reprezentací infinitezimální rotace - je nejčastější pseudovektorovou veličinou vektor úhlové rychlosti . Skutečný vektor rychlosti se získá z pseudovektoru úhlové rychlosti operací pseudovektoru . Ve statice a dynamice jsou to především výše zmíněný moment síly a moment impulsu.

Obvyklým způsobem generování pseudovektorů jsou pseudovektorové operace, nejběžnějším, ne-li jediným používaným v trojrozměrném případě, je vektorový součin (protože zahrnuje Levi-Civita pseudotensor v obvyklém souřadnicovém zápisu ) a operace obsahující vektorový součin (například rotor atd.) n.) [3] nebo jejich lichý počet. Operace pseudovektoru generuje pseudovektory a pseudoskaláry ze skutečných vektorů a skalárů.

Takže, když násobíme skutečný vektor skutečným vektorem, získá se skutečný skalár ve skalárním součinu a pseudovektor ve vektorovém součinu. Při násobení skutečného vektoru pseudovektorem se ve skalárním součinu získá pseudoskalární a ve vektorovém součinu pravý vektor. Při násobení dvou pseudovektorů se získá skutečný skalár ve skalárním součinu a pseudovektor ve vektorovém součinu.

Ve fyzikálních teoriích, s výjimkou těch, ve kterých je explicitní a v zásadě pozorovatelné porušení zrcadlové symetrie prostoru, mohou být pseudovektory přítomny v mezihodnotách, ale v konečných, pozorovatelných, faktory (-1) v případě zrcadlových odrazů souřadnic musí být zničeny, vyskytující se v součinech sudého počtu časů (sudý počet pseudovektorů + pseudoskalárních + dalších pseudotensorových faktorů).

• Například v klasické elektrodynamice je indukce magnetického pole  pseudovektorem, protože je generována operací pseudovektoru, například v Biot-Savartově zákoně , ale tato hodnota samotná (pseudovector) je v zásadě definována až do podmíněného faktoru. , které lze zvolit +1 nebo −1. Skutečná pozorovaná hodnota - zrychlení náboje vlivem magnetického pole - však ve svém výpočtu obsahuje ještě jednu pseudovektorovou operaci ve výrazu pro Lorentzovu sílu , která dává ještě jeden podmíněný faktor ±1, rovný prvnímu , zatímco libovolnost v odpovědi mizí, protože součin ±1 ( ±1) dává právě 1.

Viz také

• Symetrie
• Skalární

Poznámky

1. ↑ Hovoříme o transformaci bázových vektorů transformační maticí, která má negativní determinant. To je důležitý bod pro pochopení podstaty věci, jelikož např. při změně znaménka všech souřadnic je transformace ekvivalentní otočení (o 180°) a nemění orientaci základny, resp. a pseudovektor s takovou transformací souřadnic bude transformován stejným způsobem jako skutečný vektor, nezmění znaménko ve srovnání s ním.
2. ↑ Znamená to, že z hlediska matematiky je pravý základ k nerozeznání od levého (zatímco z hlediska fyziky lze najít rozdíly v reálném fyzikálním světě - z matematického hlediska však toto skutečný fyzický svět není vyčleněn ve vztahu k hypotetickému antisvětu se zrcadlovým odrazem, takže kdyby byl jeden nahrazen jiným, jednoduše bychom si ničeho nevšimli. Totéž platí pro spojení správného základu s biologickou asymetrií (srdce je u většiny lidí vlevo, většina z nich je pravák atd. Matematické hledisko se tedy schyluje k tomu, že nejprve vyčleníme nějaký základ, jakoby svévolně, nazýváme jej podmíněně správným, a pak všechny ostatní báze lze s ohledem na to rozdělit na pravou a levou.
3. ↑ V některých případech mohou některé definice takových operací implicitně obsahovat operaci vektorového součinu, ale její formální přítomnost je při přeformulování obvykle snadno zjistitelná. A samozřejmě je možné přímo ukázat jeho pseudovektorovou povahu, aniž by se zapojoval koncept vektorového produktu.