Symetrická matice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. listopadu 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Symetrická (Symetrická) se nazývá čtvercová matice , jejíž prvky jsou symetrické kolem hlavní diagonály . Formálněji se matice nazývá symetrická if . $A$ $\forall i,j:a_{{ij}}=a_{{ji}}$

To znamená, že se rovná své transponované matici :

A=A^{T}

Příklady

{\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0 \\0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}

Vlastnosti

Symetrická matice je vždy čtvercová .

Pro jakoukoli symetrickou matici A s reálnými prvky platí následující:

má skutečné vlastní hodnoty
jeho vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům jsou navzájem ortogonální :

Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0

jeho vlastní vektory mohou vždy tvořit ortonormální základ
matici A lze redukovat na diagonální tvar: , kde je ortogonální matice , jejíž sloupce obsahují ortonormální bázi vlastních vektorů a D je diagonální matice s vlastními hodnotami matice A na diagonále. $A=QDQ^{{T}}$ $Q$
Jestliže symetrická matice A má jedinou vlastní hodnotu , pak má diagonální tvar: , kde je matice identity , na libovolném základě. $\lambda$ $A = \lambda E$ $E$
Pro symetrickou matici je každá kongruentní matice také symetrická, tzn.

${\textstyle A=A^{\mathrm {T} }\quad \Longrightarrow \quad X^{\mathrm {T} }AX=(X^{\mathrm {T} }AX)^{\mathrm {T} }.}$

Pozitivní (záporné) určité matice

O symetrické matici dimenze se říká, že je pozitivně definitní, pokud je podmínka pro zápornou, nepozitivní a nezápornou definitivní matici formulována podobně s odpovídající změnou znaménka nerovnosti. K objasnění povahy jistoty matice lze použít Sylvesterovo kritérium . $A$ $k\krát k$ ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {R} ^{k}\setminus \{\mathbf {0} \))$ $z^{T}Az>0.$

Viz také

Literatura

Bellman R. Úvod do teorie matic . — M .: Mir, 1969 (djvu).
Gantmakher F. R. teorie matice. - 5. vyd. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 s. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (2. vyd.). — M. : Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Maticové výpočty. — M .: Mir, 1999. — 548 s. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. Kurz vyšší algebry. - 9. vyd. - M .: Nauka, 1968. - 432 s.

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný