Normovaný prostor

Normovaný prostor je vektorový prostor s normou danou na něm ; jeden z hlavních předmětů studia funkční analýzy .

Přesněji řečeno, normovaný prostor je dvojice vektorového prostoru nad polem reálných nebo komplexních čísel a zobrazení tak, že pro libovolné a skalární platí následující vlastnosti [1] : $(X,\|\cdot \|)$ $X$ $\|\cdot \|\dvojtečka X\to \mathbb {R}$ $x,y\v X$ $\lambda$

$\|x\|\geqslant 0,\;\|x\|=0\Šipka doprava x=0$ (pozitivní jistota)
$\|\lambda x\|=|\lambda |\cdot \|x\|$ ( homogenita )
$\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$ ( trojúhelníková nerovnost )

Norma je přirozené zobecnění představy o délce vektoru v euklidovském prostoru , takže normované prostory jsou vektorové prostory vybavené schopností určit délku vektoru.

Polonormovaný prostor je pár , kde je vektorový prostor a je seminormový v . $\left(X,p\right)$ $X$ $p$ $X$

Metrické

V normovaném prostoru funkce definuje (indukuje) metriku . Takto definovaná metrika má kromě obvyklých vlastností metriky také následující vlastnosti: $d(x,y)=\|xy\|$

$d(x,y)=d(x+z,y+z)$ (neměnnost posunu),
$d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda |\cdot d(x,y)$ (pozitivní uniformita).

Ne každý metrický vektorový prostor může mít normu.

Je-li prostor úplný pomocí indukované metriky , pak normovaný prostor je podle definice Banachův prostor . Ne každý normovaný prostor je Banach, ale každý normovaný prostor má dokončení k Banachovi. $X$

Topologická struktura

Pro jakýkoli seminormovaný vektorový prostor je možné zadat vzdálenost mezi dvěma vektory a jako . Takovýto seminormovaný prostor s takto definovanou vzdáleností se nazývá seminormovaný metrický prostor , ve kterém můžeme definovat takové pojmy jako spojitost a konvergence . Více abstraktně, jakýkoli polonormovaný vektorový prostor je topologickým vektorovým prostorem a nese tedy topologickou strukturu generovanou polonormou. $\mathbf {u}$ $\mathbf{v}$ $\left\Vert {\mathbf {u}}-{\mathbf {v}}\right\Vert$

Zvláště zajímavé jsou kompletní normované prostory, nazývané Banachovy prostory . Jakýkoli normovaný vektorový prostor se nachází jako hustý podprostor uvnitř Banachova prostoru a tento Banachův prostor je jednoznačně určen prostorem a nazývá se dokončením prostoru . $PROTI$ $PROTI$ $PROTI$

Všechny normy v konečnorozměrném vektorovém prostoru jsou topologicky ekvivalentní, protože generují stejnou topologii. A protože každý euklidovský prostor je úplný, můžeme dojít k závěru, že všechny konečnorozměrné vektorové prostory jsou Banachovy prostory. Normovaný vektorový prostor je konečnorozměrný tehdy a jen tehdy, když je jednotková koule kompaktní , což může být tehdy a jen tehdy, je-li lokálně kompaktní . $PROTI$ $B=\{x\dvojtečka \left\Vert x\right\Vert \leqslant 1\}$ $PROTI$

Topologie polonormovaného vektoru má několik zajímavých vlastností. Když vezmeme sousedský systém kolem , je možné sestavit všechny ostatní sousedské systémy jako: ${\mathcal {N}}\left(0\right)$ $0$

{\mathcal {N}}\left(x\right)=x+{\mathcal {N}}\left(0\right):=\left\{x+N\mid N\in {\mathcal {N} }\left(0\right)\right\}

používáním

x+N:=\left\{x+n{\bar {n}}\in N\right\}

Navíc existuje sousedská základna pro , sestávající z absorbujících a konvexních sad . Protože tato vlastnost je velmi užitečná ve funkcionální analýze , zobecnění normovaných vektorových prostorů s touto vlastností jsou studována jako lokálně konvexní prostory . $0$

Lineární zobrazení a duální prostory

Nejdůležitější zobrazení mezi dvěma normovanými vektorovými prostory jsou spojitá lineární zobrazení . Normované vektorové prostory s takovými zobrazeními tvoří kategorii .

Norma je spojitá funkce ve svém vektorovém prostoru. Všechna lineární zobrazení mezi konečnorozměrnými vektorovými prostory jsou také spojitá.

Izometrie mezi dvěma normovanými vektorovými prostory je lineární zobrazení , které zachovává normu (tj. pro všechny vektory ). Izometrie jsou vždy spojité a injektivní . Surjektivní izometrie mezi normovanými vektorovými prostory a nazývá se izometrický izomorfismus . Izometricky izomorfní normované vektorové prostory lze považovat za rovné pro téměř jakýkoli účel. $F$ $\left\Vert f\left({\mathbf {v}}\right)\right\Vert =\left\Vert {\mathbf {v}}\right\Vert$ $\mathbf{v}$ $PROTI$ $W$

Když už mluvíme o normovaných vektorových prostorech, musíme zmínit duální prostory . Duální prostor normovaného vektorového prostoru je prostor všech spojitých lineárních zobrazení z hlavního pole (pole komplexních nebo reálných čísel) a taková lineární zobrazení se nazývají funkcionály . Norma funkcionálu je definována jako: $PROTI'$ $PROTI$ $PROTI$ $\varphi$

\left\Vert \varphi \right\Vert =\sup \left\vert \varphi \left(\mathbf {v} \right)\right\vert \qquad \forall \mathbf {v} :\left\ Vert \mathbf {v} \right\Vert =1

Zavedení takové normy se změní na normovaný vektorový prostor. Důležitým výsledkem o spojitých lineárních funkcionálech v normovaných vektorových prostorech je Hahn–Banachův teorém . $PROTI'$

Normované prostory jako podíl prostoru polonormovaných prostorů

Definice mnoha normovaných prostorů (jako je Banachův prostor ) zahrnují seminormu definovanou na vektorovém prostoru a pak je normovaný prostor definován jako kvocientový prostor podprostorem prvků, jejichž seminorma je nula. Například v případě mezer $L_{p}$ je funkce definovaná jako:

\left\Vert f\right\Vert _{p}=\left(\int \left\vert f\left(x\right)\right\vert ^{p}\;dx\right)^{ \frac {1}{p}}

je seminorma ve vektorovém prostoru všech funkcí, jejichž Lebesgueův integrál (vpravo) je definovaný a konečný.

Seminorma je však nula pro všechny funkce, jejichž podpora má nulovou Lebesgueovu míru . Tyto funkce tvoří podprostor, který je „přeškrtnutý“, čímž jsou ekvivalentní funkci null.

Konečné součiny prostorů

Vzhledem k seminormovaným prostorům s seminormami můžeme definovat součin prostorů jako $n$ $X_{i}$ $p_{i}$

x{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\prod _{{i=1}}^{n}x_{i}

s vektorovým přidáním definovaným jako

\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right){\stackrel {{\mathrm {def}}}{ =}}\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\vpravo),

a skalární násobení definované jako

\alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right){\stackrel ({\mathrm {def))}{=}}\left(\alpha x_{1},\ldots ,\ alfa x_{n}\vpravo).

Pojďme definovat novou funkci $p$

p:X\mapsto {\mathbb {R}}

jak

p:\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\to \součet _{{i=1}}^{{n}}p_{i}\left(x_{i}\ že jo),

což je seminorma v . Funkce bude normou tehdy a jen tehdy, když všechny jsou normami. $X$ $p$ $p_{i}$

Viz také

Lokálně konvexní prostory jsou zobecněním polonormovaných vektorových prostorů
Přísně normovaný prostor
Rovnoměrně konvexní prostor

Poznámky

↑ Kerin S. G. Funkční analýza. — M .: Nauka , 1972.

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný